Bài 1 : Khái niệm về mặt tròn xoay
23 câu hỏi
Hãy nêu tên một số đồ vật có hình dạng là các mặt tròn xoay.
Một số đồ vật có hình dạng là các mặt tròn xoay: cái nón, lọ hoa, cái ốc, cuộn dây điện
Cắt mặt xung quanh của một hình nón tròn xoay dọc theo một đường sinh rồi trải ra trên mặt phẳng ta được một nửa hình tròn bán kính R. Hỏi hình nón đó có bán kính r của đường tròn đáy và góc ở đỉnh của hình nón bằng bao nhiêu ?
Cắt mặt xung quanh của một hình nón tròn xoay dọc theo một đường sinh rồi trải ra trên mặt phẳng ta được một nửa hình tròn bán kính R ⇒ đường sinh có độ dài bằng R và chu vi đường tròn đáy bằng nửa chu vi đường tròn bán kính R
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’.
Biểu diễn đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD cạnh a như hình vẽ
Khi đó: Tâm đường tròn là giao điểm 2 đường chéo
Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng (P). Từ những điểm M nằm trên đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với (P). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục và bán kính của mặt trụ đó.
Gọi d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại tâm O của đường tròn (T).
Từ điểm M trên đường tròn (T), vẽ đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P).
Khi đó đường thẳng Δ song song với d và luôn cách d một khoảng bằng r.
Đường thẳng Δ thuộc mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng d và bán kính r.
Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi:
Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư,
Khi quay một hình chữ nhật xung quanh đường thẳng chứa một cạnh thì ta được một hình trụ
Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi:
Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của nó.
Khi quay một tam giác cân xung quanh trục đối xứng của nó ta được một hình nón tròn xoay
Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi:
Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.
Một tam giác vuông kể cả điểm trong của nó khi quay xung quanh một đường thẳng chứa một cạnh góc vuông thì tạo ra một khối nón tròn xuay.
Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi:
Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.
Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của nó khi quay quanh một đường thẳng chứa một cạnh thì tạo ra một khối trụ tròn xoay
Một hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
QUẢNG CÁO
a. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho là:
Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là;
Một hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó.
Ta có:
Một hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón và khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó
Gọi hình nón đã cho có đỉnh là S và H là tâm đường tròn đáy.
Thiết diện đi qua đỉnh S là tam giác SAC (với A và C thuộc đường tròn đáy)
Gọi M là trung điểm của AC.
Do đó, d( H; (SAC))= HI = 12
Trong tam giác vuông SHM ta có:
Trong tam giác vuông HAM ta có:
AM2 = HA2 – HM2 = 252 – 152 = 400 nên AM = 20 (cm)
Ta có:
Do đó, diện tích thiết diện SAC là:
Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20cm. Gọi d là một đường thẳng thay đổi luôn đi qua A và cách B một khoảng bằng 10cm. Chứng tỏ rằng đường thẳng d luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định mặt nón đó (trục và góc ở đỉnh).
Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với d và cắt d tại H.
Ta có BH = 10cm = d(B,d)
Vậy đường thẳng d nằm trên mặt nón có đỉnh là A, trục là đường thẳng AB và góc ở đỉnh là 2α = 60°
Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tạo nên.
Do khoảng cách hai đáy là nên chiều cao của hình trụ (đồng thời là độ dài đường sinh) là h = l = 7.
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
Sxq = 2π.r.l = 2π.5.7 = 70π (cm2 ).
Thể tích của khối trụ được tạo nên là:
V = πr2.h = π.52.7 = 175π ( cm3 )
Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên.
Mặt phẳng (P) song song với trục và cách trục 3cm, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác AA1B1B.
Gọi H là trung điểm của AB.
Ta có 
SAA1B1B = AB. AA1 = 8. 7 = 56 (cm2)
Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.
Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r √3
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r √3
Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.
Thể tích khôi trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho là:
Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r √3
Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30o .Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ.
Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O';r). Khoảng cách giữa hai đáy là OO' = r√3 . Một hình nón có đỉnh là O' và có đáy là hình tròn (O;r).
Gọi S1 là diện tích xung quanh của hình trụ và S2 là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỉ số S1S2 .
Ta có:
- Hình trụ và hình nón có chiều cao h = r3, bán kính bằng r.
- Hình nón có đường sinh:
Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O';r). Khoảng cách giữa hai đáy là OO' = r√3 . Một hình nón có đỉnh là O' và có đáy là hình tròn (O;r).
Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a √2
Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng.
Ta có thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân SAb, cạnh huyền AB=a2
Vậy đường cao, bán kính và đường sinh của hình nón là:
Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón là:
Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a √2
Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 60o.Tính diện tích tam giác SBC.
Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r. Hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và côsin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.
Gọi CC1 và DD1 là hai đường sinh của khối trụ
Khi đó D1C1//=DC(1)
Đông thời ABCD là hình vuông nên AB//=DC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB//=D1C1
Vậy ABC1D1 nội tiếp đường tròn (O) nên ABC1D1 là hình chữ nhật. Suy ra AC1 là đường kính của (O)
Nghĩa là AC1=2r
Tam giác ABC1 vuông ở B nên:
(3)
Tam giác BCC1 vuông ở C1 nên:
(4)
Từ (3) và (4) suy ra
Vậy diện tích hình vuông ABCD là S=AB2=5r22
* Gọi α là góc hợp bởi mp(ABCD) và mặt phẳng đáy của hình trụ, ta có:
Với 
Mà ABC1D1 là hình chiếu của ABCD trên mặt đáy hình trụ nên:
S'=S.cosα
