Bài 4: Phương trình tích

(4x – 10)(24 + 5x) = 0 ⇔ 4x – 10 = 0 hoặc 24 + 5x = 0

4x – 10 = 0 ⇔ 4x = 10 ⇔ x = 2,5

24 + 5x = 0 ⇔ 5x = -24 ⇔ x = -4,8

Phương trình có nghiệm x = 2,5 và x = -4,8

(3,5 – 7x)(0,1x + 2,3) = 0 ⇔ 3,5 – 7x = 0 hoặc 0,1x + 2,3 = 0

3,5 – 7x = 0 ⇔ 3,5 = 7x ⇔ x = 0,5

0,1x + 2,3 = 0 ⇔ 0,1x = - 2,3 ⇔ x = -23

Phương trình có nghiệm x = 0,5 hoặc x = -23

($\sqrt{3}$ - x$\sqrt{5}$ )(2x$\sqrt{2}$ + 1) = 0 ⇔ $\sqrt{3}$ - x$\sqrt{5}$ = 0 hoặc 2x$\sqrt{2}$ + 1 = 0

$\sqrt{3}$ - x$\sqrt{5}$ = 0 ⇔ x = $\sqrt{3}$/$\sqrt{5}$ ≈ 0,775

2x$\sqrt{2}$+ 1 = 0 ⇔ x = - 1/2$\sqrt{2}$ ≈ - 0,354

Phương trình có nghiệm x = 0,775 hoặc x = - 0,354

(2x - $\sqrt{7}$ )(x$\sqrt{10}$ + 3) = 0 ⇔ 2x - $\sqrt{7}$ = 0 hoặc x$\sqrt{10}$ + 3 = 0

2x - $\sqrt{7}$ = 0 ⇔ x = $\sqrt{7}$/2 ≈ 1,323

x$\sqrt{10}$ + 3 = 0 ⇔ x = - 3/$\sqrt{10}$ ≈ - 0,949

Phương trình có nghiệm x = 1,323 hoặc x = - 0,949

(2 – 3x$\sqrt{5}$ )(2,5x + $\sqrt{2}$ ) = 0 ⇔ 2 – 3x$\sqrt{5}$ = 0 hoặc 2,5x + $\sqrt{2}$ = 0

2 – 3x$\sqrt{5}$= 0 ⇔ x = 2/3$\sqrt{5}$ ≈ 0,298

2,5x + $\sqrt{2}$ = 0 ⇔ x = - $\sqrt{2}$/ (2,5) ≈ - 0,566

Phương trình có nghiệm x = 0,298 hoặc x = - 0,566

($\sqrt{13}$ + 5x)(3,4 – 4x$\sqrt{1,7}$ ) = 0

$\sqrt{13}$ + 5x = 0 hoặc 3,4 – 4x$\sqrt{1,7}$ = 0

$\sqrt{13}$ + 5x = 0 ⇔ x = - $\sqrt{13}$/ 5 ≈ - 0,721

3,4 – 4x$\sqrt{1,7}$ = 0 ⇔ x = 3,4/(4$\sqrt{1,7}$ ) ≈ 0,652

Phương trình có nghiệm x = - 0,721 hoặc x = 0,652

(x – 1)(5x + 3) = (3x – 8)(x – 1)

⇔ (x – 1)(5x + 3) – (3x – 8)(x – 1) = 0

⇔ (x – 1)[(5x + 3) – (3x – 8)] = 0

⇔ (x – 1)(5x + 3 – 3x + 8) = 0

⇔ (x – 1)(2x + 11) = 0 ⇔ x – 1 = 0 hoặc 2x + 11 = 0

        x – 1 = 0 ⇔ x = 1

       2x + 11 = 0 ⇔ x = -5,5

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = -5,5

3x(25x + 15) – 35(5x + 3) = 0

⇔ 15x(5x + 3) – 35(5x + 3) = 0

⇔ (15x – 35)(5x + 3) = 0 ⇔ 15x – 35 = 0 hoặc 5x + 3 = 0

       15x – 35 = 0 ⇔ x = 35/15 = 7/3

      5x + 3 = 0 ⇔ x = - 3/5

Vậy phương trình có nghiệm x = 7/3 hoặc x = -3/5

(2 – 3x)(x + 11) = (3x – 2)(2 – 5x)

