21 câu Dạng 2: Phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác

Ta có $3{\sin }^{2}2x+7cos2x-3=0\iff 3\left(1-co{s}^{2}2x\right)+7\cos 2x-3=0$

$\iff 3co{s}^{2}2x-7\cos 2x=0\iff \cos 2x\left(3\cos 2x-7\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}\cos 2x=0\\ 3\cos 2x-7=0\end{array}\right..$

Trường hợp 1: $\cos 2x=0\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Trường hợp 2: $3\cos 2x-7=0\iff \cos 2x=\frac{7}{3}>1$ (loại).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Đáp án C

Phương trình $2{\sin }^{2}x+\sin x-3=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\Rightarrow D=ℝ.$

Đặt  $t=\sin x,\left|t\right|\le 1.$ Ta có $2{\sin }^{2}x+\sin x-3=0\iff 2t^2+t-3=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=\frac{-3}{2}\end{array}\right.\iff t=1$ (do).

Đáp án A

Phương trình ${\cos }^{2}x+2\cos x-3=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\Rightarrow D=ℝ.$

Đặt $t=\cos x,\left|t\right|\le 1.$ Ta có  ${\cos }^{2}x+2\cos x-3=0\iff t^2+2t-3=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-3\end{array}\right.\iff t=1$(do $\left|t\right|\le 1$). 

Với $t=\mathrm{1,}$ ta có $\cos x=1\iff x=k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Đáp án A

Phương trình $2{\sin }^{2}x+5\sin x-3=0$ có nghĩa

Đặt $t=\sin x,\left|t\right|\le 1.$ Ta có $2{\sin }^{2}x+5\sin x-3=0\iff 2t^2+5t-3=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{1}{2}\\ t=-3\end{array}\right.\iff t=\frac{1}{2}$ (do $\left|t\right|\le 1$).

Với $t=\frac{1}{2},$ ta có $\sin x=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình là $x=\frac{\pi }{6}.$

Phương trình $3{\cos }^{2}x-2\cos x-4=0$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\Rightarrow D=ℝ.$

Đặt $t=\cos x,\left|t\right|\le 1.$

Ta có $3{\cos }^{2}x-2\cos x-4=0\iff 3t^2-2t-4=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{1-\sqrt{13}}{3}\\ t=\frac{1+\sqrt{13}}{3}\end{array}\right.\iff t=\frac{1-\sqrt{13}}{3}$(do $\left|t\right|\le 1$).

Với $t=\frac{1-\sqrt{13}}{3},$ ta có $\cos x=\frac{1-\sqrt{13}}{3}\iff \left[\begin{array}{l}x=\arccos \frac{1-\sqrt{13}}{3}+k2\pi \\ x=-\arccos \frac{1-\sqrt{13}}{3}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Vì $x\in \left[\mathrm{0,3}\pi \right]$ nên phương trình chỉ có 3 nghiệm.

$x=\arccos \frac{1-\sqrt{13}}{3},x=\arccos \frac{1-\sqrt{13}}{3}+2\pi ,x=-\arccos \frac{1-\sqrt{13}}{3}+2\pi .$

Đáp án C

Phương trình $2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\Rightarrow D=ℝ.$

Đặt $t=\sin x,\left|t\right|\le 1.$ Ta có $2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0\iff 2t^2-3t+1=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{1}{2}\\ t=1\end{array}\right..$

Với $t=\frac{1}{2},$ ta có $\sin x=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Với $t=\mathrm{1,}$  ta có $\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Vì $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right)$ nên $x=\frac{\pi }{6}.$

Đáp án B

Phương trình ${\tan }^{2}x+2\tan x+1=0$ có nghĩa $\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi .$

Đặt $\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi .$. Ta có ${\tan }^{2}x+2\tan x+1=0\iff t^2+2t+1=0\iff t=-1.$

Với $t=-\mathrm{1,}$ ta có $\tan x=-1\iff \tan x=tan\frac{-\pi }{4}\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Đápn án C

Phương trình $co{s}^{2}2x+cos2x-\frac{3}{4}=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\Rightarrow D=ℝ.$

Đặt $t=cos2x,\left|t\right|\le 1.$ Ta có $co{s}^{2}2x+cos2x-\frac{3}{4}=0\iff t^2+t-\frac{3}{4}=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{1}{2}\\ t=\frac{-3}{2}\end{array}\right.\iff t=\frac{1}{2}$ (do $\left|t\right|\le 1$).

