Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Ta có: ${\left(x+2\right)}^2$ -3x -5 = (1 –x)(1 +x)

⇔ $x^2$ + 4x +4 -3x -5 =1 – $x^2$

⇔ 2$x^2$ +x -2 =0

$∆$ = $1^2$ -4.2.(-2) =1 +16 =17 > 0

$\sqrt{∆}=\sqrt{17}$

Ta có: ${\left(x-1\right)}^3$ + 2x = $x^3$– $x^2$ – 2x +1

⇔ $x^3$ – 3$x^2$ + 3x  - 1 + 2x = $x^3$ – $x^2$ - 2x + 1

⇔ 2$x^2$ – 7x +2 =0

$∆$ = ${\left(-7\right)}^2$ -4.2.2 = 49 - 16 = 33 > 0

$\sqrt{∆}=\sqrt{33}$

Ta có: x($x^2$ -6 ) – ${\left(x-2\right)}^2$ = ${\left(x+1\right)}^3$

⇔ $x^3$ – 6x – $x^2$ +4x -4 = $x^3$ + 3$x^2$ +3x +1

⇔ 4$x^2$ +5x +5 =0

$∆$ = $5^2$ -4.4.5 = 25 - 80 = -55 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm

Ta có: ${\left(x+5\right)}^2$ + ${\left(x-2\right)}^2$ + (x +7)(x -7) = 12x -23

⇔ $x^2$ + 10x + 25 + $x^2$ - 4x +4 + $x^2$ -49 = 12x -23

⇔ $x^2$ +10x+25 + $x^2$ -4x +4 + $x^2$ -49 -12x +23 =0

⇔ 3$x^2$ -6x + 3 =0

⇔ $x^2$ -2x +1 =0

$∆$’ = ${\left(-1\right)}^2$ -1.1 = 1-1 =0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép: $x_1$ = $x_2$ =1

Điều kiện : x $\ne \pm$ 1

Ta có: $\frac{12}{x-1}-\frac{8}{x+1}=1$ ⇔ 12(x +1) – 8(x -1) = (x +1)(x -1)

⇔ 12x +12 -8x +8 = $x^2$ -1 ⇔ $x^2$-4x -21 =0

$∆$’ = ${\left(-2\right)}^2$ -1.(-21) = 4 + 21=25 > 0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{25}$ =5

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy nghiệm của phương trình là x =7 và x =-3

Điều kiện : x $\ne$ 3 và x $\ne$ 1

Ta có: $\frac{16}{x-3}+\frac{30}{1-x}=3$ ⇔ 16(1 – x) +30(x -3) =3(x -3)(1 –x)

⇔ 16 – 16x +30x -90 =3x -3$x^2$ -9 +9x

⇔ 3$x^2$ +2x -65 =0

$∆$’ = $1^2$ -3.(-65) = 1 + 195=196 > 0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{196}$ =14

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy nghiệm của phương trình là x =13/3 và x =-5

Điều kiện : x$\ne$3 và x $\ne$ -2

Ta có: $\frac{x^2-3x+5}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{x-3}$ ⇔ $x^2$ -3x +5 = x+2 ⇔ $x^2$ -4x +3 =0

Phương trình $x^2$ -4x +3 = 0 có a = 1 ,b = -4 , c = 3

Suy ra : a + b + c = 0

Ta có nghiệm $x_1$ =1 , $x_2$ =3 (loại)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1

Điều kiện : x$\ne$2 và x $\ne$-4

Ta có: $\frac{2x}{x-2}-\frac{x}{x+4}=\frac{8x+8}{\left(x-2\right)\left(x+4\right)}$ ⇔ 2x(x +4) –x(x -2) = 8x +8

⇔ 2$x^2$ +8x –$x^2$ +2x = 8x +8

⇔ $x^2$+2x -8 = 0

$∆$’ = $1^2$ -1(-8) = 1 +8 = 9 > 0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{9}$= 3

Cả hai giá trị của x đều không thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Điều kiện : x$\ne$1

Ta có:

⇔ $x^3$+7$x^2$ +6x -30 = ($x^2$ –x +16)(x -1)

⇔ $x^3$+7$x^2$ +6x -30 = $x^3$ – $x^2$ – $x^2$ +x +16x -16

⇔ 9$x^2$ -11x -14 =0

$∆$ = ${\left(-11\right)}^2$ -4.9.(-14) = 121 +504 = 625 > 0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{625}$ =25

