Bài 1: Tứ giác

Ta có: $\angle A_1+\angle B_1+\angle C_1+\angle D_1={360}^o$ (tổng các góc của tứ giác)

+) Lại có: $\angle A_1+\angle A_2={180}^o$ ( hai góc kề bù).

$\angle B_1+\angle B_2={180}^o$ (hai góc kề bù)

$\angle C_1+\angle C_2={180}^o$ (hai góc kề bù)

$\angle D_1+\angle D_2={180}^o$ (hai góc kề bù)

Suy ra: $\angle A_1+\angle A_2$ + $\angle B_1+\angle B_2$ + $\angle C_1+\angle C_2$ + $\angle D_1+\angle D_2$ = ${180}^0.4={720}^0$

⇒ $\angle A_2+\angle B_2+\angle C_2+\angle D_2={720}^0-\left(\angle A_1+\angle B_1+\angle C_1+\angle D_1\right)$

= ${720}^0-{360}^0={360}^0$

Ta có: BA = BC (gt). Suy ra điểm B thuộc đường trung trực của AC.

Lại có: DA = DC (gt). Suy ra điểm D thuộc đường trung trực của AC.

Vì B và D là 2 điểm phân biệt cùng thuộc đường trung trực của AC nên đường thẳng BD là đường trung trực của AC.

Xét $∆$BAD và $∆$BCD, ta có:

BA = BC (gt)

DA = DC (gt)

BD cạnh chung

Suy ra: $∆$BAD = $∆$BCD (c.c.c)

⇒ $\angle$(BAD) = $\angle$(BCD)

Mặt khác, ta có: $\angle$(BAD) + $\angle$(BCD) + $\angle$(ABC) + $\angle$(ADC) = ${360}^0$

Suy ra: $\angle$(BAD) + $\angle$(BCD) = ${360}^0$ – ($\angle$(ABC) + $\angle$(ADC) )

2$\angle$(BAD) = ${360}^0-\left({100}^0+{70}^0\right)={190}^{.}$

⇒ $\angle$(BAD) = ${190}^0:2={95}^0$

⇒ $\angle$(BCD) = $\angle$(BAD) = ${95}^0$

- Vẽ tam giác ABD

      + Vẽ cạnh AD dài 4cm

      + Tại A vẽ cung tròn tâm A bán kính 2,5cm

      + Tại D vẽ cung tròn tâm D bán kính 3cm

      + Hai cung tròn cắt nhau tại B

⇒ Ta được tam giác ABD

- Vẽ tam giác DBC

      + Dùng thước đo độ vẽ tia Bx sao cho góc DBx = ${60}^0$

      + Trên Bx xác định C sao cho BC = 3cm

⇒ Ta được tam giác BDC

⇒Ta được tứ giác ABCD cần vẽ

Theo bài ra, ta có:

 $\angle$A+ $\angle$B+ $\angle$C+ $\angle$D= ${360}^0$ (tổng các góc của tứ giác)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Vậy: $\angle$A= 1.${36}^0$ = ${36}^0$            $\angle$B= 2.${36}^0$ = ${72}^0$

      $\angle$C= 3.${36}^0$ = ${108}^0$ ;            $\angle$D= 4.${36}^0$ = ${144}^0$

Trong tứ giác ABCD, ta có:

$\angle$A + $\angle$B + $\angle$C + $\angle$D = ${360}^0$ (tổng các góc của tứ giác)

⇒ $\angle$D = ${360}^0$ – ($\angle$A + $\angle$B + $\angle$C )

= ${360}^0$ – (${65}^0$ + ${117}^0$ + ${71}^0$) = ${107}^0$

$\angle$D + $\angle D_1$ = ${180}^0$ (2 góc kề bù) ⇒ $\angle D_1$ = ${180}^0$ - $\angle$D = ${180}^0$ – ${107}^0$ = 73o

Giả sử cả bốn góc của tứ giác đều là góc nhọn ( tức là mỗi góc có số đo nhỏ hơn 90o) thì tổng bốn góc của tứ giác nhỏ hơn:

$90°+90°+90°+90°=360°$

Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn.

Giả sử cả bốn góc của tứ giác đều là góc tù ( tức là mỗi góc có số đo lớn hơn $90°$) thì tổng bốn góc của tứ giác lớn hơn:

$90°+90°+90°+90°=360°$

Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc tù.

* Gọi $\angle A_1$, $\angle C_1$là góc trong của tứ giác tại đỉnh A và C, $\angle A_2$, $\angle C_2$là góc ngoài tại đỉnh A và C.

Ta có: $\angle A_1$+ $\angle A_2$ = ${180}^0$ (2 góc kề bù)

⇒ $\angle A_2$= ${180}^0$ - $\angle A_1$

$\angle C_1$+ $\angle C_2$= ${180}^0$ (2 góc kề bù) ⇒ $\angle C_2$= ${180}^0$ - $\angle C_1$

Suy ra: $\angle A_2$+ $\angle C_2$= ${180}^0$ - $\angle A_1$+ 180o - $\angle C_1$= ${360}^0$ – ($\angle A_1$ + $\angle C_1$) (1)

* Trong tứ giác ABCD ta có:

$\angle A_1$+ $\angle$B + $\angle C_1$ + $\angle$D = ${360}^0$ (tổng các góc của tứ giác)

⇒ $\angle$B + $\angle$D = ${360}^0$ - ($\angle A_1$ + $\angle C_1$) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\angle A_2$+ $\angle C_2$ = $\angle$B + $\angle$D

Trong tứ giác ABCD, ta có: $\angle$A + $\angle$B + $\angle$C + $\angle$D = $360°$

⇒ $\angle$C + $\angle$D = $360°$ - ($\angle$A + $\angle$B) = $360°$ – ($110°$ + $100°$) = $150°$

Do DE và CE lần lượt là tia phân giác của góc 

Trong ΔCED ta có:

$\angle$CED = 180o – $\left(\angle C_1+\angle D_1\right)$ = $180°-75°=105°$

DE ⊥ DF (t/chất tia phân giác của hai góc kề bù) ⇒ $\angle$EDF = $90°$

CE ⊥ CF (t/chất tia phân giác của hai góc kề bù) ⇒ $\angle$ECF = $90°$

Trong tứ giác CEDF, ta có: $\angle$DEC + $\angle$EDF + $\angle$DFC + $\angle$ECF = $360°$

⇒ $\angle$DFC = $360°$ - ($\angle$DEC + $\angle$EDF + $\angle$ECF) = $360°-\left(105°-90°-90°\right)=75°$