21 câu Dạng 2: Phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác

Ta có 3sin22x+7cos2x−3=0⇔31−cos22x+7cos2x−3=0

⇔3cos22x−7cos2x=0⇔cos2x3cos2x−7=0⇔cos2x=03cos2x−7=0.

Trường hợp 1: cos2x=0⇔2x=π2+kπ⇔x=π4+kπ2,k∈ℤ.

Trường hợp 2: 3cos2x−7=0⇔cos2x=73>1 (loại).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=π4+kπ2,k∈ℤ.

Đáp án C

Phương trình 2sin2x+sinx−3=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇒D=ℝ.

Đặt  t=sinx,t≤1. Ta có 2sin2x+sinx−3=0⇔2t2+t−3=0⇔t=1t=−32⇔t=1 (do).

Với t=1, ta có sinx=1⇔x=π2+k2πk∈ℤ.

Đáp án A

Phương trình cos2x+2cosx−3=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇒D=ℝ.

Đặt t=cosx,t≤1. Ta có  cos2x+2cosx−3=0⇔t2+2t−3=0⇔t=1t=−3⇔t=1(do t≤1). 

Với t=1, ta có cosx=1⇔x=k2πk∈ℤ.

Đáp án A

Phương trình 2sin2x+5sinx−3=0 có nghĩa

Đặt t=sinx,t≤1. Ta có 2sin2x+5sinx−3=0⇔2t2+5t−3=0⇔t=12t=−3⇔t=12 (do t≤1).

Với t=12, ta có sinx=12⇔x=π6+k2πx=5π6+k2πk∈ℤ.

Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình là x=π6.

Đáp án A

Phương trình 3cos2x−2cosx−4=0  có nghĩa ∀x∈ℝ⇒D=ℝ.

Đặt t=cosx,t≤1.

Ta có 3cos2x−2cosx−4=0⇔3t2−2t−4=0⇔t=1−133t=1+133⇔t=1−133(do t≤1).

Với t=1−133, ta có cosx=1−133⇔x=arccos1−133+k2πx=−arccos1−133+k2πk∈ℤ.

Vì x∈0,3π nên phương trình chỉ có 3 nghiệm.

x=arccos1−133,x=arccos1−133+2π,x=−arccos1−133+2π.

Đáp án C

Phương trình 2sin2x−3sinx+1=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇒D=ℝ.

Đặt t=sinx,t≤1. Ta có 2sin2x−3sinx+1=0⇔2t2−3t+1=0⇔t=12t=1.

Với t=12, ta có sinx=12⇔x=π6+k2πx=5π6+k2πk∈ℤ.

Với t=1,  ta có sinx=1⇔x=π2+k2πk∈ℤ.

Vì x∈0;π2 nên x=π6.

Đáp án B

Phương trình tan2x+2tanx+1=0 có nghĩa ⇔x≠π2+kπ.

Đặt ⇔x≠π2+kπ.. Ta có tan2x+2tanx+1=0⇔t2+2t+1=0⇔t=−1.

Với t=−1, ta có tanx=−1⇔tanx=tan−π4⇔x=−π4+kπk∈ℤ.

Đápn án C

Phương trình cos22x+cos2x−34=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇒D=ℝ.

Đặt t=cos2x,t≤1. Ta có cos22x+cos2x−34=0⇔t2+t−34=0⇔t=12t=−32⇔t=12 (do t≤1).

Với t=12, ta có cos2x=12=cosπ3⇔2x=π3+k2π2x=−π3+k2π⇔x=π6+kπx=−π6+kπk∈ℤ.

Đáp án B

Phương trình sin2x−2sinx=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇒D=ℝ.

Đặt t=sinx,t≤1. Ta có sin2x−2sinx=0⇔t2−2t=0⇔t=0t=2⇔t=0 (do t≤1).

Với t=0,  ta có sinx=0⇔x=kπk∈ℤ.

Đáp án A

Phương trình cot23x−cot3x−2=0 có nghĩa ⇔x≠kπ3.

Đặt t=cot3x. Ta có cot23x−cot3x−2=0⇔t2−t−2=0⇔t=−1t=2.

Với t=−1, ta có cot3x=−1⇔cot3x=cot3π4⇔3x=3π4+kπ⇔x=π4+kπ3k∈ℤ.

Với  t=2, ta có cot3x=2⇔3x=arccot2+kπ⇔x=13arccot2+kπ3k∈ℤ.

Đáp án D

Phương trình 2cos2x+2cosx−2=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇒D=ℝ.

Ta có 2cos2x+2cosx−2=0⇔4cos2x−2+2cosx−2=0⇔4cos2x+2cosx−2−2=0.

Đặt   t=cosx,t≤1.

Ta có 4cos2x+2cosx−2−2=0⇔4t2+2t−2−2=0⇔t=22t=−2−36+1628⇔t=22(do t≤1).

Với t=22, ta có cosx=22=cosπ4⇔x=±π4+k2πk∈ℤ.

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x=−π4.

