20 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 3;6} \right) =  - 3\left( {1; - 2} \right) =  - 3\overrightarrow {{n_1}} \).

Do đó \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương.

Lại có \(\left( { - 1;0} \right)\) thuộc \({\Delta _1}\) nhưng không thuộc \({\Delta _2}\). Do đó \({\Delta _1}//{\Delta _2}\). Chọn D.

Ta có vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3; - 2} \right)\).

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\) là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3;2} \right)\).

Hai vectơ này không cùng phương nên đường thẳng \(\Delta \) cắt đường thẳng \({d_1}\). Chọn C.

Có \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {4; - 3} \right);\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3;4} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).

Có \(4 \cdot 3 + \left( { - 3} \right) \cdot 4 = 0\) nên \(\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}} \). Do đó \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\). Chọn A.

\(d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {{x_0}} \right|\). Chọn A.

Ta có \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 \cdot 1 - 12 \cdot 1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 1\). Chọn D.

Phương trình đường thẳng \(BC\) là \(\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1 \Leftrightarrow 3x + 4y - 12 = 0\).

Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh \(A\) bằng \(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{1}{5}\). Chọn C.

Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 3;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;3} \right)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\).

Đường thẳng \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;3} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {{n_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{n_2}} \) nên hai đường thẳng này song song hoặc trùng nhau.

Lại có \(A\left( {1;3} \right)\) thuộc \({d_1}\) và thuộc \({d_2}\) nên hai đường thẳng này trùng nhau. Chọn B.

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3;1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1},{d_2}\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\).

Khi đó \[\cos \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 3 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi  = 45^\circ \]. Chọn A.

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {4; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 2} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1},{d_2}\).

\[\cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {4 \cdot 1 + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{4}{5}\]. Chọn B.

Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\).

Đường thẳng \(d'\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;2} \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\).

Khi đó \(\cos \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + 1 \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\). Chọn A.

a) Đường thẳng \({d_1}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {5; - 2} \right)\) nên có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2;5} \right)\).

b) Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \(\left( { - 4;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {2;5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(2\left( {x + 4} \right) + 5\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 5y - 2 = 0\).

c) Ta có \(\overrightarrow n  = \left( {2;5} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\) và \(\overrightarrow {n'}  = \left( {3; - 7} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_2}\).

Ta thấy \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {n'} \) không cùng phương nên hai đường thẳng này cắt nhau.

d) Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).

Ta có \(\cos \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow n  \cdot \overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 3 + 5 \cdot \left( { - 7} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}}  \cdot \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} }} = \frac{{29}}{{29\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow \varphi  = 45^\circ \).

Đáp án: a) Sai;    b) Sai;   c) Đúng;    d) Đúng.

a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 4} \right)\).

b) Đường thẳng \(AB\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;1} \right)\).

c) Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta thấy không thỏa mãn.

Do đó \(A\left( {1;1} \right)\) không nằm trên đường thẳng \(d:3x - 4y + 2 = 0\).

d) \(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{1}{5}\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Sai;    d) Đúng.

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _3}\) là \(\overrightarrow {{u_3}}  = \left( {2;3} \right)\).

b) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _1}\) có tọa độ là \(\left( {2; - 5} \right)\).

c) Đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 5} \right);\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;3} \right)\).

Hai vectơ này không cùng phương nên hai đường thẳng này cắt nhau.

d) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y + 1 = 0\\x + 3y - 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) là \(\left( {2;1} \right)\).

Đáp án: a) Sai;    b) Sai;   c) Đúng;    d) Sai.

a) \(d\left( {N,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 5 \).

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;1} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\left( {1; - 1} \right)\) nên có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;1} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).

c) Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt \(Ox\) tại \(C\left( {3;0} \right)\) và cắt \(Oy\) tại \(D\left( {0;3} \right)\).

Khi đó \({S_{\Delta COD}} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}\).

d) Giả sử \(\Delta \) cắt tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)\) với \(a > 0,b > 0\).

