Bài 3, 4, 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

${\left(x+y\right)}^2+{\left(x-y\right)}^2$

= $x^2$ + 2xy + $y^2$ + $x^2$ – 2xy + $y^2$

= 2$x^2$ + 2$y^2$

2(x – y)(x + y) + ${\left(x+y\right)}^2$ + ${\left(x-y\right)}^2$

= ${\left(x+y\right)}^2$ +2( x+ y).(x- y) +${\left(x-y\right)}^2$

(áp dụng hằng đẳng thức thứ 1với A = x+ y, B = x- y)

= ${\left[\left(x+y\right)+\left(x-y\right)\right]}^2={\left(2x\right)}^2=4x^2$

${\left(x-y+z\right)}^2$ + ${\left(z-y\right)}^2$ + 2(x – y + z)(y – z)

= ${\left(x-y+z\right)}^2$ + 2(x – y + z)(y – z) + ${\left(y-z\right)}^2$

= ${\left[\left(x-y+z\right)+\left(y-z\right)\right]}^2=x^2$

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)

Ta có: $a^2$ = ${\left(5k+4\right)}^2$

      = 25$k^2$ + 40k + 16

      = 25$k^2$ + 40k + 15 + 1

      = 5(5$k^2$ + 8k +3) +1

Ta có: 5 ⋮ 5 nên 5(5$k^2$ + 8k + 3) ⋮ 5

Vậy $a^2$ = ${\left(5k+4\right)}^2$ chia cho 5 dư 1. (đpcm)

Ta có: $x^2$ – $y^2$ = (x + y)(x – y)

Thay x = 87, y = 13, ta được:

$x^2$ – $y^2$ = (x + y)(x – y)

             = (87 + 13)(87 – 13)

             = 100.74 = 7400

$x^3$ - 3$x^2$ + 3x - 1 tại x = 101.

= $x^3$ - 3.$x^2$.1 + 3.x.$1^2$ - $1^3$ = ${\left(x-1\right)}^3$

= ${\left(101-1\right)}^3={100}^3$ = 1000000

Ta có: $x^3$ + 9$x^2$ + 27x + 27

      = $x^3$ + 3.$x^2$.3 + 3.x.$3^2$ + $3^3$

      = ${\left(x+3\right)}^3$

Thay x = 97, ta được: ${\left(x+3\right)}^3$ = ${\left(97+3\right)}^3$ = ${100}^3$ = 1000000

Biến đổi vế trái ta có:

VT = (a + b)($a^2$ – ab + $b^2$) + (a – b)($a^2$ + ab + $b^2$)

= $a^3$ + $b^3$ + $a^3$ – $b^3$ = 2$a^3$ = VP

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Biến đổi vế trái ta có:

VT = $a^3$+$b^3$=(a+b)($a^2$-ab+$b^2$)

=(a+b)($a^2$-2ab+$b^2$+ab)

=(a + b)[${\left(a-b\right)}^2$ + ab] = VP

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

Biến đổi vế trái ta có:

VT = ($a^2$ + $b^2$)($c^2$ + $d^2$)

= $a^2$$c^2$ + $a^2$$d^2$ + $b^2$$c^2$ + $b^2$$d^2$

= ($a^2$$c^2$ + 2abcd + $b^2$$d^2$ ) + ($a^2$d2 – 2abcd + $b^2$$c^2$)

= ${\left(ac+bd\right)}^2+{\left(ad-bc\right)}^2$=VP

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

Ta có: $x^2$ – 6x + 10 = $x^2$ – 2.x.3 + 9 + 1 = ${\left(x-3\right)}^2$ + 1

Vì ${\left(x-3\right)}^2$ ≥ 0 với mọi x nên ${\left(x-3\right)}^2$ + 1 > 0 mọi x

Vậy $x^2$ – 6x + 10 > 0 với mọi x.(đpcm)

Ta có: 4x – $x^2$ – 5 = -($x^2$ – 4x + 4) – 1 = -${\left(x-2\right)}^2$ -1

Vì ${\left(x-2\right)}^2$ ≥ 0 với mọi x nên –${\left(x-2\right)}^2$ ≤ 0 với mọi x.

Suy ra: -${\left(x-2\right)}^2$ -1 ≤ -1 với mọi x

Vậy 4x – $x^2$ – 5 < 0 với mọi x.(đpcm)

Ta có: P = $x^2$ – 2x + 5 = $x^2$ – 2x + 1 + 4 = ${\left(x-1\right)}^2$ + 4

Vì ${\left(x-1\right)}^2$ ≥ 0 nên ${\left(x-1\right)}^2$ + 4 ≥ 4

Suy ra: P = 4 là giá trị bé nhất khi ${\left(x-1\right)}^2$ = 0 ⇒ x = 1

Vậy P = 4 là giá trị bé nhất của đa thức khi x = 1.

Ta có: Q = 2$x^2$ – 6x = 2($x^2$ – 3x) = 2($x^2$ – 2.3/2 x + 9/4 - 9/4)

      = 2[${\left(x-3/2\right)}^2$ - 9/4 ] = 2${\left(x-3/2\right)}^2$ - 9/2

Vì ${\left(x-3/2\right)}^2$ ≥ 0 nên 2${\left(x-3/2\right)}^2$ ≥ 0 ⇒ 2${\left(x-3/2\right)}^2$ - 9/2 ≥ - 9/2

Suy ra: Q = - 9/2 là giá trị nhỏ nhất khi ${\left(x-3/2\right)}^2$ = 0 ⇒ x = 3/2

Vậy Q = - 9/2 là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = 3/2.

Ta có: M = $x^2$ + $y^2$ – x + 6y + 10 = ($y^2$ + 6y + 9) + ($x^2$ – x + 1)

= ${\left(y+3\right)}^2$ + ($x^2$ – 2.1/2 x + 1/4) + 3/4 = ${\left(y+3\right)}^2$ + ${\left(x-1/2\right)}^2$ + 3/4

Vì ${\left(y+3\right)}^2$ ≥ 0 và ${\left(x-1/2\right)}^2$ ≥ 0 nên ${\left(y+3\right)}^2$ + ${\left(x-1/2\right)}^2$ ≥ 0

⇒ M = ${\left(y+3\right)}^2$ + ${\left(x-1/2\right)}^2$ + 3/4 ≥ 3/4

⇒ M = 3/4 khi 

Vậy M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất tại y = -3 và x = 1/2

Ta có: A = 4x – $x^2$ + 3

              = 7 – $x^2$ + 4x – 4

              = 7 – ($x^2$ – 4x + 4)

      = 7 – ${\left(x-2\right)}^2$

Vì ${\left(x-2\right)}^2$ ≥ 0 với mọi x nên A = 7 – ${\left(x-2\right)}^2$ ≤ 7

Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 khi x – 2 = 0 hay x = 2

Ta có: B = x – $x^2$

              = 1/4 - $x^2$ + x - 1/4

              = 1/4 - ($x^2$- 2.x. 1/2 + 1/4 )

              = 1/4 - ${\left(x-1/2\right)}^2$

Vì ${\left(x-1/2\right)}^2$ ≥ 0 với mọi x nên B = 1/4 - ${\left(x-1/2\right)}^2$ ≤ 1/4

Vậy giá trị lớn nhất của B là 1/4 khi x- 1/2 = 0 hay x = 1/2 .

Ta có: N = 2x – 2$x^2$ – 5

      = - 2($x^2$ – x + 5/2 )

      = - 2($x^2$ – 2.x. 1/2 + 1/4 + 9/4 )

      = - 2[${\left(x-1/2\right)}^2$ + 9/4 ]

      = - 2${\left(x-1/2\right)}^2$ - 9/2

Vì ${\left(x-1/2\right)}^2$ ≥ 0 với mọi x nên - 2${\left(x-1/2\right)}^2$ ≤ 0

Suy ra: N = - 2${\left(x-1/2\right)}^2$ - 9/2 ≤ - 9/2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là - 9/2 khi x- ½ = 0 hay x = 1/2 .

Chọn B

Ta có: ${\left(x-y\right)}^2$ = $x^2$-2xy+$y^2$ = ($x^2$+$y^2$) - 2xy = 26 - 2.5=16

Chọn D.

