Bài 5: Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên - SBT Toán 6

a) Ta có: 

36 = 6.6 = 6²;

64 = 8.8 = 8²;

169 = 13.13 = 13²;

225 = 15.15 = 15²;

361 = 19.19 = 19²;

10 000 = 100.100 = 100².

b) Ta có: 

8 = 2.2.2 = 2³;

27 = 3.3.3 = 3³;

125 = 5.5.5 = 5³;

216 = 6.6.6 = 6³;

343 = 7.7.7 = 7³;

8 000 = 20.20.20 = 20³. 

Các số viết được dưới dạng lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn 1 là: 16; 25; 81; 1 000; 1 331. Trong đó:

+) 16 = 4.4 = 4² hoặc 16 = 2.2.2.2 = 2⁴;

+) 25 = 5.5 = 5²;

+) 81 = 9.9 = 9² hoặc 81 = 3.3.3.3 = 3⁴;

+) 1 000 = 10.10.10 = 10³;

+) 1 331 = 11.11.11 = 11³. 

a) 3.3.3.3.3 = 3⁵;

b) y.y.y.y = y⁴;

c) 5.p.5.p.2.q.4.q = (5.5)(2.4).(p.p).(q.q) = 5².(2.2.2).p².q² = 5².2³.p².q².

d) a.a + b.b + c.c.c + d.d.d.d = a² + b² + c³ + d⁴. 

Theo quy luật phân chia tế bào, ta có:

Lần 1: 2¹ = 2 (tế bào con);

Lần 2: 2² = 4 (tế bào con);

Lần 3: 2³ = 4 (tế nào con); 

…

Vậy lần thứ n được: 2ⁿ (tế bào con).

Số tế bào con có được ở lần phân chia thứ 5 là:

2⁵ = 32 (tế bào con).

Số tế bào con có được ở lần phân chia thứ 8 là:

2⁸ = 256 (tế bào con).

Số tế bào con có được ở lần phân chia thứ 11 là:

2¹¹  = 2 048 (tế bào con).

Số viên gạch lát nền nhà đó là: a.a = a² (viên).

Do đó số viên gạch phải là bình phương của một số tự nhiên hay a là số chính phương. Số chính phương là các số có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9.

Bạn An đếm được 113 viên gạch được lát nền nhà. Mà 113 không phải là số chính phương nên bạn An đã đếm sai.

a) Ta có: 2⁶ = 2.2.2.2.2.2 = 8.8 = 8²;

Vì 8 > 6 nên 8² > 6² hay 2⁶ > 6².

Vậy 2⁶ > 6².

b) Ta có: 7³⁺¹ = 7³.7 = 7³ + 7³ + 7³ + 7³ + 7³ + 7³ + 7³ > 7³ + 1.

Vậy 7³⁺¹ > 7³ + 1.

c) Ta có: 13¹⁴ – 13¹³ = 13¹³.(13 – 1) = 13¹³.12.

13¹⁵ – 13¹⁴ = 13¹⁴.(13 – 1) = 13¹⁴.12.

Vì 14 > 13 nên 13¹⁴ > 13¹³. Do đó 13¹⁴.12 > 13¹³.12 hay 13¹⁵ – 13¹⁴ > 13¹⁴ – 13¹³.

Vậy 13¹⁵ – 13¹⁴ > 13¹⁴ – 13¹³.

d) 3²⁺ⁿ và 2³⁺ⁿ.

Ta có: 3²⁺ⁿ = 3².3ⁿ = 9.3ⁿ;

2^{3 + n} = 2³.2ⁿ = 8.2ⁿ.

Vì 3 > 2 nên 3ⁿ > 2ⁿ và 9 > 3 do đó 9.3ⁿ > 8.2ⁿ hay 3²⁺ⁿ > 2³⁺ⁿ.

Vậy 3²⁺ⁿ > 2³⁺ⁿ.

a) A = 1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰;

Ta có 3A = 3 + 3² + 3³ + … + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰ + 3¹⁰¹ 

Khi đó:

3A – A = 3 + 3² + 3³ + … + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰ + 3¹⁰¹ – (1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰)

= 3¹⁰¹ – 1.

Suy ra: 2A = 3¹⁰¹ – 1

A = (3¹⁰¹ – 1):2.

Vậy A = (3¹⁰¹ – 1):2.

b) B = 2¹⁰⁰ – 2⁹⁹ + 2⁹⁸ – 2⁹⁷ + … - 2³ + 2² – 2 + 1

Ta có: 2B = 2¹⁰¹ – 2¹⁰⁰ + 2⁹⁹ – 2⁹⁸ + … 2³ – 2² + 2.

Khi đó

2B + B = (2¹⁰¹ – 2¹⁰⁰ + 2⁹⁹ – 2⁹⁸ + … 2³ – 2² + 2) + (2¹⁰⁰ – 2⁹⁹ + 2⁹⁸ – 2⁹⁷ + … - 2³ + 2² – 2 + 1) = 2¹⁰¹ + 1

3B = 2¹⁰¹ + 1

Suy ra: B = (2¹⁰¹ + 1):3.

Vậy B = (2¹⁰¹ + 1):3. 

a) 7⁴.7⁵.7⁶  = 7^{4 + 5 + 6} = 7¹⁵;

b) (54:3)⁷:324 = 18⁷.324 = 18⁷.18.18 = 18^{7 + 1 + 1} = 18⁹;

c) [(8 + 2)².10¹⁰⁰] : (10⁰.10⁹⁴)

= [10².10¹⁰⁰]:(10⁹⁴)

= 10^{2 + 100}:10⁹⁴

= 10¹⁰²:10⁹⁴ 

= 10^{102 – 94}

= 10⁸.

d) a⁹:a⁹ (a 0)

= a^{9 – 9} 

= a⁰

a) Ta có: 123 = 1.100 + 2.10 + 3

= 1.10² + 2.10 + 3.10⁰.