⇔ (2 – 3x)(x + 11) – (3x – 2)(2 – 5x) = 0

⇔ (2 – 3x)(x + 11) + (2 – 3x)(2 – 5x) = 0

⇔ (2 – 3x)[(x + 11) + (2 – 5x)] = 0

⇔ (2 – 3x)(x + 11 + 2 – 5x) = 0

⇔ (2 – 3x)(13 – 4x) = 0 ⇔ 2 – 3x = 0 hoặc 13 – 4x = 0

       2 – 3x = 0 ⇔ x = 2/3

      13 – 4x = 0 ⇔ x = 13/4

Vậy phương trình có nghiệm x = 2/3 hoặc x = 13/4

${\left(2x-1\right)}^2$ + (2 – x)(2x – 1) = 0

⇔ (2x – 1)(2x – 1) + (2 – x)(2x – 1) = 0

⇔ (2x – 1)[(2x – 1) + (2 – x)] = 0

⇔ (2x – 1)(2x – 1 + 2 – x) = 0

⇔ (2x – 1)(x + 1) = 0 ⇔ 2x – 1 = 0 hoặc x + 1 = 0

      2x – 1 = 0 ⇔ x = 0,5

      x + 1 = 0 ⇔ x = - 1

Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5 hoặc x = - 1

(x + 2)(3 – 4x) = $x^2$ + 4x + 4

⇔ (x + 2)(3 – 4x) – ${\left(x+2\right)}^2$ = 0

⇔ (x + 2)(3 – 4x) – (x + 2)(x + 2) = 0

⇔ (x + 2)[(3 – 4x) – (x + 2)] = 0

⇔ (x + 2)(3 – 4x – x – 2) = 0

⇔ (x + 2)(1 – 5x) = 0 ⇔ x + 2 = 0 hoặc 1 – 5x = 0

      x + 2 = 0 ⇔ x = - 2

      1 – 5x = 0 ⇔ x = 0,2

Vậy phương trình có nghiệm x = - 2 hoặc x = 0,2

(x – 1)($x^2$ + 5x – 2) – ($x^3$ – 1) = 0

⇔ (x – 1)($x^2$ + 5x – 2) – (x – 1)($x^2$ + x + 1) = 0

⇔ (x – 1)[($x^2$ + 5x – 2) – ($x^2$ + x + 1)] = 0

⇔ (x – 1)($x^2$ + 5x – 2 – $x^2$ – x – 1) = 0

⇔ (x – 1)(4x – 3) = 0 ⇔ x – 1 = 0 hoặc 4x – 3 = 0

      x – 1 = 0 ⇔ x = 1

      4x – 3 = 0 ⇔ x = 0,75

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = 0,75

$x^2$ + (x + 2)(11x – 7) = 4

⇔ $x^2$ – 4 + (x + 2)(11x – 7) = 0

⇔ (x + 2)(x – 2) + (x + 2)(11x – 7) = 0

⇔ (x + 2)[(x – 2) + (11x – 7)] = 0

⇔ (x + 2)(x – 2 + 11x – 7) = 0

⇔ (x + 2)(12x – 9) = 0 ⇔ x + 2 = 0 hoặc 12x – 9 = 0

       x + 2 = 0 ⇔ x = - 2

      12x – 9 = 0 ⇔ x = 0,75

Vậy phương trình có hai nghiệm x = - 2 hoặc x = 0,75

$x^3$ + 1 = x(x + 1)

⇔ (x + 1)($x^2$ – x + 1) = x(x + 1)