Đáp án C

Ta có 3sinx=2⇔sinx=23>1 (vô nghiệm).

Ta có 14cos4x=12⇔cos4x=2>1 (vô nghiệm).

Ta có  22+22<52 nên phương trình 2sinx+3cosx=5 (vô nghiệm)

Đáp án A

Phương trình 13sin2x−78sinx+15=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇒D=ℝ. Đặt   t=sinx,t≤1.

Ta có 13sin2x−78sinx+15=0⇔13t2−78t+15=0⇔t=0,199t=5,801⇔t=0,199 (do t≤1).

Với t=0,199, ta có sinx=0,199⇔x=arcsin0.199+k2πx=π−arcsin0.199+k2πk∈ℤ.

Vì x∈0;2π nên phương trình có hai nghiệm.

Đáp án B

Phương trình 3cosx+2sinx=2 có nghĩa ∀x∈ℝ⇒D=ℝ.

Ta có 3cosx+2sinx=2⇔3cosx+21−cos2x=2.

Đặt t=cosx,t≤1. Ta có 3cosx+2sinx=2⇔3t+21−t2=2⇔t=0.

Với t=0, ta có cosx=0⇔x=π2+kπk∈ℤ.

Đáp án C

Phương trình tan2x−433tanx+1=0 có nghĩa ⇔x≠π2+kπ.

Đặt t=tanx. Ta có tan2x−433tanx+1=0⇔t2−433t+1=0⇔t=33t=3.

Với t=33, ta có tanx=33⇔tanx=tanπ6⇔x=π6+kπk∈ℤ.

Với t=3, ta có tanx=3⇔tanx=tanπ3⇔x=π3+kπk∈ℤ.

Vì  x∈0;3π nên x=π6;x=7π6;x=13π6;x=π3;x=4π3;x=7π3.

Vậy phương trình có 6 nghiệm thỏa mãn đề bài.

Đáp án C

Phương trình sin2x−5sinx+6=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇒D=ℝ.

Đặt t=sinx,t≤1.

Ta có  sin2x−5sinx+6=0⇔t2−5t+6=0⇔t=3t=2⇔t=∅ (do t≤1).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Đáp án B

Phương trình tanx+cotx2−tanx+cotx=2 có nghĩa ⇔cosx≠0⇔x≠π2+kπsinx≠0⇔x≠kπ⇔x≠kπ2.

Đặt t=tanx+cotx. Ta có tanx+cotx2−tanx+cotx=2⇔t2−t−2=0⇔t=2t=−1.

Với t=2, ta có tanx+cotx=2tanxcotx=1⇔tanx=1cotx=1.

Với t=−1, ta có tanx+cotx=−1tanxcotx=1(vô nghiệm).

Vậy tanx+1tanx=2.

Đáp án B

Phương trình sinx+sin2x2=12 có nghĩa ∀x∈ℝ⇒D=ℝ.

Ta có sinx+sin2x2=12⇔sinx+1−cosx2=12⇔2sinx+1−cosx=1⇔2sinx−cosx=0.    *

Vì  thì (*) vô nghiệm nên *⇒2sinxcosx−1=0⇔2tanx−1=0⇔tanx=12.

Đáp án A

Phương trình 3sin2x−sin2x−cos2x=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇒D=ℝ.

Ta có 3sin2x−sin2x−cos2x=0⇔3sin2x−2sinxcosx−cos2x=0.  1

Vì cosx=0 không là nghiệm của phương trình (1) nên ta chia cả hai vế của phương trình cho cos2x.

Ta có 3sin2x−2sinxcosx−cos2x=0⇒3tan2x−2tanx−1=0.

Đặt t=tanx. Ta có 3tan2x−2tanx−1=0⇔3t2−2t−1=0⇔t=1t=−13.

Với t=1, ta có tanx=1⇔tanx=tanπ4⇔x=π4+kπk∈ℤ.

Với t=−13, ta có tanx=−13⇔x=arctan−13+kπk∈ℤ.

Đáp án A

Ta có   sin3x+cos3x2cosx−sinx=cos2x⇔sin3x+cos3x=cos2x−sin2x2cosx−sinx

⇔sin3x+cos3x=2cos3x−2cosxsin2x−sinxcos2x+sin3x

⇔cos3x−2sin2xcosx−sinxcos2x=0⇔cos3xcos3x−2sin2xcosxcos3x−sinxcos2xcos3x=0

(Điều kiện cosx≠0⇔x≠π2+kπ).

⇔1−2tan2x−tanx=0⇔2tan2x+tanx−1=0.

Đặt tanx=t, ta có 2tan2x+tanx−1=0⇔2t2+t−1=0.

Đáp án C

Phương trình 2sinx−2cosx=1−3  có nghĩa ∀x∈ℝ⇒D=ℝ.

Ta có 2sinx−2cosx=1−3⇔sinx−cosx2=1−322

⇔sin2x+cos2x−2sinxcosx=1−32⇔sin2x=32⇔sin2x=sinπ3.