a) Ta có: 12 = 22.3; 30 = 2.3.5; 45 = 32.5;

Do đó BCNN(12, 30, 45) = 22.32.5 = 180.

b) Vì bội chung là bội của bội chung nhỏ nhất nên:

BC(12, 30; 45) = {0; 180; 360; 540; 720; …}.

Vì a và b có ước chung lớn nhất là 16 nên a = 16.m và b = 16.n (với m, n là số tự nhiên và hai số này nguyên tố cùng nhau).

Vì m, n là hai số nguyên tố cùng nhau nên ƯCLN(m, n) = 1.

Từ đây ta có: [a, b] = 16.m.n = 240.

Do đó, m.n = 240 : 16 = 15.

Ta có bảng sau:

Vậy ta tìm được 4 cặp số nguyên dương (a; b) thỏa mãn yêu cầu bài là (16; 240); (240; 16); (48; 80); (80; 48).

Số cây mỗi đội phải trồng chính là bội chung của 8 và 9 và trong khoảng từ 100 đến 200.

Ta có 8 = 2³; 9 = 3²; BCNN(8, 9) = 72.

Do đó BC(8, 9) = {0; 72; 144; 216; …}.

Vì số cây mỗi đội trồng được trong khoảng 100 đến 200 cây nên số cây mỗi đội trồng được là 144 cây.

Lần gặp nhau kế tiếp của bạn Linh và bạn Vinh là BCNN(8, 12).

Ta có: 8 = 2³; 12 = 2².3.

Do đó BCNN(8, 12) = 2³.3 = 24.

Vậy sau 24 ngày hai bạn sẽ gặp nhau trên thư viện.

Chiều cao nhỏ nhất của ba chồng sách là bội chung nhỏ nhất của 15; 8; 12.

Ta có: 15 = 2.5; 8 = 23; 12 = 22.3.

Do đó BCNN(15, 8, 12) = 23.3.5 = 120.

Vậy chiều cao nhỏ nhất của ba chồng sách là 120 mm.

Số học sinh của trường khi xếp thành hàng 3, hàng 4, hàng 7; hàng 9 đều vừa đủ nên số học sinh của trường là bội chung của 3; 4; 7; 9.

Ta có: 3 = 3; 4 = 2²; 7 = 7; 9 = 3².

BCNN(3, 4, 7, 9) = 2².7.3² = 252.

BC(3, 4, 7, 9) = {0; 252; 504; 756; 1 008; 1 260; 1 512; 1 764; 2 016;…}.

Vì số học sinh nằm trong khoảng 1 700 đến 1 900 nên số học sinh của nhà trường là 1764 học sinh.