Đáp án B

Phương trình ${\sin }^{2}x-2\sin x=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\Rightarrow D=ℝ.$

Đặt $t=\sin x,\left|t\right|\le 1.$ Ta có ${\sin }^{2}x-2\sin x=0\iff t^2-2t=0\iff \left[\begin{array}{l}t=0\\ t=2\end{array}\right.\iff t=0$ (do $\left|t\right|\le 1$).

Với $t=\mathrm{0,}$  ta có $\sin x=0\iff x=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Đáp án A

Phương trình ${\cot }^{2}3x-\cot 3x-2=0$ có nghĩa $\iff x\ne \frac{k\pi }{3}.$

Đặt $t=cot3x.$ Ta có ${\cot }^{2}3x-\cot 3x-2=0\iff t^2-t-2=0\iff \left[\begin{array}{l}t=-1\\ t=2\end{array}\right..$

Với $t=-\mathrm{1,}$ ta có $\cot 3x=-1\iff \cot 3x=cot\frac{3\pi }{4}\iff 3x=\frac{3\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Đáp án D

Phương trình $2cos2x+2\cos x-\sqrt{2}=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\Rightarrow D=ℝ.$

Ta có $2cos2x+2\cos x-\sqrt{2}=0\iff 4{\cos }^{2}x-2+2\cos x-\sqrt{2}=0\iff 4{\cos }^{2}x+2\cos x-2-\sqrt{2}=0.$

Đặt   $t=cosx,\left|t\right|\le 1.$

Ta có $4{\cos }^{2}x+2\cos x-2-\sqrt{2}=0\iff 4t^2+2t-2-\sqrt{2}=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ t=\frac{-2-\sqrt{36+16\sqrt{2}}}{8}\end{array}\right.\iff t=\frac{\sqrt{2}}{2}$(do $\left|t\right|\le 1$).

Với $t=\frac{\sqrt{2}}{2},$ ta có $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}=cos\frac{\pi }{4}\iff x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x=-\frac{\pi }{4}.$

Đáp án C

Ta có $\sqrt{3}\sin x=2\iff \sin x=\frac{2}{\sqrt{3}}>1$ (vô nghiệm).

Ta có $\frac{1}{4}cos4x=\frac{1}{2}\iff cos4x=2>1$ (vô nghiệm).

Ta có  $2^2+2^2<5^2$ nên phương trình $2\sin x+3\cos x=5$ (vô nghiệm)

Đáp án A

Phương trình $13{\sin }^{2}x-78\sin x+15=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\Rightarrow D=ℝ.$ Đặt   $t=\sin x,\left|t\right|\le 1.$

Ta có $13{\sin }^{2}x-78\sin x+15=0\iff 13t^2-78t+15=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\mathrm{0,199}\\ t=\mathrm{5,801}\end{array}\right.\iff t=\mathrm{0,199}$ (do $\left|t\right|\le 1$).

Với $t=\mathrm{0,199,}$ ta có $\sin x=\mathrm{0,199}\iff \left[\begin{array}{l}x=\arcsin 0.199+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin 0.199+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Vì $x\in \left[0;2\pi \right]$ nên phương trình có hai nghiệm.

Đáp án B

Phương trình $3\cos x+2\left|\sin x\right|=2$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\Rightarrow D=ℝ.$

Ta có $3\cos x+2\left|\sin x\right|=2\iff 3\cos x+2\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=2.$

Đặt $t=cosx,\left|t\right|\le 1.$ Ta có $3\cos x+2\left|\sin x\right|=2\iff 3t+2\sqrt{1-t^2}=2\iff t=0.$

Với $t=\mathrm{0,}$ ta có $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Đáp án C

Phương trình ${\tan }^{2}x-\frac{4\sqrt{3}}{3}\tan x+1=0$ có nghĩa $\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi .$

Đặt $t=\tan x.$ Ta có ${\tan }^{2}x-\frac{4\sqrt{3}}{3}\tan x+1=0\iff t^2-\frac{4\sqrt{3}}{3}t+1=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{\sqrt{3}}{3}\\ t=\sqrt{3}\end{array}\right..$

Với $t=\frac{\sqrt{3}}{3},$ ta có $\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}\iff \tan x=tan\frac{\pi }{6}\iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Với $t=\sqrt{3},$ ta có $\tan x=\sqrt{3}\iff \tan x=tan\frac{\pi }{3}\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Vì  $x\in \left[0;3\pi \right]$ nên $x=\frac{\pi }{6};x=\frac{7\pi }{6};x=\frac{13\pi }{6};x=\frac{\pi }{3};x=\frac{4\pi }{3};x=\frac{7\pi }{3}.$

Vậy phương trình có 6 nghiệm thỏa mãn đề bài.

