Bài 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Kẻ IA ⊥ Ox

Ta có: IA = 2 = R

Suy ra đường tròn (I) tiếp xúc với trục hoành

Kẻ IB ⊥ Oy

Ta có : IB = 3 > R

Suy ra đường tròn và trục tung không có điểm chung

Vì đường tròn tâm I bán kính 5cm tiếp xúc với đường thẳng a nên khoảng cách từ I đến a là 5cm.

Vậy I nằm trên hai đường thẳng x và y song song với a, cách a một khoảng bằng 5cm.

Kẻ AH ⊥ xy

Ta có: AH = 12cm

Bán kính đường tròn tâm I là 13cm nên R = 13cm

Mà AH = d = 12cm

Nên suy ra d < R

Vậy (A; 13cm) cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt B và C

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông AHC ta có:

$A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2$

Suy ra: $H{C}^2=A{C}^2-A{H}^2={13}^2-{12}^2$ = 25 => HC = 5 (cm)

Ta có: BC = 2.HC = 2.5 = 10 (cm)

Trong tam giác ACD, ta có :

B là trung điểm của AC (gt)

O là trung điểm của CD

Nên OB là đường trung bình của ∆ACD

Suy ra : OB = (1/2).AD (tính chất đường trung bình của tam giác)

Vậy AD = 2.OB = 2.2 = 4 (cm)

Kẻ BE ⊥ CD

Suy ra tứ giác ABED là hình chữ nhật

Ta có: AD = BE

AB = DE = 4 (cm)

Suy ra: CE = CD – DE = 9 – 4 = 5 (cm)

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông BCE ta có :

$B{C}^2=B{E}^2+C{E}^2$

Suy ra : $B{E}^2=B{C}^2-C{E}^2={13}^2-5^2$ = 144

BE = 12 (cm)

Vậy: AD = 12 (cm)

Gọi I là trung điểm của BC

Ta có: IB = IC = (1/2).BC = (1/2).13 = 6,5 (cm) (1)

Kẻ IH ⊥ AD. Khi đó HI là đường trung bình của hình thang ABCD.

Từ (1) và (2) suy ra : IB = IH = R

Vậy đường tròn (I ; BC/2 ) tiếp xúc với đường thẳng AD

Gọi H là giao điểm của OA và CD

Vì CD là đường trung trực của OA nên:

CD ⊥ OA và HA = HO

Mà CD ⊥ OA nên HC = HD (đường kính dây cung)

Vì tứ giác ACOD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình bình hành.

Dồng thời CD ⊥ OA nên ACOD là hình thoi

Vì ACOD là hình thoi nên AC = OC

Mà OC = OA (= R) nên tam giác OAC đều

Ta có: OC ⊥ d (tính chất tiếp tuyến)

AE ⊥ d (gt)

BF ⊥ d (gt)

Suy ra : OC // AE // BF

Mà OA = OB (= R)

Suy ra: CE = CF (tính chất đường thẳng song song cách đều)

Ta có: AE // OC

Vậy AC là tia phân giác của góc OAE hay AC là tia phân giác của góc BAE

Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên góc (ACB) = $90°$

Tam giác ABC vuông tại C có CH ⊥ AB

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

$C{H}^2$ = HA.HB     (3)

Xét hai tam giác ACH và ACE, ta có:

CH = CE (tính chất đường phân giác)

AC chung

Suy ra : $∆$ACH = $∆$ACE (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: AH = AE     (4)

Xét hai tam giác BCH và BCF, ta có:

CH = CF (= CE)

BC chung

Suy ra: $∆$BCH = $∆$BCF (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: BH = BF     (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: $C{H}^2$ = AE.BF

Chọn C

OM = 2$\sqrt{2}$

Điểm M chuyển động trên đường tròn (O; 2$\sqrt{2}$ cm).

Gọi C là tiếp điểm của EF với đường tròn (O), H là giao điểm của OC và AB. Ta có OC ⊥ EF và AB // EF nên OC ⊥ AB.

Ta tính được HB = 12 cm nên OH = 9 cm.

Ta tính được EF = 40cm.