Khi đó phương trình đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).

Vì \(\Delta \) đi qua \(N\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – schwarz ta có:

\(\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b}} \right)\left( {a + b} \right) \ge {\left( {\frac{1}{{\sqrt a }} \cdot \sqrt a  + \frac{2}{{\sqrt b }} \cdot \sqrt b } \right)^2} = 9\)\( \Rightarrow a + b \ge 9\) hay \(OA + OB \ge 9\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(OA + OB\) bằng 9.

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Đúng;    d) Đúng.

a) \(d\left( {O,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 9} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{9}{5}\).

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ chỉ phương là \(\left( {3; - 4} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {4;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) nhận \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Lại có \(\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}}  = 4 \cdot 3 + 3 \cdot \left( { - 4} \right) = 0\). Do đó \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).

c) Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 3 - 4t\\3x - 4y + 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 3 - 4t\\3\left( {1 + 3t} \right) - 4\left( {3 - 4t} \right) + 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\\t = 0\end{array} \right.\).

Suy ra \(M\left( {1;3} \right)\).

Giả sử \(I\left( {a;b} \right)\).

Theo đề ta có \(IO = IA = IM\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2}\\{\left( {1 - a} \right)^2} + {b^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 1\\6b = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Vậy \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

d) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _1}\) là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {3; - 4} \right)\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Sai;    d) Đúng.

Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(d\) nên có dạng: \(x + 3y + c = 0\).

Lại có \(d\left( {A,\Delta } \right) = 2\sqrt {10} \) nên \(\frac{{\left| {3 + 3 \cdot 2 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = 2\sqrt {10} \)\( \Leftrightarrow \left| {9 + c} \right| = 20\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9 + c = 20\\9 + c =  - 20\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 11\\c =  - 29\end{array} \right.\).

Vì \(a;b;c \in \mathbb{N};a < 2\) nên \(x + 3y + 11 = 0\).

Do đó \(a = 1;b = 3;c = 11\). Vậy \(T = 3 \cdot 1 + 3 + 4 \cdot 11 = 50\).

Trả lời: 50.

Ta có \(\overrightarrow n  = \left( {1; - \sqrt 3 } \right)\) và \(\overrightarrow {n'}  = \left( {1;\sqrt 3 } \right)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) và \(\Delta '\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) nên ta có

\(\cos \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow n  \cdot \overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + \left( { - \sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }}\)\( = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \varphi  = 60^\circ \).

Trả lời: 60.

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 1 = 0\\x + y + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 5\\y = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A\left( { - 5;3} \right)\).

Ta có \(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 5} \right) + 3 \cdot 3 - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {13} }} \approx 1,67\).

Trả lời: 1,67.

Vì \(\Delta \) song song với \(d\) nên ta có \(\Delta :3x + 4y + c = 0\).

Lại có \(d\left( {A,\Delta } \right) = 1\) nên \(\frac{{\left| {3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 1\)\( \Leftrightarrow \left| {7 + c} \right| = 5\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7 + c = 5\\7 + c =  - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c =  - 2\\c =  - 12\end{array} \right.\).

Mà \(c >  - 5\) nên \(c =  - 2\).

Vậy \(3x + 4y - 2 = 0\).

Suy ra \(b = 4;c =  - 2\). Vậy \(b + c = 2\).

Trả lời: 2.

Hai đường đi của hai tàu có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 33;25} \right),\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 30; - 40} \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường đi của hai tàu.

Ta có \(\cos \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}}  \cdot \overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| { - 33 \cdot \left( { - 30} \right) + 25 \cdot \left( { - 40} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 33} \right)}^2} + {{25}^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( { - 30} \right)}^2} + {{\left( { - 40} \right)}^2}} }} \approx 0,00483 \Rightarrow \varphi  \approx 89,7^\circ \).

Trả lời: 89,7.