20 câu Dạng 1: Phương trình thuần nhất

Ta có $\sin 2x+2cos2x=1+\sin x-4\cos x$

$\iff 2\sin x\cos x+2\left(2{\cos }^{2}x-1\right)-1-\sin x+4\cos x=0$

$\iff \sin x\left(2\cos x-1\right)+4{\cos }^{2}x+4\cos x-3=0$

$\iff \sin x\left(2\cos x-1\right)+\left(2\cos x-1\right)\left(2\cos x+3\right)=0$

$\iff \left(2\cos x-1\right)\left(2\sin x+2\cos x+3\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}\cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ 2\sin x+2\cos x=-3\end{array}\right.$

Xét phương trình $2\sin x+2\cos x=-3;$  có $2^2+2^2=8<{\left(-3\right)}^2$  nên vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Ta có $3\sin 3x-\sqrt{3}cos9x=1+4{\sin }^{3}3x.\iff \left(3\sin 3x-4{\sin }^{3}3x\right)-\sqrt{3}cos9x=1$

$\iff \sin 9x-\sqrt{3}cos9x=1\iff \sin \left(9x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{6}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{9}\\ x=\frac{7\pi }{54}+k\frac{2\pi }{9}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{9},x=\frac{7\pi }{54}+k\frac{2\pi }{9}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Phương trình $\sqrt{3}\sin x-\cos x=1$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $\sqrt{3}\sin x-\cos x=1\iff \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac{1}{2}\cos x=\frac{1}{2}\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$

Đáp án A

Phương trình $\sin x+\sqrt{3}\cos x=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $\sin x+\sqrt{3}\cos x=0\iff \frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=0\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff x+\frac{\pi }{3}=k\pi \iff x=-\frac{\pi }{3}+k\pi .$

Vậy phương trình có nghiệm âm lớn nhất $x=-\frac{\pi }{3}$ là với $k=0.$

Phương trình $\sin x+\cos x=1$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $\sin x+\cos x=1\iff \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{4}\iff \left[\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=k2\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

Đáp án D

Phương trình $3\sin x+m\cos x=5$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Điều kiện để phương trình có nghiệm $3^2+m^2\ge 5^2\iff m^2\ge 16\iff \left[\begin{array}{l}m\le -4\\ m\ge 4\end{array}\right..$

Vậy phương trình vô nghiệm khi $-4<m<4.$

Đáp án D

Phương trình $m.\sin x-3\cos x=5$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Điều kiện để phương trình có nghiệm $m^2+{\left(-3\right)}^2\ge 5^2\iff m^2\ge 16\iff \left[\begin{array}{l}m\le -4\\ m\ge 4\end{array}\right..$

Đáp án C

Phương trình  $\sqrt{3}\sin 3x+cos3x=-1$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $\sqrt{3}\sin 3x+cos3x=-1\iff \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 3x+\frac{1}{2}cos3x=-\frac{1}{2}\iff \sin \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}.$

Phương trình $2\sin x+3\cos x=1$ có nghĩa  $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$Ta có $2^2+3^2-1^2=12>0.$

Vậy phương trình $2\sin x+3\cos x=1$ có nghiệm.

Đáp án B

Phương trình $\sqrt{3}\cos x+\sin x=\sqrt{2}$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $\sqrt{3}\cos x+\sin x=\sqrt{2}\iff \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{4}\iff \left[\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=\frac{5\pi }{12}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

Vì  $x\in \left[0;\pi \right]$ nên $x=\frac{5\pi }{12}.$

Phương trình $\sin 8x-cos6x=\sqrt{3}\left(\sin 6x+cos8x\right)$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $\sin 8x-cos6x=\sqrt{3}\left(\sin 6x+cos8x\right)\iff \sin 8x-\sqrt{3}cos8x=cos6x+\sqrt{3}\sin 6x$

$\frac{1}{2}\sin 8x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos8x=\frac{1}{2}cos6x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 6x\iff \sin \left(8x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(6x+\frac{\pi }{6}\right)$

$\sin \left(8x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(6x+\frac{\pi }{6}\right)\iff \left[\begin{array}{l}8x-\frac{\pi }{3}=6x+\frac{\pi }{6}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ 8x-\frac{\pi }{3}=\pi -6x-\frac{\pi }{6}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{7}\end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

Đáp án D

Phương trình $\sqrt{3}\sin x-\cos x=-3$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Để phương trình có nghiệm thì ${\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2\ge {\left(-3\right)}^2\iff 4\ge 9$ (vô lí).