Ta có: 2 355 = 2.1 000 + 3.100 + 5.10 + 5 

= 2.10³ + 3.10² + 5.10 + 5.10⁰.

Ta có:  = a.10 000 + b.1 000 + c.100 + d.10 + e = a.10⁴ + b.10³ + c.10² + d.10 + e

b) Ta có: 

Vì  là các số có ba chữ số nên 

Mà 

Vậy số cần tìm là 100 100.

a) 2^x + 12 = 44;

2^x = 44 – 12

2^x = 32

2^x = 2⁵

x = 5.

Vậy x = 5.

b) 2.5^x+1 – 1 100 = 6.5²

2.5^x+1 = 6.5² + 1 100

2.5^x+1 = 6.25 + 1 100

2.5^x+1 = 150 + 1 100

2.5^x+1 = 1 150

5^x+1 = 1 150:2

5^x+1 = 625

5^x+1 = 5⁴

x + 1 = 4

x = 4 – 1

x = 3.

Vậy x = 3.

c) 2.3^x+1 = 10.3¹² + 8.3¹²

2.3^x+1 = 3¹².(10 + 8) 

2.3^x+1 = 3¹².18

3^x+1 = 3¹².18:2

3^x+1 = 3¹².9

3^x+1 = 3¹².3²

3^x+1 = 3¹⁴

x + 1 = 14

x = 13.

Vậy x = 13.

d) 2^x + 2^x+3 = 144.

2^x + 2^x.2³ = 144

2^x(1 + 2³) = 144

2^x.(1 + 8) = 144

2^x.9 = 144

2^x = 144:9

2^x = 16

2^x = 2⁴

x = 4.

Vậy x = 4.

a) Ta có nhận xét sau: (a^m)ⁿ = a^m.a^m…a^m (n thừa số a^m) = a^{m + m + …+m} = a^m.n.

Ta có: 

2²⁰⁰ .2¹⁰⁰ = 2^{200 + 100} = 2³⁰⁰ = 2^3.100 = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰

3¹⁰⁰.3¹⁰⁰ = 3^{100 + 100} = 3²⁰⁰ = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰.

Vì 8 < 9 nên 8¹⁰⁰ < 9¹⁰⁰ hay 2²⁰⁰.2¹⁰⁰ < 3¹⁰⁰.3¹⁰⁰.

Vậy 2²⁰⁰.2¹⁰⁰ < 3¹⁰⁰.3¹⁰⁰.

b) Ta có nhận xét sau: (ab)^m = (ab).(ab).(ab)…(ab) = (a.a…a).(b.b…b) = a^m.b^m.

Khi đó: 

21¹⁵ = (7.3)¹⁵ = 7¹⁵.3¹⁵

27⁵.49⁸ = (3³)⁵.(7²)⁸ = 3¹⁵.7¹⁶ = 3¹⁵.7¹⁵.7.

Vì 7¹⁵.3¹⁵ < 3¹⁵.7¹⁵.7 nên 21¹⁵ < 27⁵.49⁸.

Vậy 21¹⁵ < 27⁵.49⁸. 

a) Ta có: 54¹⁰ = (54²)⁵ = (2 916)⁵.  

Tích của 5 chữ số 6 có chữ số tận cùng là 6 nên (2 916)⁵ có chữ số tận cùng là 6.

Vậy 54¹⁰ có chữ số tận cùng là 6.

b) 49¹⁵ = 49¹⁴.49 = (49²)⁷.49 = (2 401)⁷.49 

Vì (2 401)⁷ có chữ số tận cùng là 1 nên (2 401)⁷.49 có chữ số tận cùng là 9.

Vậy chữ số tận cùng của số 49¹⁵ là 9.

c) Ta có 11²⁰ có chữ số tận cùng là 1;

119²¹ có chữ số tận cùng là 9;

2 000²² có chữ số tận cùng là 0.

Khi đó 11²⁰ + 119²¹ + 2 000²² có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của tổng 1 + 9 + 0 =10. 

Vậy 11²⁰ + 119²¹ + 2 000²² có chữ số tận cùng là 0.

d) 138³³ = 138³².138 = (138⁴)⁸.138.

Vì (138⁴)⁸ có chữ số tận cùng là 6 nên (138⁴)⁸.138 có tận cùng là 8.

Mà 2 020¹⁴ có chữ số tận cùng là 0.

Do đó 138³³ – 2 020¹⁴ có chữ số tận cùng là 8.

Vậy chữ số tận cùng của 138³³ – 2 020¹⁴ là 8.

a) Ta có:

A = 2² + 2³ + … +2²⁰⁰⁵

A – 4 = 2² + 2³ + … +2²⁰⁰⁵

2(A – 4) = 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰⁰⁶

2(A – 4) – (A – 4) = (2³ + 2⁴ + … + 2²⁰⁰⁶) – (2² + 2³ + … +2²⁰⁰⁵) = 2²⁰⁰⁶ – 2²

A – 4 = 2²⁰⁰⁶ – 4

A = 2²⁰⁰⁶.

Vậy A là một lũy thừa bậc 2006 cơ số 2.

b) B = 5 + 5² + 5³ + … + 5²⁰²¹

Ta thấy các lũy thừa cơ số 5 là một số có chữ số tận cùng là 5 mà B có 2021 số hang là lũy thừa của cơ số 5 nên chữ số tận cùng của B là 5. Suy ra B + 8 có kết quả là một số có chữ số tận cùng là 3 nên B + 8 không thể là bình phương của một số tự nhiên (vì không có bình phương số tự nhiên nào có chữ số tận cùng là 3).