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy nghiệm của phương trình là x = -7/9 và x = 2

Điều kiện : x$\ne$1

Điều kiện : x$\ne$ $\pm$ 1

ta có:

⇔ $x^2$ +9x -1 =17x -17 ⇔ $x^2$ -8x +16 =0

$∆$’ = ${\left(-4\right)}^2$ – 1.16 = 16 -16 =0

Phương trình có nghiệm kép :x1 =x2 =4

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy nghiệm của phương trình là x =4

Ta có: 3$x^3$ +6$x^2$ -4x =0  ⇔ x(3$x^2$ +6x -4) =0

⇔ x = 0 hoặc 3$x^2$ +6x -4 =0

Giải phương trình 3$x^2$ +6x -4 =0

$∆$’ = $3^2$ - 3(-4) = 9 + 12 = 21 > 0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{21}$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm

Ta có: ${\left(x+1\right)}^3$ –x +1 = (x -1)(x -2)

⇔ $x^3$ +3$x^2$+3x +1 –x +1 = $x^2$ -2x –x +2

⇔ $x^3$ +2$x^2$ +5x = 0 ⇔ x($x^2$ + 2x + 5) =0

⇔ x =0 hoặc $x^2$ +2x +5 =0

Giải phương trình $x^2$ +2x +5 =0

$∆$’ = $1^2$ - 1.5 = 1 - 5 = -4 < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm : x=0

Ta có: ${\left(x^2+x+1\right)}^2={\left(4x-1\right)}^2$

⇔ [($x^2$ +x +1) + (4x -1 )] [($x^2$ +x +1) - (4x -1 )]=0

⇔ ($x^2$ +5x)($x^2$ -3x +2) =0 ⇔ x(x+5) ($x^2$ -3x +2) =0

⇔ x =0 hoặc x+5 =0 hoặc x2 -3x +2 =0

x+5 =0 ⇔ x=-5

$x^2$ -3x +2 =0

$∆$ = ${\left(-3\right)}^2$ -4.2.1 = 9 -8 =1 > 0

$\sqrt{∆}=\sqrt{1}$ =1

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:

$x_1$ =0 ; $x_2$ =-5 ;$x_3$ =2 ; $x_4$ =1

⇔ [($x^2$ +x +1) + (4x -1 )] [($x^2$ +x +1) - (4x -1 )]=0

$∆$ = ${\left(-3\right)}^2$ -4.2.1 = 9 -8 =1 > 0

$\sqrt{∆}=\sqrt{1}$ =1

${\left(x^2+3x+2\right)}^2$ = 6.($x^2$ +3x +2)

⇔ ${\left(x^2+3x+2\right)}^2$ - 6.($x^2$ +3x +2)=0

⇔ ($x^2$ +3x + 2)[ ($x^2$ +3x + 2) -6] =0

⇔ ($x^2$ +3x + 2) .($x^2$ +3x -4 )=0

$x^2$ +3x + 2 =0

Phương trình có dạng a –b +c =0 nên $x_1$ = -1 ,$x_2$ =-2

$x^2$ +3x -4 =0

Phương trình có dạng a +b +c =0 nên $x_1$ = 1 ,$x_2$ = -4

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm :

$x_1$ = -1 ,$x_2$ =-2 ; $x_3$ = 1 , $x_4$ =-4

Ta có: ${\left(2x^2+3\right)}^2$ -10$x^3$ -15x =0 ⇔ ${\left(2x^2+3\right)}^2$ - 5x(2$x^2$ +3)=0

⇔ (2$x^2$ +3)( 2$x^2$ +3 - 5x) = 0 ⇔ (2$x^2$ +3)( 2$x^2$ - 5x +3)=0

Vì 2$x^2$ $\ge$ 0 nên 2$x^2$ +3 > 0

Suy ra : 2x2 - 5x +3=0

$∆$ = ${\left(-5\right)}^2$ -4.2.3 =25 -24=1 > 0

$\sqrt{∆}=\sqrt{1}$ = 1

vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 = 3/2 ; x2 = 1

Ta có: $x^3$ – 5$x^2$ –x +5 = 0 ⇔ $x^2$( x -5) – ( x -5) =0

⇔ (x -5)(x2 -1) =0 ⇔ (x -5)(x -1)(x +1) =0

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm :x1 = 5;x2 =1;x3=-1

Đặt m = $x^2$ .Điều kiện m $\ge$ 0

Ta có: $x^4$ -8$x^2$ – 9 =0 ⇔ $m^2$ -8m -9 =0

Phương trình $m^2$ - 8m - 9 = 0 có hệ số a = 1,b = -8,c = -9 nên có dạng a – b + c = 0