⇔ (x + 1)($x^2$ – x + 1) – x(x + 1) = 0

⇔ (x + 1)($x^2$ – x + 1 – x) = 0

⇔ (x + 1)($x^2$ – 2x + 1) = 0

⇔ (x + 1)${\left(x-1\right)}^2$ = 0 ⇔ x + 1 = 0 hoặc ${\left(x-1\right)}^2$ = 0

       x + 1 = 0 ⇔ x = - 1

       ${\left(x-1\right)}^2$ = 0 ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1

Vậy phương trình có nghiệm x = -1 hoặc x = 1

$x^2$ – 3x + 2 = 0 ⇔ $x^2$ – x – 2x + 2 = 0

⇔ x(x – 1) – 2(x – 1) = 0 ⇔ (x – 2)(x – 1) = 0

⇔ x – 2 = 0 hoặc x – 1 = 0

       x – 2 = 0 ⇔ x = 2

      x – 1 = 0 ⇔ x = 1

Vậy phương trình có nghiệm x= 2 hoặc x = 1

– $x^2$ + 5x – 6 = 0 ⇔ - $x^2$ + 2x + 3x – 6 = 0

⇔ - x(x – 2) + 3(x – 2) = 0 ⇔ (x – 2)(3 – x) = 0

⇔ x – 2 = 0 hoặc 3 – x = 0

      x – 2 = 0 ⇔ x = 2

      3 – x = 0 ⇔ x = 3

Vậy phương trình có nghiệm x = 2 hoặc x = 3.

4$x^2$ – 12x + 5 = 0 ⇔ 4$x^2$ – 2x – 10x + 5 = 0

⇔ 2x(2x – 1) – 5(2x – 1) = 0 ⇔ (2x – 1)(2x – 5) = 0

⇔ 2x – 1 = 0 hoặc 2x – 5 = 0

       2x – 1 = 0 ⇔ x = 0,5

       2x – 5 = 0 ⇔ x = 2,5

Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5 hoặc x = 2,5

2$x^2$ + 5x + 3 = 0 ⇔ 2$x^2$ + 2x + 3x + 3 = 0

⇔ 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0 ⇔ (2x + 3)(x + 1) = 0

⇔ 2x + 3 = 0 hoặc x + 1 = 0

      2x + 3 = 0 ⇔ x = -1,5

      x + 1 = 0 ⇔ x = -1

Vậy phương trình có nghiệm x = -1,5 hoặc x = -1

(x - $\sqrt{2}$ ) + 3($x^2$ – 2) = 0 ⇔ (x - $\sqrt{2}$ )+ 3(x + $\sqrt{2}$ )(x - $\sqrt{2}$ ) = 0

⇔ (x - $\sqrt{2}$ )[1 + 3(x + $\sqrt{2}$ )] = 0 ⇔ (x - $\sqrt{2}$ )(1 + 3x + 3$\sqrt{2}$ ) = 0

⇔ x - $\sqrt{2}$ = 0 hoặc 1 + 3x + 3$\sqrt{2}$ = 0

x - $\sqrt{2}$ = 0 ⇔ x = $\sqrt{2}$

1 + 3x + 3$\sqrt{2}$ = 0 ⇔ x = 

Vậy phương trình có nghiệm x = $\sqrt{2}$ hoặc x = 

$x^2$ – 5 = (2x - $\sqrt{5}$ )(x + $\sqrt{5}$ )

⇔ (x + $\sqrt{5}$ )(x - $\sqrt{5}$) = (2x - $\sqrt{5}$ )(x + $\sqrt{5}$ )

⇔ (x + $\sqrt{5}$ )(x - $\sqrt{5}$ ) – (2x - $\sqrt{5}$)(x + $\sqrt{5}$ ) = 0

⇔ (x + $\sqrt{5}$ )[(x - $\sqrt{5}$ ) – (2x - $\sqrt{5}$ )] = 0

⇔ (x + $\sqrt{5}$ )(- x) = 0 ⇔ x + 5 = 0 hoặc – x = 0

x + $\sqrt{5}$ = 0 ⇔ x = - $\sqrt{5}$

x = 0 ⇔ x = 0

Vậy phương trình có nghiệm x = - $\sqrt{5}$ hoặc x = 0.

