Bài 3 : Phương trình đường thẳng trong không gian
25 câu hỏi
Trong không gian Oxyz cho điểm Mo(1; 2; 3) và hai điểm M1(1 + t; 2 + t; 3 + t),M2(1 + 2t; 2 + 2t; 3 + 2t) di động với tham số t. Hãy chứng tỏ ba điểm Mo,M1,M2 luôn thẳng hàng.
Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số
x=-1+2ty=3-3tz=5+4t
Hãy tìm tọa độ của một điểm M trên Δ và tọa độ một vecto chỉ phương của Δ.
1 điểm M thuộc Δ là: M (-1; 3; 5) và 1 vecto chỉ phương của Δ là a→ = (2;-3;4)
Cho hai đường thẳng d và d' có phương trình tham số lần lượt là x=3+2ty=6+4tz=4+tvà x=2+t'y=1-t'z=5+2t'
Hãy chứng tỏ điểm M(1; 2; 3) là điểm chung của d và d’
tọa độ M thỏa mãn phương trình tham số của d với t = -1
Tọa độ M thỏa mãn phương trình tham số của d’ với t = -1
⇒ M là điểm chung của d và d’
Cho hai đường thẳng d và d' có phương trình tham số lần lượt là x=3+2ty=6+4tz=4+tvà x=2+t'y=1-t'z=5+2t'
Hãy chứng tỏ d và d’ có hai vecto chỉ phương không cùng phương.
ad→ = (2;4;1); ad'→ = (1;-1;2) là hai vecto không tỉ lệ nên hai veco đó không cùng phương
Chứng minh hai đường thẳng sau đây trùng nhau: d:x=3-ty=4+tz=5-2t và d': x=2-3t'y=5+3t'z=3-6t'
M (3; 4; 5) ∈ d và M (3; 4; 5) ∈ d’
Nên d trùng với d’
Tìm số giao điểm của mặt phẳng (α): x + y + z - 3 = 0 với đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) d:x=2+ty=3-tz=1b) d: x=1+2ty=1-tz=1-tc)x=1+5ty=1-4tz=1+3t
a) Xét phương trình: (2 + t) + (3 - t) + 1 – 3 = 0
⇔ 3 = 0(vô nghiệm) ⇒ mặt phẳng (α)và d không có điểm chung
b) Xét phương trình: (1 + 2t) + (1 - t) + (1 - t) – 3 = 0
⇔ 0 = 0(vô số nghiệm) ⇒ d ∈ (α)
c) Xét phương trình: (1 + 5t) + (1 - 4t) + (1 + 3t) – 3 = 0
⇔ 4t = 0 ⇔ t = 0 ⇒ mặt phẳng (α)và d có 1 điểm chung
Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: d đi qua M(5; 4; 1) và có vectơ chỉ phương a→=2;-3;1
Ta có: x=5+2ty=4-3tz=1+t
Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: d đi qua A(2; -1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α): x + y – z + 5 = 0.
Đường thẳng d vuông góc với mp α x+y-z+5=0 nên đường thẳng d có vecto chỉ phương n→=1;1;-1
Vậy pt tham số của đường thẳng d là: x=2+ty=-1+tz=3-t
Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: d đi qua B(2; 0; -3) và song song với đường thẳng ∆:x=1+2ty=-3+3tz=4t
Vecto chỉ phương của đường thẳng d là a = (2;3;4) (vì d//∆)
Vậy pt tham số của đường thẳng d là: x=2+2ty=-3tz=-3+4t
Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: d đi qua hai điểm P(1; 2; 3) và Q(5; 4; 4).
vecto chỉ phương của d là a = PQ = (4;2;1) (vì d đi qua hai điểm P(1;2;3),Q(5;4;4)
Vậy pt tham số của đường thẳng d là: x=1+4ty=2+2tz=3+t
Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:x=2+ty=-3+2tz=1+3t lần lượt trên các mặt phẳng Oxy
+ t = 0 ⇒ điểm M(2; -3; 1) ∈ d
+ t = 1 ⇒ điểm N(3; -1; 4) ∈ d.
Hình chiếu của M trên (Oxy) là M’(2 ; -3 ; 0).
Hình chiếu của N trên (Oxy) là : N’(3 ; -1 ; 0).
⇒ Hình chiếu của d trên (Oxy) chính là đường thẳng d’ đi qua M’ và N’.
⇒ d’ nhận 
là 1 vtcp.
QUẢNG CÁO
Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:x=2+ty=-3+2tz=1+3t lần lượt trên các mặt phẳng Oyz
Hình chiếu của M trên (Oyz) là : M1(0 ; -3 ; 1)
Hình chiếu của N trên (Oyz) là : N1(0 ; -1 ; 4)
⇒ Hình chiếu của d trên (Oyz) chính là đường thẳng d1 đi qua M1 và N1
⇒ d1 nhận 
là 1 vtcp
Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng d và d' cho bởi các phương trình sau: a) d:x=-3+2ty=-2+3tz=6+4t d': x=5+t'y=-1-4t'z=20+t'
b) d:x=1+ty=2+tz=3-t d':x=1+2t'y=-1+2tz=2-2t'
Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau: d: x=1+aty=tz=-1+2t d': x=1-t'y=2+2t'z=3-t'
Để hai đường thẳng d và d' cắt nhau thì hệ phương trình:
Phải có 1 nghiệm duy nhất
Giải hệ gồm 2 pt (2) và (3) ta được t=2 và t'=0. Thay vào (1) ta được: 1+2a=1-0 <=> a=0. Vậy d cắt d' khi a=0.
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:d:x=12+4ty=9+3tz=1+tα: 3x+5y-z-2=0
Giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d) và mp(α ) là nghiệm hệ phương trình:
Thay (1); (2); (3) vào (4) ta được:
3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) – (1 + t) – 2 = 0
⇔ 36 + 12t + 45 + 15t – 1 – t – 2 = 0
⇔ 26t + 78 = 0
⇔ t = -3
Vậy (d) cắt (α) tại một điểm M(0 ; 0 ; -2).
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau: x=1+ty=2-tz=1+2tα:x+3y+z+1=0
Giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d) và mp(α ) là nghiệm hệ phương trình:
Thay (1); (2); (3) vào (4) ta được:
1 + t + 3(2 – t) + 1 + 2t + 1 = 0
⇔ 0t + 9 = 0
Phương trình vô nghiệm
⇒ (d) không cắt (α).
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:
d:x=1+ty=1+2tz=2-3t α:x+y+z-4=0
Giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d) và mp(α) là nghiệm hệ phương trình:
Thay (1); (2); (3) vào (4) ta được:
1 + t + 1 + 2t + 2 – 3t – 4 = 0
⇔ 0t = 0
Phương trình có vô số nghiệm
⇒ (d) ⊂ (α)
hay (d) cắt (α) tại vô số điểm.
Tính khoảng cách giữ đường thẳng ∆:x=-3+2ty=-1+3tz=-1+2t và mpα:2x-2y+z+3=0
Xét phương trình:
2(-3 + 2t) – 2(-1 + 3t) + (-1 + 2t) + 3 = 0
⇔ 0t – 2 = 0
Phương trình vô nghiệm
⇒ (Δ) // (α).
Điểm A(-3; -1; -1) ∈ (Δ).
Cho điểm A(1;0;0) và đường thẳng ∆:x=2+ty=1+2tz=t Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆
Cho H(2+t;1+2t;t)∈∆. Ta có: AH→=(1+t;1+2t;t) đường thẳng ∆có vecto chỉ phương a→=(1;2;1). Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên ∆ nên AH vuông góc với ∆<=> AH→.a→=0
Cho điểm A(1;0;0) và đường thẳng ∆:x=2+ty=1+2tz=t Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng ∆
Vì A' là điểm đối xứng của A qua ∆ nên H là trung đểm của AA'.
Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0 Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α).
Đường thẳng MH vuông góc với (α)
⇒ MH nhận vtpt của (α) 
là 1 vtcp
Mà M(1; 4; 2) ∈ MH
⇒ Pt đường thẳng MH: 
⇒ H(1 + t; 4 + t; 2 + t).
H ∈ (α) ⇒ 1 + t + 4 + t + 2 + t – 1 = 0 ⇔ t = -2.
⇒ H(-1; 2; 0).
Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0 Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (α).
M’ đối xứng với M qua (α)
⇒ H là trung điểm MM’
⇒ M’(-3; 0; -2).
Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0. Tính khoảng cách từ M đến mp(α).
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) là:
Cho hai đường thẳng d: x=1-ty=2+2tz=3tvà d: x=1+ty=3-2tz=1 chứng minh d và d' chéo nhau.
Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A'BD) và (B'D'C).
Đặt hình lập phương ABCD.A'B'C'D' vào hệ trục Oxyz sao cho O(0;0;0)≡A
*mp(B'D'C')//mp(A'BD) vì (B'C//A'D và D'C//A'B) nên pt của mp (B'D'C) có dạng x+y+z+D=0 (D≠-1)
mp(B'D'C) đi qua điểm C(1;1;0) <=>D=-2
Suy ra pt của mp(B'D'C) là: x+y+z-z=0
