7 câu Dạng 1: Phương trình sinx=a

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}\\ x=\frac{5\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}\end{array}\right.$ .

Xét $x=\frac{2k^2+10}{3k-2}\Rightarrow 9x=\frac{18k^2+90}{3k-2}=\frac{2\left(9k^2-4\right)+98}{3k-2}=2\left(3k+2\right)+\frac{98}{3k-2}$.

Vì $x\in {\mathbb{N}}^{*}$  nên $9x\in {\mathbb{N}}^{*}\Rightarrow 3k-2\in$ Ư $\left(98\right)$$=\left\{\pm 1;\pm 2;\pm 7;\pm 14;\pm 49;\pm 98\right\}$.

Lại có $\left\{\begin{array}{l}x\in {\mathbb{N}}^{*}\\ 2k^2+10>0\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}\right.\Rightarrow 3k-2>0$   $\Rightarrow 3k-2\in \left\{1;2;7;14;49;98\right\}\iff k\in \left\{1;3;17\right\}$

-        Với $k=1$  thì  $x=12$(thỏa mãn $3x\ge 4k$ ).

-        Với $k=3$ thì $x=4$  (thỏa mãn $3x\ge 4k$).

-        Với  $k=17$ thì $x=12$  (không thỏa mãn $3x\ge 4k$ ).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương là  $x\in \left\{4;12\right\}$.

Đáp án B

Phương trình $\sin \left(x+\pi \right)=\frac{m+2}{m-1}$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$  , $m\ne 1$ .

Ta có $-1\le \sin \left(x+\pi \right)\le 1\iff \left\{\begin{array}{l}-1\le \frac{m+2}{m-1}\\ \frac{m+2}{m-1}\le 1\end{array}\right.$  .

Giải (1) . Ta có $-1\le \frac{m+2}{m-1}\iff \frac{2m+1}{m-1}\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}m>1\\ m\le \frac{-1}{2}\end{array}\right.$ .

Giải (2)   . Ta có $-1\le \frac{m+2}{m-1}\iff \frac{2m+1}{m-1}\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}m>1\\ m\le \frac{-1}{2}\end{array}\right.$ .

Kết hợp nghiệm ta có $m\le -\frac{1}{2}$  .

Đáp án B

Phương trình $\sin x=\frac{1}{2}$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$  .

Do $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$  nên $\sin x=\frac{1}{2}\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{6}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.$  .

Vì $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$  nên $x=\frac{\pi }{6}$  .

Phương trình $\frac{\sin 2x}{1-\cos x}=0$  có nghĩa $\iff 1-\cos x\ne 0\iff \cos x\ne 1\iff x\ne k2\pi \iff D=ℝ\backslash \left\{k2\pi \right\}$ .

Ta có $\frac{\sin 2x}{1-\cos x}=0\iff \sin 2x=0\iff x=\frac{k\pi }{2}$  .

Kết hợp với điều kiện ta có $\left[\begin{array}{l}x=\left(2k+1\right)\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.$ .

Do $x\in \left[0;3\pi \right]\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}$ , $x=\frac{3\pi }{2}$ , $x=\frac{5\pi }{2}$ , $x=3\pi$, $x=\pi$ .

Phương trình $\sin \frac{x}{3}=m^2+9$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$ .

Ta có  $-1\le \sin \frac{x}{3}\le 1\iff -1\le m^2+9\le 1\iff -10\le m^2\le -8$ (vô lí).

Vậy phương trình vô nghiệm với $\forall m\in ℝ$ .