Bài 1: Tứ giác

Ta có: $\angle A_1+\angle B_1+\angle C_1+\angle D_1={360}^o$ (tổng các góc của tứ giác)

+) Lại có: $\angle A_1+\angle A_2={180}^o$ ( hai góc kề bù).

$\angle B_1+\angle B_2={180}^o$ (hai góc kề bù)

$\angle C_1+\angle C_2={180}^o$ (hai góc kề bù)

$\angle D_1+\angle D_2={180}^o$ (hai góc kề bù)

Suy ra: $\angle A_1+\angle A_2$ + $\angle B_1+\angle B_2$ + $\angle C_1+\angle C_2$ + $\angle D_1+\angle D_2$ = ${180}^0.4={720}^0$

⇒ $\angle A_2+\angle B_2+\angle C_2+\angle D_2={720}^0-\left(\angle A_1+\angle B_1+\angle C_1+\angle D_1\right)$

= ${720}^0-{360}^0={360}^0$

Ta có: BA = BC (gt). Suy ra điểm B thuộc đường trung trực của AC.

Lại có: DA = DC (gt). Suy ra điểm D thuộc đường trung trực của AC.

Vì B và D là 2 điểm phân biệt cùng thuộc đường trung trực của AC nên đường thẳng BD là đường trung trực của AC.

Xét $∆$BAD và $∆$BCD, ta có:

BA = BC (gt)

DA = DC (gt)

BD cạnh chung

Suy ra: $∆$BAD = $∆$BCD (c.c.c)

⇒ $\angle$(BAD) = $\angle$(BCD)

Mặt khác, ta có: $\angle$(BAD) + $\angle$(BCD) + $\angle$(ABC) + $\angle$(ADC) = ${360}^0$

Suy ra: $\angle$(BAD) + $\angle$(BCD) = ${360}^0$ – ($\angle$(ABC) + $\angle$(ADC) )

2$\angle$(BAD) = ${360}^0-\left({100}^0+{70}^0\right)={190}^{.}$

⇒ $\angle$(BAD) = ${190}^0:2={95}^0$

⇒ $\angle$(BCD) = $\angle$(BAD) = ${95}^0$

- Vẽ tam giác ABD

      + Vẽ cạnh AD dài 4cm

      + Tại A vẽ cung tròn tâm A bán kính 2,5cm

      + Tại D vẽ cung tròn tâm D bán kính 3cm

      + Hai cung tròn cắt nhau tại B

⇒ Ta được tam giác ABD

- Vẽ tam giác DBC

      + Dùng thước đo độ vẽ tia Bx sao cho góc DBx = ${60}^0$

      + Trên Bx xác định C sao cho BC = 3cm

⇒ Ta được tam giác BDC

⇒Ta được tứ giác ABCD cần vẽ

Theo bài ra, ta có:

 $\angle$A+ $\angle$B+ $\angle$C+ $\angle$D= ${360}^0$ (tổng các góc của tứ giác)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Vậy: $\angle$A= 1.${36}^0$ = ${36}^0$            $\angle$B= 2.${36}^0$ = ${72}^0$

      $\angle$C= 3.${36}^0$ = ${108}^0$ ;            $\angle$D= 4.${36}^0$ = ${144}^0$

Trong tứ giác ABCD, ta có:

$\angle$A + $\angle$B + $\angle$C + $\angle$D = ${360}^0$ (tổng các góc của tứ giác)

⇒ $\angle$D = ${360}^0$ – ($\angle$A + $\angle$B + $\angle$C )

= ${360}^0$ – (${65}^0$ + ${117}^0$ + ${71}^0$) = ${107}^0$

$\angle$D + $\angle D_1$ = ${180}^0$ (2 góc kề bù) ⇒ $\angle D_1$ = ${180}^0$ - $\angle$D = ${180}^0$ – ${107}^0$ = 73o

Giả sử cả bốn góc của tứ giác đều là góc nhọn ( tức là mỗi góc có số đo nhỏ hơn 90o) thì tổng bốn góc của tứ giác nhỏ hơn:

$90°+90°+90°+90°=360°$

Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn.

Giả sử cả bốn góc của tứ giác đều là góc tù ( tức là mỗi góc có số đo lớn hơn $90°$) thì tổng bốn góc của tứ giác lớn hơn:

$90°+90°+90°+90°=360°$

Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc tù.

* Gọi $\angle A_1$, $\angle C_1$là góc trong của tứ giác tại đỉnh A và C, $\angle A_2$, $\angle C_2$là góc ngoài tại đỉnh A và C.