Thay x = 1 vào phương trình (3x + 2k – 5)(x – 3k + 1) = 0, ta có:

(3.1 + 2k – 5)(1 – 3k + 1) = 0

⇔ (2k – 2)(2 – 3k) = 0 ⇔ 2k – 2 = 0 hoặc 2 – 3k = 0

      2k – 2 = 0 ⇔ k = 1

      2 – 3k = 0 ⇔ k = 2/3

Vậy với k = 1 hoặc k = 2/3 thì phương trình đã cho có nghiệm x = 1

Với k = 1, ta có phương trình:

(3x – 3)(x – 2) = 0 ⇔ 3x – 3 = 0 hoặc x – 2 = 0

3x – 3 = 0 ⇔ x = 1

x – 2 = 0 ⇔ x = 2

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = 2

Với k = 2/3 , ta có phương trình:

(3x - 11/3 )(x – 1) = 0 ⇔ 3x - 11/3 = 0 hoặc x – 1 = 0

      3x - 11/3 = 0 ⇔ x = 11/9

       x – 1 = 0 ⇔ x = 1

Vậy phương trình có nghiệm x = 11/9 hoặc x = 1.

Thay x = -2 vào phương trình $x^3+a{x}^2-4x-4=0$, ta có:

${\left(-2\right)}^3$ + a${\left(-2\right)}^2$ – 4(-2) – 4 = 0

⇒ -8 + 4a + 8 – 4 = 0 ⇒ 4a – 4 = 0 ⇒ a = 1

Vậy a = 1.

Với a = 1, ta có phương trình: $x^3+a{x}^2-4x-4=0$

⇒ $x^2$(x + 1) – 4(x + 1) = 0 ⇒ ($x^2$ – 4)(x + 1) = 0

⇒ (x + 2)(x – 2)(x + 1) = 0

⇒ x + 2 = 0 hoặc x – 2 = 0 hoặc x + 1 = 0

      x + 2 = 0 ⇒ x = -2

      x – 2 = 0 ⇒ x = 2

      x + 1 = 0 ⇒ x = -1

Vậy phương trình có nghiệm: x = -2 hoặc x = 2 hoặc x = -1.

Phương trình f(x;y) = 0 ⇔ (2x – 3y + 7)(3x + 2y – 1) = 0 nhận x = -3 làm nghiệm nên ta có:

[2(-3) – 3y + 7][3(-3) + 2y – 1] = 0

⇔ (- 6 – 3y + 7)(- 9 + 2y – 1) = 0

⇔ (1 – 3y)(2y – 10) = 0 ⇔ 1 – 3y = 0 hoặc 2y – 10 = 0

1 – 3y = 0 ⇔ y = 1/3

2y – 10 = 0 ⇔ y = 5

Vậy phương trình (2x – 3y + 7)(3x + 2y – 1) = 0 nhận x = -3 làm nghiệm thì y = 1/3 hoặc y = 5.

Phương trình f(x;y) = 0 ⇔ (2x – 3y + 7)(3x + 2y – 1) = 0 nhận y = 2 làm nghiệm nên ta có:

(2x – 3.2 + 7)(3x + 2.2 – 1) = 0 ⇔ (2x – 6 + 7)(3x + 4 – 1) = 0

⇔ (2x + 1)(3x + 3) = 0 ⇔ 2x + 1 = 0 hoặc 3x + 3 = 0

2x + 1 = 0 ⇔ x = - 1/2

3x + 3 = 0 ⇔ x = - 1

Vậy phương trình (2x – 3y + 7)(3x + 2y – 1) = 0 nhận y = 2 làm nghiệm thì x = - 1/2 hoặc x = - 1.