Bài 2: Cực trị của hàm số

y = −2x2 + 7x − 5. TXĐ: R

y′ = −4x + 7, y′ = 0 ⇔ x = 7/4

y′′ = −4 ⇒ y′′(7/4) = −4 < 0

Vậy x = 7/4 là điểm cực đại của hàm số và yCD = 9/8

y = x3-3x2 − 24x + 7. TXĐ: R

y′ = 3x2 − 6x – 24 = 3(x2 − 2x − 8)

y′ = 0 ⇔ 

Vì y′′(−2) = −18 < 0, y′′(4) = 18 > 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -2; đạt cực tiểu tại x = 4 và yCĐ = y(-2) = 35; yCT = y(4) = -73.

TXĐ: R

y′ = 2(x + 2).x-33 + 3x+22.x-32 = 5x(x + 2).x-32

y′= 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Từ đó suy ra yCĐ = y(-2) = 0; yCT = y(0) = -108.

TXĐ : R

y′= 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, cực tiểu tại x = -4 và yCD = y(2) = 1/4; yCT = y(−4) = −1/8

Hàm số xác định và có đạo hàm với mọi x ≠ 1.

y′=0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 − 2 và đạt cực tiểu tại x = 1 + 2, ta có:

yCD = y(1 − 2) = −22

yCT = y(1 + 2) = 22

TXĐ: R\{-1}

Hàm số đồng biến trên các khoảng và do đó không có cực trị.

Vì x2 – 2x + 5 luôn luôn dương nên hàm số xác định trên (−∞; +∞)

y′ = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = −1/3, đạt cực tiểu tại x = 4 và yCD = y(−1/3) = 13/4; yCT = y(4) = 0

TXĐ: R

y′ = 0 ⇔ x = 64

Bảng biến thiên:

Vậy ta có yCD = y(0) = 0 và yCT = y(64) = -32.

Hàm số xác định trên khoảng (−∞;+∞).

Bảng biến thiên:

Vậy yCD = y(−2) = 

Hàm số xác định trên khoảng (−10;10).

Vì y’ > 0 với mọi (−10;10) nên hàm số đồng biến trên khoảng đó và do đó không có cực trị.

TXĐ: D = (−∞; −6) ∪ (6; +∞)

  

Bảng biến thiên:

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -3, đạt cực tiểu tại x = -3 và yCT = y(3) = 93; yCD = y(−3) = −93

y = sin2x

Hàm số có chu kỳ T = π

Xét hàm số y=sin2x trên đoạn [0;π], ta có:

y' = 2cos2x

y' = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Do đó trên đoạn [0;π] , hàm số đạt cực đại tại π/4 , đạt cực tiểu tại 3π/4 và yCD = y(π/4) = 1; yCT = y(3π/4) = −1

Vậy trên R ta có:

yCD = y(π/4 + kπ) = 1;

yCT = y(3π/4 + kπ) = −1, k∈Z

Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn [−π;π].

y′ = − sinx – cosx

y′ = 0 ⇔ tanx = −1 ⇔ x = −π/4 + kπ, k∈Z

Lập bảng biến thiên trên đoạn [−π;π]

Hàm số đạt cực đại tại x = −π/4 + k2π , đạt cực tiểu tại x = 3π/4 + k2π (k∈Z) và

yCD = y(−π/4 + k2π) = 2;

yCT = y(3π/4 + k2π) = −2 (k∈Z).

Ta có:

Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ π

Ta xét hàm số y trên đoạn [0;π]:

y′ = sin2x

y′ = 0 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x = kπ/2 (k∈Z)

Lập bảng biến thiên trên đoạn [0,π]

Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = kπ/2 với k chẵn, đạt cực đại tại x = kπ/2 với k lẻ, và

yCT = y(2mπ) = 0; yCT = y(2mπ) = 0;

yCD = y((2m+1)π/2) = 1 (m∈Z)

TXĐ: D = R

y’ = 3x2 + 4mx + m

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.

⇔ 3x2 + 4mx + m có hai nghiệm phân biệt.

⇔ ∆’ = 4m2 -3m > 0 ⇔ m(4m – 3) > 0

⇔ 

Vậy hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi m < 0 hoặc m > 3/4.

