Bài tập
9 câu hỏi
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax, By. Điểm M nằm trên (O) sao cho tiếp tuyến tại M cắt Ax, By tại D và C. Chứng minh:
a, AD + BC = CD
b, COD^=900
c, AC.BD = OA2
d, AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến
a, Ta có: AC = CM; BD = DM => AC+BD=CD
b, COA^=COM^;DOM^=DOB^
=> COD^=900
c, AC.BD = MC.MD = MO2=R2
d, Gọi I là trung điểm của CD. Sử dụng tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông và đường trung bình trong hình thang để suy ra đpcm
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax, By. M là điểm trên (O) sao cho tiếp tuyên tại M cắt Ax, By tại D và C. Đường thẳng AD cắt BC tại N
a, Chứng minh A, C, M, O cùng thuộc một đường tròn. Chỉ ra bán kính của đường tròn đó
b, Chứng minh OC và BM song song
c, Tìm vị trí điểm M sao cho SACDB nhỏ nhất
d, Chứng minh MN và AB vuông góc nhau
a, Từ CA, CM là tiếp tuyến của (O) chứng minh được A,C,M,O∈đường tròn bán kính OC2
b, Chứng minh OC,BM cùng vuông góc với AM . từ đó suy ra OC//BM
c, SACDB=AC+BDAB2=AD.AB2
=> SACDB nhỏ nhất khi CD có độ dài nhỏ nhất
Hay M nằm chính giữa cung AB
d, Từ tính chất hai giao tuyến => AC = CM và BM=MD, kết hợp với AC//BD
ta chứng minh được CNNB=CMMD => MN//BD => MN⊥AB
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Từ B, C kẻ các tiếp tuyến BD, CE với (A) trong đó D, E là các tiếp điểm
a, Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng
b, Chứng minh BD.CE = DE24
c, Gọi M là trung điểm CH. Đường tròn tâm M đường kính CH cắt (Ạ) tại N với N khác H. Chứng minh CN và AM song song
a, Chú ý: Ab là phân giác góc DAM^; AC là phân giác góc EAM^ từ đó DAE^=1800
b, Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến và hệ thức về đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông lên cạnh huyền trong tam giác vuông BAC => BD.CE = BH.CH = CH2=DE24
c, ∆HNC nội tiếp đường tròn (M) đường kính HC => HN⊥NC
Chứng minh AN là tiếp tuyến của (M)
Do đó AM⊥HN => AM//NC
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác
a, Chứng minh bốn điểm B, C, I, K cùng thuộc đường tròn (O; IO) vói O là trung điểm của đoạn thẳng IK
b, Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O)
c, Biết AB = AC = 20 cm và BC = 24 cm tính bán kính của (O)
a, Sử dụng tính chất phân giác trong và phân giác ngoài tại 1 điểm ta có:
IBK^=ICK^=900
=> B, C, I, K∈đường tròn tâm O đường kính IK
b, Chứng minh ICA^=OCK^ từ đó chứng minh được OCA^=900
Vậy AC là tiếp tuyến của (O)
c, Áp dụng Pytago vào tam giác vuông HAC => AH=16cm. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông COA => OH=9cm,OC=15cm
Cho đường tròn (O; R). Từ điểm A trên (O), kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điếm M bất kì (M khác A), kẻ cát tuyến MNP, gọi K là trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB, kẻ AC⊥MB, BD⊥MA. Gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. Chứng minh:
a, Bốn điểm A, M, B, O cùng thuộc một đường tròn
b, Năm điểm O, K, A, M, B cùng thuộc một đường tròn
c, OI.OM = R2 và OI.IM = IA2
d, OAHB là hình thoi
e, O, H, M thẳng hàng
a, HS tự làm
b, Chú ý OKM^=900 và kết hợp ý a) => A,M,B,O,K∈đường tròn đường kính OM
c, Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM ( hoặc có thể chứng minh tam giác đồng dạng)
d, Chứng minh OAHB là hình bình hành và chú ý A,B thuộc (O;R) suy ra OAHB là hình thoi
e, Chứng minh OH⊥AB, OMAB => O,H,M thẳng hàng
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax, lấy P trên Ax (AP > R). Từ P kẻ tiếp tuyến PM với (O)
a, Chứng minh bôn điểm A, P, M, O cùng thuộc một đường tròn
b, Chứng minh BM // OP
c, Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành
d, Giả sử AN cắt OP tại K; PM cắt ON tại I; PN cắt OM tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng
a, HS tự làm
b, Ta có OP⊥AM, BM⊥AM => BM//OP
c, chứng minh ∆AOP = ∆OBN => OP=BN
lại có BN//OP do đó OPNB là hình bình hành
d, Ta có ON⊥PI, PM⊥JO mà PM∩ON = I => I là trực tâm ∆POJ => JI⊥PO(1)
Chứng minh PAON hình chữ nhật => K trung điểm PO
Lại có APO^=OPI^=IOP^ => ∆IPO cân tại I => IKPO (2)
Từ (1),(2) => J,I,K thẳng hàng
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi d và d' là các tiếp tuyến tại A và B. Lấy C bất kì thuộc d, đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt d' tại D. AD cắt BC tại N.
a, Chứng minh CD là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm M
b, Tìm vị trí C trên d sao cho (AC + BD) đạt giá trị nhỏ nhất
c, Biết AB = 4a, tính giá trị của AC.BD và 1OC2+1OD2 theo a
d, Chứng minh MN vuông góc với AB và N là trung điểm của MH với H là giao điểm của MN và AB
a, Kẻ OM⊥CD
Gọi K = OD∩d => ∆COK = ∆COD
=> OK = OD => OM = OA = R => CD là tiếp tuyến
b, AC+BD=CM+DM=CD ≥ AB
Do đó min (AC+BD)=AB
<=> CD//AB => ABCD là hình chữ nhật <=> AC = AO
c, AC.BD = MC.MD = OM2 = 4a2
=> 1OC2+1OD2=14a2
d, Từ tính chất hai giao tuyến => MN//BD => MNAB hay MHAB;
AC//BD; MN//BD; NH//BD
=> MNBD=NHBD => MN = NH
Cho đường tròn (O) và điểm A ngoài (O). Qua A kẻ các tiếp tuyên AB, AC với (O) trong đó B, C là các tiếp điểm. Lấy M là điểm thuộc cung nhỏ BC. Tiếp tuyến qua M với (O) cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh:
a, Chu vi tam giác ADE bằng 2AB
b, DOE^=12BOC^
a, PADE = AD+DE = EA = AD+DM+ME+AE = 2AB
b, DOM^=12BOM^; MOE^=12MOC^
=> BOC^=2DOE^
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Các cạnh AB, BC, CA tiếp xúc đường tròn (I) lần lượt tại D, E, F. Đặt BC = a, CA = b, AB = c
a, Chứng minh AD = b+c-a2
b, Gọi r là bán kính của (I). Chứng minh SABC = p.r, trong đó p là nửa chu vi tam giác ABC
c, Gọi M là giao điểm của đoạn thẳng AI với (I). Tính độ dài đoạn thẳng BM theo a, b, c
a, Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến tại A,B,C ta chứng minh được b+c-a2 = AD
b, SABC=SAIB+SBIC+SCIA
Mà ID = IE = IF = r => SABC = p.r
c, Vì AM là phân giác của BAC^ => BMMC=BAAC
Áp dụng tính chất tỉ lệ thức thu được BM = acc+b