Cách 1: $\left(a^2+2a+4\right)\left(a-2\right)$=$a^3$-2$a^2$+2$a^2$-4a+4a-8=$a^3$ – 8

Cách 2: $\left(a^2+2a+4\right)\left(a-2\right)$ = (a- 2).($a^2$ + 2a + 4) = $a^3$ – 8 ( hằng đẳng thức).

   P = (5x − 1) + 2(1 − 5x)(4 + 5x) + ${\left(5x+4\right)}^2$

      = 5x – 1 + (2 – 10x).( 4+ 5x) + ${\left(5x+4\right)}^2$

      = 5x – 1 + 8 + 10x – 40x – 50$x^2$ + 25$x^2$ + 40x + 16

      = (- 50$x^2$ + 25$x^2$)+ ( 5x + 10x – 40x + 40x) + (- 1+ 8 + 16)

      = -25$x^2$ + 15x + 23

Q = ${\left(x-y\right)}^3$ + ${\left(y+x\right)}^3$ + ${\left(y-x\right)}^3$ – 3xy(x + y)

      = $x^3$ – 3$x^2$y + 3x$y^2$ – $y^3$ + $y^3$ + 3$y^2$.x + 3y$x^2$ + $x^3$ + $y^3$ – 3$y^2$.x +3y$x^2$ – $x^3$ – 3$x^2$y – 3x$y^2$

      = $x^3$ – 3$x^2$y + 3x$y^2$ – $y^3$ + $y^3$ + 3.x$y^2$ + 3$x^2$.y + $x^3$ + $y^3$ – 3x.$y^2$+ 3$x^2$.y – $x^3$ – 3$x^2$y – 3x$y^2$

       = ( $x^3$ + $x^3$ – $x^3$)+ ( - 3$x^2$y + 3$x^2$y+ 3$x^2$y – 3$x^2$y)+ (3x$y^2$ + 3x$y^2$ - 3x$y^2$- 3x$y^2$) + (-$y^3$+ $y^3$+ $y^3$ )

       = $x^3$ + 0$x^2$y + 0.x$y^2$ + $y^3$

       = $x^3$+ $y^3$

Ta có:

($5^2$ - 1).P = ($5^2$ – 1).12.($5^2$ + 1)($5^4$ + 1)($5^8$ + 1)($5^{16}$ + 1)

= 12.( $5^2$ – 1).($5^2$ + 1)($5^4$ + 1)($5^8$ + 1)($5^{16}$ + 1)

= 12.( $5^4$ - 1)( $5^4$ + 1)( $5^8$ + 1)($5^{16}$ + 1)

= 12.( $5^8$ - 1)( $5^8$ + 1)($5^{16}$ + 1)

= 12.( $5^{16}$ - 1)($5^{16}$ + 1)

= 12.( $5^{32}$ - 1)

Biến đổi vế trái:

${\left(a+b+c\right)}^3$= ${\left[\left(a+\right)+c\right]}^3$ = ${\left(a+b\right)}^3$+3${\left(a+b\right)}^2$ c+3(a+b)$c^2$+$c^3$

      = $a^3$ + 3$a^2$b + 3a$b^2$ + $b^3$ + 3($a^2$ + 2ab + $b^2$)c + 3a$c^2$ + 3b$c^2$ + $c^3$

      = $a^3$ + 3$a^2$b + 3a$b^2$ + $b^3$ + 3$a^2$c + 6abc + 3$b^2$c + 3a$c^2$ + 3b$c^2$ + c3

      = $a^3$ + $b^3$ + $c^3$ + 3$a^2$b + 3a$b^2$ + 3$a^2$c + 6abc + 3$b^2$c + 3a$c^2$ + 3b$c^2$

      = $a^3$ + $b^3$ + $c^3$ + (3$a^2$b + 3a$b^2$) +( 3$a^2$c + 3abc)+ (3abc + 3$b^2$c)+(3a$c^2$ + 3b$c^2$)

      = $a^3$ + $b^3$ + $c^3$ + 3ab(a + b) + 3ac(a + b) + 3bc(a + b) + 3$c^2$(a + b)

      = $a^3$ + $b^3$ + $c^3$ + 3(a + b)(ab + ac + bc + $c^2$)

      = $a^3$ + $b^3$ + $c^3$ + 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)]

      = $a^3$ + $b^3$ + $c^3$ + 3(a + b)(b + c)(a + c) (đpcm)