Đáp án C

Phương trình ${\sin }^{2}x-5\sin x+6=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\Rightarrow D=ℝ.$

Đặt $t=\sin x,\left|t\right|\le 1.$

Ta có  ${\sin }^{2}x-5\sin x+6=0\iff t^2-5t+6=0\iff \left[\begin{array}{l}t=3\\ t=2\end{array}\right.\iff t=\varnothing$ (do $\left|t\right|\le 1$).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Đáp án B

Phương trình ${\left(\tan x+\cot x\right)}^2-\left(\tan x+\cot x\right)=2$ có nghĩa $\iff \left\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ \sin x\ne 0\iff x\ne k\pi \end{array}\right.\iff x\ne k\frac{\pi }{2}.$

Đặt $t=\tan x+\cot x.$ Ta có ${\left(\tan x+\cot x\right)}^2-\left(\tan x+\cot x\right)=2\iff t^2-t-2=0\iff \left[\begin{array}{l}t=2\\ t=-1\end{array}\right..$

Với $t=\mathrm{2,}$ ta có $\left\{\begin{array}{l}\tan x+\cot x=2\\ \tan x\cot x=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\tan x=1\\ \cot x=1\end{array}\right..$

Với $t=-\mathrm{1,}$ ta có $\left\{\begin{array}{l}\tan x+\cot x=-1\\ \tan x\cot x=1\end{array}\right.$(vô nghiệm).

Vậy $\tan x+\frac{1}{\tan x}=2.$

Đáp án B

Phương trình $\sin x+{\sin }^2\frac{x}{2}=\frac{1}{2}$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\Rightarrow D=ℝ.$

Ta có $\sin x+{\sin }^2\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\iff \sin x+\frac{1-\cos x}{2}=\frac{1}{2}\iff 2\sin x+1-\cos x=1\iff 2\sin x-\cos x=0.\left(*\right)$

Vì  thì (*) vô nghiệm nên $\left(*\right)\Rightarrow 2\frac{\sin x}{\cos x}-1=0\iff 2\tan x-1=0\iff \tan x=\frac{1}{2}.$

Đáp án A

Phương trình $3{\sin }^{2}x-\sin 2x-{\cos }^{2}x=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\Rightarrow D=ℝ.$

Ta có $3{\sin }^{2}x-\sin 2x-{\cos }^{2}x=0\iff 3{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=0.\left(1\right)$

Vì $\cos x=0$ không là nghiệm của phương trình (1) nên ta chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos }^{2}x$.

Ta có $3{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=0\Rightarrow 3{\tan }^{2}x-2\tan x-1=0.$

Đặt $t=\tan x.$ Ta có $3{\tan }^{2}x-2\tan x-1=0\iff 3t^2-2t-1=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-\frac{1}{3}\end{array}\right..$

Với $t=\mathrm{1,}$ ta có $\tan x=1\iff \tan x=tan\frac{\pi }{4}\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Với $t=-\frac{1}{3},$ ta có $\tan x=-\frac{1}{3}\iff x=\arctan \frac{-1}{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Đáp án A

Ta có   $\frac{{\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x}{2\cos x-\sin x}=cos2x\iff {\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x=\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)\left(2\cos x-\sin x\right)$

$\iff {\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x=2{\cos }^{3}x-2\cos x{\sin }^{2}x-\sin x{\cos }^{2}x+{\sin }^{3}x$

$\iff {\cos }^{3}x-2{\sin }^{2}x\cos x-\sin x{\cos }^{2}x=0\iff \frac{{\cos }^{3}x}{{\cos }^{3}x}-\frac{2{\sin }^{2}x\cos x}{{\cos }^{3}x}-\frac{\sin x{\cos }^{2}x}{{\cos }^{3}x}=0$

(Điều kiện $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$).

$\iff 1-2{\tan }^{2}x-\tan x=0\iff 2{\tan }^{2}x+\tan x-1=0.$

Đặt $\tan x=t,$ ta có $2{\tan }^{2}x+\tan x-1=0\iff 2t^2+t-1=0.$

Đáp án C

Phương trình $2\sin x-2\cos x=1-\sqrt{3}$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\Rightarrow D=ℝ.$

Ta có $2\sin x-2\cos x=1-\sqrt{3}\iff {\left(\sin x-\cos x\right)}^2={\left(\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)}^2$

$\iff {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x-2\sin x\cos x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \sin 2x=\sin \frac{\pi }{3}.$