Ta có: $\angle A_1$+ $\angle A_2$ = ${180}^0$ (2 góc kề bù)

⇒ $\angle A_2$= ${180}^0$ - $\angle A_1$

$\angle C_1$+ $\angle C_2$= ${180}^0$ (2 góc kề bù) ⇒ $\angle C_2$= ${180}^0$ - $\angle C_1$

Suy ra: $\angle A_2$+ $\angle C_2$= ${180}^0$ - $\angle A_1$+ 180o - $\angle C_1$= ${360}^0$ – ($\angle A_1$ + $\angle C_1$) (1)

* Trong tứ giác ABCD ta có:

$\angle A_1$+ $\angle$B + $\angle C_1$ + $\angle$D = ${360}^0$ (tổng các góc của tứ giác)

⇒ $\angle$B + $\angle$D = ${360}^0$ - ($\angle A_1$ + $\angle C_1$) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\angle A_2$+ $\angle C_2$ = $\angle$B + $\angle$D

Trong tứ giác ABCD, ta có: $\angle$A + $\angle$B + $\angle$C + $\angle$D = $360°$

⇒ $\angle$C + $\angle$D = $360°$ - ($\angle$A + $\angle$B) = $360°$ – ($110°$ + $100°$) = $150°$

Do DE và CE lần lượt là tia phân giác của góc 

Trong ΔCED ta có:

$\angle$CED = 180o – $\left(\angle C_1+\angle D_1\right)$ = $180°-75°=105°$

DE ⊥ DF (t/chất tia phân giác của hai góc kề bù) ⇒ $\angle$EDF = $90°$

CE ⊥ CF (t/chất tia phân giác của hai góc kề bù) ⇒ $\angle$ECF = $90°$

Trong tứ giác CEDF, ta có: $\angle$DEC + $\angle$EDF + $\angle$DFC + $\angle$ECF = $360°$

⇒ $\angle$DFC = $360°$ - ($\angle$DEC + $\angle$EDF + $\angle$ECF) = $360°-\left(105°-90°-90°\right)=75°$

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

* Trong $∆$OAB, ta có:

OA + OB > AB (bất đẳng thức tam giác) (1)

* Trong $∆$OCD, ta có:

OC + OD > CD (bất đẳng thức tam giác) (2)

Cộng từng vế (1) và (2):

OA + OB + OC + OD > AB + CD

⇒ AC + BD > AB + CD

Đặt độ dài a = AB, b = BC, c = CD, d = AD

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD.

* Trong $∆$OAB, ta có:

OA + OB > a (bất đẳng thức tam giác) (1)

* Trong $∆$OCD, ta có:

OC + OD > c (bất đẳng thức tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

OA + OB + OC + OD > a + c hay AC + BD > a + c (*)

* Trong $∆$ΔOAD, ta có: OA + OD > d (bất đẳng thức tam giác) (3)

* Trong $∆$OBC, ta có: OB + OC > b (bất đẳng thức tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

OA + OB + OC + OD > b + d hay AC + BD > b + d (**)

Từ (*) và (**) suy ra: 2(AC + BD) > a + b + c + d

* Trong $∆$ABC, ta có: AC < AB + BC = a + b (bất đẳng thức tam giác)

* Trong $∆$ADC, ta có: AC < AD + DC = c + d (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: 2AC < a + b + c + d

* Trong $∆$ABD, ta có: BD < AB + AD = a + d (bất đẳng thức tam giác)

* Trong $∆$BCD, ta có: BD < BC + CD = b + c (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: 2BD < a + b + c + d

Từ (5) và (6) suy ra: AC + BD < a + b + c + d

Chọn B

Mà $\angle$B = $\angle$A + $10°$ (2)

nên từ (1) và (2) =>$\angle$C - $10°$ = $\angle$A + $10°$ => $\angle$C = $\angle$A + $20°$

Ta có: $\angle$D = $\angle$C + $10°$ => $\angle$D = $\angle$A + $20°$ + $10°$ =>$\angle$D = $\angle$A + $30°$

Ta có : $\angle$A+$\angle$B+$\angle$C+$\angle$D = $360°$ ( tổng bốn góc của tứ giác)

=> $\angle$A+ $\angle$A + $10°$ +$\angle$A + $20°$ + $\angle$A + $30°$ = $360°$

=> 4$\angle$A + $60°$ = $360°$

Do đó: $\angle$A=$75°$

=>$\angle$B = $\angle$A + $75°$ + $10°$ =$85°$

=>$\angle$C=$\angle$A+$20°$=$95°$

=>$\angle$D=$\angle$A+$30°=105°$

Tổng bốn góc của 1 tứ giác bằng $360°$ nên: ∠A + $\angle$B + $\angle$C +$\angle$D =$360°$

Suy ra: $\angle$A + $\angle$B = $360°$ – ($\angle$C +$\angle$D) hay

$\angle$A + $\angle$B = $360°-\left(60°+80°\right)=220°$ 

Mà $\angle$A - $\angle$B = $10°$

Vậy $\angle$A =  = $115°$, $\angle$B = $115°$ - $10°$ = $105°$

+) Chu vi tứ giác ABCD là: AB + BC + CD + DA = 66 cm (1)

+) Chu vi tam giác ABC là: AB + BC + CA = 56 cm (2)

+) Chu vi tam giác ACD là: AC + CD + AD = 60 cm (3)

Lấy (2) +(3) –(1) vế vế ta được:

(AB +BC + CA) +(AC+CD + AD) – (AB + BC + CD + DA) = 56 + 60 – 66

Hay 2AC = 50 nên AC = 25 cm