Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Đặt f(x) = ${\mathrm{x}}^3$ – 3${\mathrm{x}}^2$ (C1)

y = m (${\mathrm{C}}_2$)

Phương trình ${\mathrm{x}}^3$ – 3${\mathrm{x}}^2$ – m = 0 có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (${\mathrm{C}}_1$) và (${\mathrm{C}}_2$) có ba giao điểm.

Ta có:

f′(x) = 3${\mathrm{x}}^2$ − 6x = 3x(x − 2) = 0

Bảng biến thiên:

Suy ra (${\mathrm{C}}_1$) và (${\mathrm{C}}_2$) cắt nhau tại 3 điểm khi -4 < m < 0

Kết luận : Phương trình  ${\mathrm{x}}^3$ – 3${\mathrm{x}}^2$ – m = 0 có ba nghiệm phân biệt với những giá trị của m thỏa mãn điều kiện: -4 < m < 0.

Cho m > 0. Đặt x là số thứ nhất, 0 < x < m , số thứ hai là m – x

Xét tích P(x) = x(m – x)

Ta có: P’(x) = -2x + m

P′(x) = 0 ⇔ x = m/2

Bảng biến thiên

Từ đó ta có giá trị lớn nhất của tích hai số là: max P(x) = P(m/2) = ${\mathrm{m}}^2$/4

s = 6${\mathrm{t}}^2$ – ${\mathrm{t}}^3$, t > 0

Vận tốc chuyển động là v = s’ , tức là v = 12t – 3${\mathrm{t}}^2$

Ta có: v’ = 12 – 6t

v’ = 0 ⇔ t = 2

Hàm số v đồng biến trên khoảng (0;2) và nghịch biến trên khoảng (2;+$\infty$).

Vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 2. Khi đó max V = ${\mathrm{V}}_{\mathrm{CD}}$ = v(2) = 12(m/s).

Kí hiệu cạnh góc vuông AB là x, 0 < x < a/2

Khi đó, cạnh huyền BC = a – x , cạnh góc vuông kia là:

Diện tích tam giác ABC là:

S′(x) = 0 ⇔ x = a/3

Bảng biến thiên:

Tam giác có diện tích lớn nhất khi AB = a/3; BC = 2a/3

Đáp án: A.

Ta có y(0) = -5, y(3) = -2, tọa độ đỉnh: x = -b/2a = 2

⇒ y(2) = -4 + 8 - 5 = -1; max y = max(-5; -2; -1) = -1.

Cách khác: Vì a = -1 nên parabol y = -${\mathrm{x}}^2$ + 4x - 5 đạt cực đạt tại đỉnh (2; -1). Vì vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;3] là y(2) = -1.

Đáp án: D.

Ta có f(x) = ${\mathrm{x}}^3$ + 3${\mathrm{x}}^2$ - 9x - 7 ⇒ f'(x) = 3${\mathrm{x}}^2$ + 6x - 9 = 0

⇔ 

f(-4) = 13, f(-3) = 30, f(1) = -12, f(3) = 20

Vậy min f(x) = -12.

Đáp án: A.

Tập xác định: D = R \{3}

 $\forall$x $\in$ D.

Do đó f(x) nghịch biến trên (-$\infty$; 3) và (3; +$\infty$).

Ta thấy [0;2] $\subset$ (-$\infty$;3). Vì vậy

max f(x) = f(0) = 1/3, min f(x) = f(2) = -3.

Đáp án: B.

Gọi một trong hai số phải tìm là x, ta có số kia là x + 13

Xét tích p(x) = x(x + 13) = ${\mathrm{x}}^2$ + 13x;

p'(x) = 2x + 13; p'(x) = 0 ⇔ x = -13/2.

Bảng biến thiên

Vậy tích hai số là bé nhất khi một số là x = -13/2 và số kia là x + 13 = 13/2.

Đáp án: B.

Bảng biến thiên

max y = 4/3

Đáp án: D.

Trên khoảng (0; $\mathrm{\pi }$/2), sin(x + $\mathrm{\pi }$/4) $\le$ 1;

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = $\mathrm{\pi }$/4

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là min y = y($\mathrm{\pi }$/4) = $\sqrt{2}$/2.