suy ra: $m_1$ = -1 (loại) , $m_2$ = -(-9)/1 =9

Ta có: $x^2$ =9 ⇒ x=$\pm$ 3

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : $x_1$ =3 ;$x_2$ =-3

Đặt m = y2 .Điều kiện m $\ge$ 0

Ta có: $y^4$ – 1,16$y^2$ + 0,16 =0 ⇔$m^2$ -1,16m + 0,16 =0

Phương trình $m^2$ -1,16m + 0,16 = 0 có hệ số a = 1, b = -1,16, c = 0,16 nên có dạng a + b + c = 0

suy ra: $m_1$ = 1 , $m_2$ = 0,16

Ta có: $y^2$ =1 ⇒ y = ± 1

$y^2$ =0,16 ⇒ y = $\pm$ 0,4

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm : $y_1$ =1 ; $y_2$ =-1 ; $y_3$ =0,4 ; $y_4$ =-0,4

Đặt m =$z^2$ .Điều kiện m $\ge$ 0

Ta có: $z^4$ -7$z^2$ - 144 = 0 ⇔$m^2$ -7m -144 =0

Ta có: $∆$=${\left(-7\right)}^2$ -4.1.(-144) =49 + 576=625 > 0

$\sqrt{∆}=\sqrt{625}$ = 25

Ta có: $z^2$ =16 ⇒ z=$\pm$ 4

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : $z_1$ =4 ;$z_2$=-4

Đặt m = $t^2$ .Điều kiện m $\ge$ 0

Ta có: 36$t^4$ – 13$t^2$ +1 = 0 ⇔ 36$m^2$ -13m +1 =0

Ta có: $∆$=${\left(-13\right)}^2$ – 4.36.1=169 -144=25 > 0

$\sqrt{∆}=\sqrt{25}$ = 5

Ta có: $t^2$ =1/4 ⇒ t=$\pm$ 1/2

$t^2$ =1/9 ⇒ t=$\pm$1/3

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm :

$t_1$ = 1/2 ; $t_2$ = -1/2 ; $t_3$ = 1/3 ; $t_4$ = -1/3

Đặt m =$x^2$ .Điều kiện m $\ge$ 0

Ta có: 1/3.$x^4$ - 1/2.$x^2$ +1/6 =0⇔ 2$x^4$ -3$x^2$ +1=0 ⇔ 2$m^2$ -3m + 1 =0

Phương trình 2$m^2$ -3m + 1 =0 có hệ số a=2,b=-3,c=1 nên có dạng a +b+c =0

suy ra: $m_1$ = 1 , $m_2$ = 1/2

Ta có: $x^2$ = 1 ⇒ x = ± 1

$x^2$= 1/2 ⇒ x = $\pm$ $\sqrt{2}$/2

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm :

$x_1$ =1 ; $x_2$ =-1 ; $x_3$ =($\sqrt{2}$)/2; $x_4$ = - $\sqrt{2}$/2

Đặt m =$x^2$ .Điều kiện m $\ge$ 0

Ta có: a$x^4$+b$x^2$+c = 0 ⇔ a$m^2$ + bm + c = 0

Vì a và c trái dấu nên a/c < 0. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là $m_1$ và $m_2$

Theo hệ thức Vi-ét,ta có: $m_1$$m_2$ = c/a

Vì a và c trái dấu nên c/a <0 suy ra $m_1$$m_2$ < 0 hay $m_1$ và $m_2$ trái dấu nhau

Vì $m_1$ và $m_2$ trái dấu nhau nên có 1 nghiệm bị loại ,giả sử loại $m_1$

Khi đó $x^2$ =$m_2$=> x = $\pm$ $\sqrt{m_2}$

Vậy phương trình trùng phương a$x^4$+b$x^2$+c = 0 chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau khi a và c trái dấu

Đặt m =4x -5

Ta có: ${\left(4x-5\right)}^2$ – 6(4x -5) +8 =0 ⇔ $m^2$ -6m +8 =0

$∆$’ = ${\left(-3\right)}^2$ -1.8 =9 -8=1 > 0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{1}$ = 1

