10 Bài tập Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc (có lời giải)
10 câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường thẳng d có hệ số góc là số âm và đi qua A(–2; 0) tạo với đường thẳng Δ: x + 3y – 3 = 0 một góc 45° là
2x + y + 4 = 0;
x + 2y + 4 = 0;
x –2y –2 = 0;
2x + y – 4 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Gọi n→da;b là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d (với a2 + b2 ≠ 0).
Đường thẳng d đi qua A(–2; 0) và có một vectơ pháp tuyến n→da;b nên có phương trình là: a(x + 2) + b(y – 0) = 0 tức là ax + by + 2a = 0.
Đường thẳng Δ: x + 3y – 3 = 0 có một vectơ pháp tuyến n→Δ1;3.
Theo giả thiết d tạo với Δ một góc 45° nên:
cosd,Δ=cos45°⇔a+3ba2+b2⋅12+32=22
⇔2a+3b=20⋅a2+b2
⇔5a2+b2=a+3b2⇔2a2−3ab−2b2=0⇔a=2ba=−12b.
Với a = 2b, chọn b = 1 suy ra a = 2, ta được đường thẳng cần tìm là 2x + y + 4 = 0.
Với a=−12b, chọn b = –2 suy ra a = 1, ta được đường thẳng cần tìm là x – 2y + 2 = 0 (loại do hệ số góc dương).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, có bao nhiêu đường thẳng d đi qua điểm A(2; 0) và tạo với trục hoành một góc 45°?
Có duy nhất;
2;
Vô số;
Không tồn tại.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Gọi n→da;b là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d (với a2 + b2 ≠ 0).
Đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) và có n→da;b là vectơ pháp tuyến nên có phương trình là: a(x – 2) + b(y – 0) = 0 hay ax + by – 2a = 0.
Trục hoành Ox có phương trình y = 0 có vectơ pháp tuyến là n→da;b
Đường thẳng d tạo với trục hoành một góc 45° nên ta có:
cos45°=a⋅0+b⋅1a2+b2⋅02+12⇔22=ba2+b2
⇔ 2(a2 + b2) = 4b2
⇔ a2 – b2 = 0
⇔ a = b hoặc a = –b.
Vậy có hai đường thẳng đi qua A(2; 0) và tạo với trục hoành một góc 45°.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x – 4y – 12 = 0. Phương trình các đường thẳng Δ đi qua điểm M(2; –1) và tạo với d một góc 45° là
7x – y – 15 = 0; x + 7y + 5 = 0;
7x + y – 15 = 0; x – 7y + 5 = 0;
7x – y + 15 = 0; x + 7y – 5 = 0;
7x + y + 15 = 0; x – 7y – 5 = 0.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường thẳng d đi qua M(–1; 2) và tạo với trục Ox một góc 60° là
3x – y +3+ 2 = 0;
3x – y –3+ 2 = 0;
3x – y + 2 = 0
3x + y –3+ 2 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Do d tạo với trục Ox một góc 60° nên có hệ số góc k = tan 60°= 33.
Phương trình đường thẳng d là: y =3(x + 1) + 2
Hay 3x – y +3+ 2 = 0.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường thẳng Δ đi qua M(1; 1) và tạo với đường thẳng d: x – y + 90 = 0 một góc 45° là
x – 1 = 0;
y – 1 = 0;
x + y – 2 = 0;
Cả A và B đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng Δ tạo với đường thẳng d: y = –2x + 4 một góc 45°. Hệ số góc k của đường thẳng Δ là
k=13hoặc k = –3;
k=13hoặc k = 3;
k=-13hoặc k = –3;
k=-13hoặc k = 3.
Biết rằng có đúng hai giá trị của tham số k để đường thẳng d: y = kx tạo với đường thẳng ∆: y = x một góc 60°. Tổng hai giá trị của k bằng
–8;
–4;
–1;
1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng d: y = kx hay kx – y = 0 có một vectơ pháp tuyến là n→d=k;−1.
Đường thẳng ∆: y = x hay x – y = 0 có vectơ pháp tuyến là n→Δ=1;−1.
Do góc giữa hai đường thẳng là 60° nên: cos60°=k⋅1+−1⋅−1k2+1⋅2
⇔12=k+1k2+1⋅2⇔k2+1=2k2+2k+1
⇔k2+4k+1=0
Tổng hai giá trị của k là −41=−4.
Đường thẳng Δ đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1: 2x + y – 3 = 0 và d2: x – 2y + 1 = 0 đồng thời tạo với đường thẳng d3: y – 1 = 0 một góc 45° có phương trình là
x + 1−2y= 0 hoặc x – y – 1 = 0;
x + 2y = 0 hoặc x – 4y = 0;
x – y = 0 hoặc x + y – 2 = 0;
2x + 1 = 0 hoặc y + 5 = 0.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hai đường thẳng có phương trình (d1) : x – y – 1 = 0, (d2): 2x + y – 5 = 0. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng trên. Biết rằng có hai đường thẳng (d) đi qua M(1; –1) cắt hai đường thẳng trên lần lượt tại hai điểm B, C sao cho ABC là tam giác có BC = 3AB có dạng: ax + y + b = 0 và cx + y + d = 0, giá trị của T = a + b + c + d là
T = 5;
T = 6;
T = 2;
T = 0.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho tam giác cân ABC có cạnh đáy BC: x – 3y – 1 = 0, cạnh bên AB: x – y – 5 = 0. Đường thẳng AC đi qua M(−4; 1). Giả sử toạ độ đỉnh C(m; n). Giá trị T = m + n là
T=59.
T=-3.
T=95.
T=-95.
