Bài 3 : Phương trình đường thẳng trong không gian

Đường thẳng d vuông góc với mp $\left(\alpha \right)$ x+y-z+5=0 nên đường thẳng d có vecto chỉ phương $\overrightarrow{n}=\left(1;1;-1\right)$

Vậy pt tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+t\\ z=3-t\end{array}\right.$

Vecto chỉ phương của đường thẳng d là a = (2;3;4) (vì d//$∆$)

Vậy pt tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-3t\\ z=-3+4t\end{array}\right.$

vecto chỉ phương của d là a = PQ = (4;2;1) (vì d đi qua hai điểm P(1;2;3),Q(5;4;4)

Vậy pt tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=2+2t\\ z=3+t\end{array}\right.$

+ t = 0 ⇒ điểm M(2; -3; 1) ∈ d

+ t = 1 ⇒ điểm N(3; -1; 4) ∈ d.

 Hình chiếu của M trên (Oxy) là M’(2 ; -3 ; 0).

Hình chiếu của N trên (Oxy) là : N’(3 ; -1 ; 0).

⇒ Hình chiếu của d trên (Oxy) chính là đường thẳng d’ đi qua M’ và N’.

⇒ d’ nhận  là 1 vtcp.

Hình chiếu của M trên (Oyz) là : $M_1$(0 ; -3 ; 1)

Hình chiếu của N trên (Oyz) là : $N_1$(0 ; -1 ; 4)

⇒ Hình chiếu của d trên (Oyz) chính là đường thẳng $d_1$ đi qua $M_1$ và $N_1$

⇒ d1 nhận  là 1 vtcp

Để hai đường thẳng d và d' cắt nhau thì hệ phương trình:

Phải có 1 nghiệm duy nhất

Giải hệ gồm 2 pt (2) và (3) ta được t=2 và t'=0. Thay vào (1) ta được: 1+2a=1-0 <=> a=0. Vậy d cắt d' khi a=0.

Giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d) và mp(α ) là nghiệm hệ phương trình:

Thay (1); (2); (3) vào (4) ta được:

3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) – (1 + t) – 2 = 0

⇔ 36 + 12t + 45 + 15t – 1 – t – 2 = 0

⇔ 26t + 78 = 0

⇔ t = -3

Vậy (d) cắt (α) tại một điểm M(0 ; 0 ; -2).

Giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d) và mp(α ) là nghiệm hệ phương trình:

Thay (1); (2); (3) vào (4) ta được:

1 + t + 3(2 – t) + 1 + 2t + 1 = 0

⇔ 0t + 9 = 0

Phương trình vô nghiệm

⇒ (d) không cắt (α).

Giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d) và mp(α) là nghiệm hệ phương trình:

Thay (1); (2); (3) vào (4) ta được:

1 + t + 1 + 2t + 2 – 3t – 4 = 0

⇔ 0t = 0

Phương trình có vô số nghiệm

⇒ (d) ⊂ (α)

hay (d) cắt (α) tại vô số điểm.

Xét phương trình:

2(-3 + 2t) – 2(-1 + 3t) + (-1 + 2t) + 3 = 0

⇔ 0t – 2 = 0

Phương trình vô nghiệm

⇒ (Δ) // (α).

Điểm A(-3; -1; -1) ∈ (Δ).

Cho H(2+t;1+2t;t)$\in ∆$. Ta có: $\overrightarrow{AH}$=(1+t;1+2t;t) đường thẳng $∆$có vecto chỉ phương $\overrightarrow{a}$=(1;2;1). Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên $∆$ nên AH vuông góc với $∆$<=> $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{a}=0$

Vì A' là điểm đối xứng của A qua $∆$ nên H là trung đểm của AA'. 

Đường thẳng MH vuông góc với (α)

⇒ MH nhận vtpt của (α)  là 1 vtcp

Mà M(1; 4; 2) ∈ MH

⇒ Pt đường thẳng MH: 

⇒ H(1 + t; 4 + t; 2 + t).

H ∈ (α) ⇒ 1 + t + 4 + t + 2 + t – 1 = 0 ⇔ t = -2.

⇒ H(-1; 2; 0).

M’ đối xứng với M qua (α)

⇒ H là trung điểm MM’

⇒ M’(-3; 0; -2).

 Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) là:

Đặt hình lập phương ABCD.A'B'C'D' vào hệ trục Oxyz sao cho O(0;0;0)$\equiv$A

*mp(B'D'C')//mp(A'BD) vì (B'C//A'D và D'C//A'B) nên pt của mp (B'D'C) có dạng x+y+z+D=0 (D$\ne$-1)

mp(B'D'C) đi qua điểm C(1;1;0) <=>D=-2

Suy ra pt của mp(B'D'C) là: x+y+z-z=0