TXĐ: D = R

y’ = 3x2 – 4x + m; y’ = 0 ⇔ 3x2 – 4x + m = 0

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi:

∆’ = 4 – 3m > 0 ⇔ m < 4/3 (∗)

Hàm số có cực trị tại x = 1 thì :

y’(1) = 3 – 4 + m = 0 ⇒ m = 1 (thỏa mãn điều kiện (∗) )

Mặt khác, vì:

y’’ = 6x – 4 ⇒ y’’(1) = 6 – 4 = 2 > 0

cho nên tại x = 1, hàm số đạt cực tiểu.

Vậy với m = 1, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1

Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Ta có:

Xét y’ = 0, ta có: y′ = 3x2 − 2mx + (m – 2/3)

∆’ > 0 khi m < 1 hoặc m > 2 (∗)

Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì

y′(1) = 3 − 2m + m – 2/3 = 0 ⇔ m = 7/3, thỏa mãn điều kiện (∗)

Với m = 7/3 thì hàm số đã cho trở thành:

Ta có:

Vì y′′(1) = 6 – (14/3) > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = y(1) = (16/3).

Hàm số:

fx=-2x nếu x≥0sinx2 nếu x<0

Không có đạo hàm tại x = 0 vì:

Mặt khác, với x < 0 thì 

với x > 0 thì y’ = -2 < 0

Bảng biến thiên:

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCD = y(0) = 0.

Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định R\{m}.

Ta có:

  

Xét g(x) = x2 – 2mx – 2m2 + 3

∆’g = m2 + 2m2 – 3 = 3(m2 – 1) ;

∆’g ≤ 0 khi – 1 ≤ m ≤ 1.

Khi – 1 ≤ m ≤ 1 thì phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hay y’ = 0 vô nghiệm và y’ > 0 trên

tập xác định. Khi đó, hàm số không có cực trị.

Khi m = 1 hoặc m = -1, hàm số đã cho trở thành y = x + 3 (với x ≠ 1) hoặc y = x – 3 (với x ≠ - 1) Các hàm số này không có cực trị.

Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi – 1 ≤ m ≤ 1.

Đáp án B

Hàm số y = x+13(5 - x) xác định trên R.

y' = -x+13 + 3x+12(5 - x) = 2x+12(7 - 2x)

y' = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên

Suy ra hàm số chỉ có một cực trị (là cực đại)

Cách khác: Nhận xét rằng y' chỉ đổi dấu khi x đi qua 7/2 nên hàm số chỉ có một cực trị

Đáp án: D.

Hàm số y = x4 - 5x2 + 4 xác định trên R.

y' = 4x3 - 10x = 2x(2x2 - 5);

y' = 0 khi

y'' = 12x2 - 10

Vì y''(0) = -10 < 0,

nên hàm số chỉ có một cực đại (tại x = 0)

Cách khác: Vì a > 0 và y' = 0 có ba nghiệm phân biệt nên hàm số y = ax4 + bx2 + c có một cực đại

Đáp án: C.

Tập xác định: D = R. y' = 3x2 - 6x + m.

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y' đổi dấu trên R

⇔ 3x2 - 6x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆' = 9 - 3m > 0 ⇔ 3m < 9 ⇔ m < 3

Đáp án: D.

Tập xác định: D = R \ {m}

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y' đổi dấu trên D

⇔ x2 - 2mx + 2m2 - 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆' = -m2 + 5 > 0 ⇔ -5 < m < 5

Đáp án: B.

Vì a < 0 và y' = 0 có ba nghiệm phân biệt nên hàm số y = ax4 + bx2 + c có hai cực đại, một cực tiểu.

Ở đây y' = -4x3 + 8x; y' = 0 ⇔ -4x(x2 - 2) = 0

⇔ 

Đáp án: A.

- Nếu m = 0 thì y = -2x - 2, hàm số không có cực trị.

- Nếu m ≠ 0: Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = mx2 + 2mx + 2(m - 1) = 0 không có hai nghiệm phân biệt. Muốn vậy, phải có

∆' = m2 - 2m(m - 1) = -m2 + 2m ≤ 0

⇔ 

Đáp án: B.

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi

y' = 3x2 - 6(m - 1)x - 3(m + 3) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ ∆' = m-12 + (m + 3) = m2 - m + 4 > 0

Ta thấy tam thức ∆' = m2 - m + 4 luôn dương với mọi m vì

δ= 1 - 16 = -15 < 0, a = 1 > 0

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị mới mọi m ∈ R

Đáp án: D.

y' = 3x2 + 3x = 3x(x + 1) = 0

⇔ 

Vậy khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: