Bài 2: Cực trị của hàm số

Hàm số xác định trên khoảng (−$\sqrt{10}$;$\sqrt{10}$).

Vì y’ > 0 với mọi (−$\sqrt{10}$;$\sqrt{10}$) nên hàm số đồng biến trên khoảng đó và do đó không có cực trị.

TXĐ: D = (−$\infty$; −$\sqrt{6}$) ∪ ($\sqrt{6}$; +$\infty$)

Bảng biến thiên:

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -3, đạt cực tiểu tại x = -3 và ${\mathrm{y}}_{\mathrm{CT}}$ = y(3) = 9$\sqrt{3}$; ${\mathrm{y}}_{\mathrm{CD}}$ = y(−3) = −9$\sqrt{3}$

y = sin2x

Hàm số có chu kỳ T = $\mathrm{\pi }$

Xét hàm số y=sin2x trên đoạn [0;$\mathrm{\pi }$], ta có:

y' = 2cos2x

y' = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Do đó trên đoạn [0;$\mathrm{\pi }$] , hàm số đạt cực đại tại $\mathrm{\pi }$/4 , đạt cực tiểu tại 3$\mathrm{\pi }$/4 và ${\mathrm{y}}_{\mathrm{CD}}$ = y($\mathrm{\pi }$/4) = 1; ${\mathrm{y}}_{\mathrm{CT}}$ = y(3$\mathrm{\pi }$/4) = −1

Vậy trên R ta có:

${\mathrm{y}}_{\mathrm{CD}}$ = y($\mathrm{\pi }$/4 + k$\mathrm{\pi }$) = 1;

${\mathrm{y}}_{\mathrm{CT}}$ = y(3$\mathrm{\pi }$/4 + k$\mathrm{\pi }$) = −1, k$\in$Z

Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn [−$\mathrm{\pi }$;$\mathrm{\pi }$].

y′ = − sinx – cosx

y′ = 0 ⇔ tanx = −1 ⇔ x = −$\mathrm{\pi }$/4 + k$\mathrm{\pi }$, k$\in$Z

Lập bảng biến thiên trên đoạn [−$\mathrm{\pi }$;$\mathrm{\pi }$]

Hàm số đạt cực đại tại x = −$\mathrm{\pi }$/4 + k2$\mathrm{\pi }$ , đạt cực tiểu tại x = 3$\mathrm{\pi }$/4 + k2$\mathrm{\pi }$ (k$\in$Z) và

${\mathrm{y}}_{\mathrm{CD}}$ = y(−$\mathrm{\pi }$/4 + k2$\mathrm{\pi }$) = $\sqrt{2}$;

${\mathrm{y}}_{\mathrm{CT}}$ = y(3$\mathrm{\pi }$/4 + k2$\mathrm{\pi }$) = −$\sqrt{2}$ (k∈Z).

Ta có:

Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ $\mathrm{\pi }$

Ta xét hàm số y trên đoạn [0;$\mathrm{\pi }$]:

y′ = sin2x

y′ = 0 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x = k$\mathrm{\pi }$/2 (k$\in$Z)

Lập bảng biến thiên trên đoạn [0,$\mathrm{\pi }$]

Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = k$\mathrm{\pi }$/2 với k chẵn, đạt cực đại tại x = k$\mathrm{\pi }$/2 với k lẻ, và

${\mathrm{y}}_{\mathrm{CT}}$ = y(2m$\mathrm{\pi }$) = 0; ${\mathrm{y}}_{\mathrm{CT}}$ = y(2m$\mathrm{\pi }$) = 0;

${\mathrm{y}}_{\mathrm{CD}}$ = y((2m+1)$\mathrm{\pi }$/2) = 1 (m$\in$Z)

TXĐ: D = R

y’ = 3${\mathrm{x}}^2$ + 4mx + m

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.

⇔ 3${\mathrm{x}}^2$ + 4mx + m có hai nghiệm phân biệt.

⇔ $∆$’ = 4${\mathrm{m}}^2$ -3m > 0 ⇔ m(4m – 3) > 0

⇔ 

Vậy hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi m < 0 hoặc m > 3/4.

TXĐ: D = R

y’ = 3${\mathrm{x}}^2$ – 4x + m; y’ = 0 ⇔ 3${\mathrm{x}}^2$ – 4x + m = 0

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi:

$∆$’ = 4 – 3m > 0 ⇔ m < 4/3 (∗)

Hàm số có cực trị tại x = 1 thì :

y’(1) = 3 – 4 + m = 0 ⇒ m = 1 (thỏa mãn điều kiện (∗) )

Mặt khác, vì:

y’’ = 6x – 4 ⇒ y’’(1) = 6 – 4 = 2 > 0

cho nên tại x = 1, hàm số đạt cực tiểu.

Vậy với m = 1, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1

Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Ta có:

Xét y’ = 0, ta có: y′ = 3${\mathrm{x}}^2$ − 2mx + (m – 2/3)

$∆$’ > 0 khi m < 1 hoặc m > 2 (∗)

Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì

y′(1) = 3 − 2m + m – 2/3 = 0 ⇔ m = 7/3, thỏa mãn điều kiện (∗)

Với m = 7/3 thì hàm số đã cho trở thành:

Ta có:

Vì y′′(1) = 6 – (14/3) > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và ${\mathrm{y}}_{\mathrm{CT}}$ = y(1) = (16/3).