Vậy phương trình $\sqrt{3}\sin x-\cos x=-3$ vô nghiệm.

Đáp án B

Phương trình $\sin 2x-2\cos x=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $\sin 2x-2\cos x=0\iff 2\sin x\cos x-2\cos x=0$

$\iff 2\cos x\left(\sin x-1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ \sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi .$

Vì $x\in \left[-\frac{5\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ nên $x=-\frac{5\pi }{12};x=-\frac{3\pi }{2};x=-\frac{\pi }{2};x=\frac{\pi }{2}.$

Vậy phương trình có 4 nghiệm thỏa mãn đề bài.

Phương trình $cos7x-\sqrt{3}\sin 7x=-\sqrt{2}$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $cos7x-\sqrt{3}\sin 7x=-\sqrt{2}\iff \frac{1}{2}cos7x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 7x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 7x-\frac{1}{2}cos7x=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \sin \left(7x-\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{4}\iff \left[\begin{array}{l}7x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{5\pi }{84}+\frac{k2\pi }{7}\\ 7x-\frac{\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{11\pi }{84}+\frac{k2\pi }{7}\end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

Đáp án A

Phương trình $\sin x+\sqrt{3}\cos x=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $\sin x+\sqrt{3}\cos x=0\iff \frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=0\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff x+\frac{\pi }{3}=k\pi \iff x=-\frac{\pi }{3}+k\pi .$

Vậy phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{2\pi }{3}$ với $k=1.$

Phương trình $\sin x+\cos x=-1$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $\sin x+\cos x=-1\iff \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{-\pi }{4}\iff \left[\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{-\pi }{4}+k2\pi \iff x=\pi +k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

Đáp án D

Phương trình  $2{\sin }^{2}x-\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=m$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $2{\sin }^{2}x-\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=m\iff \left(1-cos2x\right)-\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\left(1+cos2x\right)=m$

$\iff \sin 2x+3cos2x=-2m+1.\left(1\right)$

Để phương trình (1) có nghiệm thì ${\left(1-2m\right)}^2\le 1+9\iff 4m^2-4m-9\le 0\iff \frac{1-\sqrt{10}}{2}\le m\le \frac{1+\sqrt{10}}{2}.$

Phương trình $cos2x+\sin x-1=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $cos2x+\sin x-1=0\iff 1-2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0$

$\iff 2{\sin }^{2}x-\sin x=0\iff {\sin }^{2}x-\frac{1}{2}\sin x=0\iff {\left(\sin x-\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{16}\iff \left[\begin{array}{l}\sin x-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\iff \sin x=\frac{1}{2}\left(1\right)\\ \sin x-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}\iff \sin x=0\left(2\right)\end{array}\right..$

Giải (1) ta có $\sin x=\frac{1}{2}\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{6}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right..$

Giải (2) ta có $\sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Đáp án A

Phương trình có nghĩa $\iff \cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}.$

Ta có   $\tan x-\sin 2x-cos2x+2\left(2\cos x-\frac{1}{\cos x}\right)=0\iff \frac{\sin x}{\cos x}-\sin 2x-cos2x+4\cos x-\frac{2}{\cos x}=0$

$\iff \sin x-2\sin x{\cos }^{2}x-cos2x\cos x+2\left(2{\cos }^{2}x-1\right)=0\iff \sin x\left(1-2{\cos }^{2}x\right)-cos2x\cos x+2cos2x=0$