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x_1$ =9/4 ,$x_2$ =7/4

Đặt m = $x^2$ +3x -1

Ta có: ${\left(x^2+3x-1\right)}^2$ +2($x^2$ +3x -1) -8 =0 ⇔ $m^2$ +2m -8 =0

$∆$’ = $1^2$ -1.(-8) =1 +8 =9 > 0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{9}$ =3

Với m = 2 thì : $x^2$+3x - 1 = 2 ⇔ $x^2$ + 3x - 3 = 0

$∆$’ = $3^2$ -4.1.(-3 )=9 +12=21 > 0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{21}$

Với m = -4 ta có: $x^2$ +3x -1 = -4 ⇔ $x^2$ +3x +3 = 0

$∆$ = $3^2$ -4.1.3=9 -12 = -3 < 0

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm :

Đặt m = 2$x^2$ +x -2

Ta có: ${\left(2x^2+x-2\right)}^2$+10$x^2$ +5x -16 =0

⇔ ${\left(2x^2+x-2\right)}^2$+5(2$x^2$ +x -2) -6 =0

⇔ $m^2$ +5m -6 =0

Phương trình $m^2$ +5m -6 = 0 có hệ số a = 1, b = 5, c = -6 nên có dạng

a + b + c = 0

Suy ra : $m_1$ =1 ,$m_2$ =-6

m1 =1 ta có: 2$x^2$ +x -2 =1 ⇔ 2$x^2$ +x -3=0

Phương trình 2$x^2$ +x -3 = 0 có hệ số a = 2, b = 1 , c = -3 nên có dạng

a +b+c=0

Suy ra: $x_1$ =1 ,$x_2$ =-3/2

Với m=-6 ta có: 2$x^2$ +x -2 = -6 ⇔ 2$x^2$ +x +4 =0

$∆$ = $1^2$ -4.2.4 = 1 -32 = -31 < 0 . Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : $x_1$ =1 ,$x_2$ =-32

Đặt m= $x^2$ -3x +2

Ta có: ($x^2$ -3x +4)($x^2$ -3x +2) =3

⇔ [($x^2$ -3x +2 +2)($x^2$ -3x +2) -3 =0

⇔ ${\left(x^2-3x+2\right)}^2$ +2($x^2$ -3x +2) -3 =0

⇔ $m^2$ +2m -3 =0

Phương trình $m^2$ +2m -3 = 0 có hệ số a = 1, b = 2 , c = -3 nên có dạng

a +b+c=0

suy ra : $m_1$ =1 ,$m_2$ =-3

Với $m_1$ =1 ta có: $x^2$ -3x +2 =1 ⇔ $x^2$ -3x +1=0

$∆$ = ${\left(-3\right)}^2$ -4.1.1 = 9 -4 =5 > 0

$\sqrt{∆}=\sqrt{5}$

Với $m_2$ =-3 ta có: $x^2$ -3x +2 =-3 ⇔ $x^2$ -3x +5=0

$∆$ = ${\left(-3\right)}^2$ -4.1.5 = 9 -20 =-11 < 0.Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm :

Đặt m = x/(x+1) .Điều kiện : x $\ne$ -1

⇔ 2$m^2$ -5m +3 =0

Phương trình 2m2 -5m +3 = 0 có hệ số a = 2, b = -5 , c = 3 nên có dạng

a +b + c = 0

suy ra :$m_1$ = 1 ,$m_2$ =3/2

Với $m_1$ =1 ta có: x/(x+1) =1 ⇔ x =x+1 ⇔ 0x =1 (vô nghiệm)

Với m = 3/2 ta có: x/(x+1) = 3/2 ⇔ 2x =3(x +1)

⇔ 2x =3x +3 ⇔ x =-3

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm : x=-3

Đặt m = $\sqrt{\left(x-1\right)}$ .Điều kiện : m $\ge$ 0, x $\ge$ 1

Ta có : x - $\sqrt{\left(x-1\right)}$-3 = 0 ⇔ (x -1) -$\sqrt{\left(x-1\right)}$ -2 =0

⇔ $m^2$ -m - 2 =0

Phương trình $m^2$ -m - 2 = 0 có hệ số a = 1, b = -1 , c = -2 nên có dạng

a – b + c = 0

Suy ra : $m_1$ = -1 (loại) , $m_2$ = -(-2)/1 = 2

Với m =2 ta có:$\sqrt{\left(x-1\right)}$ =2 ⇒ x -1 =4 ⇔ x =5

Giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm : x=5