Hàm số:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}-2\mathrm{x} \mathrm{nếu} \mathrm{x}\ge 0\\ \sin \frac{\mathrm{x}}{2} \mathrm{nếu} \mathrm{x}<0\end{array}\right.$

Không có đạo hàm tại x = 0 vì:

Mặt khác, với x < 0 thì 

với x > 0 thì y’ = -2 < 0

Bảng biến thiên:

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và ${\mathrm{y}}_{\mathrm{CD}}$ = y(0) = 0.

Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định R\{m}.

Ta có:

Xét g(x) = ${\mathrm{x}}^2$ – 2mx – 2${\mathrm{m}}^2$ + 3

$∆$’g = ${\mathrm{m}}^2$ + 2${\mathrm{m}}^2$ – 3 = 3(${\mathrm{m}}^2$ – 1) ;

$∆$’g $\le$ 0 khi – 1 $\le$ m $\le$ 1.

Khi – 1 $\le$ m $\le$ 1 thì phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hay y’ = 0 vô nghiệm và y’ > 0 trên

tập xác định. Khi đó, hàm số không có cực trị.

Khi m = 1 hoặc m = -1, hàm số đã cho trở thành y = x + 3 (với x $\ne$ 1) hoặc y = x – 3 (với x $\ne$ - 1) Các hàm số này không có cực trị.

Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi – 1 $\le$ m $\le$ 1.

Đáp án B

Hàm số y = ${\left(\mathrm{x}+1\right)}^3$(5 - x) xác định trên R.

y' = -${\left(\mathrm{x}+1\right)}^3$ + 3${\left(\mathrm{x}+1\right)}^2$(5 - x) = 2${\left(\mathrm{x}+1\right)}^2$(7 - 2x)

y' = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên

Suy ra hàm số chỉ có một cực trị (là cực đại)

Cách khác: Nhận xét rằng y' chỉ đổi dấu khi x đi qua 7/2 nên hàm số chỉ có một cực trị

Đáp án: D.

Hàm số y = ${\mathrm{x}}^4$ - 5${\mathrm{x}}^2$ + 4 xác định trên R.

y' = 4${\mathrm{x}}^3$ - 10x = 2x(2${\mathrm{x}}^2$ - 5);

y' = 0 khi

y'' = 12${\mathrm{x}}^2$ - 10

Vì y''(0) = -10 < 0,

nên hàm số chỉ có một cực đại (tại x = 0)

Cách khác: Vì a > 0 và y' = 0 có ba nghiệm phân biệt nên hàm số y = a${\mathrm{x}}^4$ + b${\mathrm{x}}^2$ + c có một cực đại

Đáp án: C.

Tập xác định: D = R. y' = 3${\mathrm{x}}^2$ - 6x + m.

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y' đổi dấu trên R

⇔ 3${\mathrm{x}}^2$ - 6x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ $∆$' = 9 - 3m > 0 ⇔ 3m < 9 ⇔ m < 3

Đáp án: D.

Tập xác định: D = R \ {m}

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y' đổi dấu trên D

⇔ ${\mathrm{x}}^2$ - 2mx + 2${\mathrm{m}}^2$ - 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ $∆$' = -${\mathrm{m}}^2$ + 5 > 0 ⇔ -$\sqrt{5}$ < m < $\sqrt{5}$

Đáp án: B.

Vì a < 0 và y' = 0 có ba nghiệm phân biệt nên hàm số y = a${\mathrm{x}}^4$ + b${\mathrm{x}}^2$ + c có hai cực đại, một cực tiểu.

Ở đây y' = -4${\mathrm{x}}^3$ + 8x; y' = 0 ⇔ -4x(${\mathrm{x}}^2$ - 2) = 0

⇔ 

Đáp án: A.

- Nếu m = 0 thì y = -2x - 2, hàm số không có cực trị.

- Nếu m $\ne$ 0: Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = m${\mathrm{x}}^2$ + 2mx + 2(m - 1) = 0 không có hai nghiệm phân biệt. Muốn vậy, phải có

$∆$' = ${\mathrm{m}}^2$ - 2m(m - 1) = -${\mathrm{m}}^2$ + 2m $\le$ 0

⇔ 

Đáp án: B.

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi

y' = 3${\mathrm{x}}^2$ - 6(m - 1)x - 3(m + 3) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ $∆$' = ${\left(\mathrm{m}-1\right)}^2$ + (m + 3) = ${\mathrm{m}}^2$ - m + 4 > 0

Ta thấy tam thức $∆$' = ${\mathrm{m}}^2$ - m + 4 luôn dương với mọi m vì

$\mathrm{\delta }$= 1 - 16 = -15 < 0, a = 1 > 0

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị mới mọi m $\in$ R

Đáp án: D.

y' = 3${\mathrm{x}}^2$ + 3x = 3x(x + 1) = 0

⇔ 

Vậy khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: