20 câu Dạng 1: Phương trình thuần nhất
20 câu hỏi
Giải phương trình:sin2x+2cos2x=1+sinx-4cosx
Ta có sin2x+2cos2x=1+sinx−4cosx
⇔2sinxcosx+22cos2x−1−1−sinx+4cosx=0
⇔sinx2cosx−1+4cos2x+4cosx−3=0
⇔sinx2cosx−1+2cosx−12cosx+3=0
⇔2cosx−12sinx+2cosx+3=0
⇔cosx=12⇔x=±π3+k2πk∈ℤ2sinx+2cosx=−3
Xét phương trình 2sinx+2cosx=−3; có 22+22=8<−32 nên vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm x=±π3+k2πk∈ℤ.
Giải phương trình
3sin3x−3cos9x=1+4sin33x.
Ta có 3sin3x−3cos9x=1+4sin33x.⇔3sin3x−4sin33x−3cos9x=1
⇔sin9x−3cos9x=1⇔sin9x−π3=sinπ6⇔x=π18+k2π9x=7π54+k2π9k∈ℤ.
Vậy phương trình có nghiệm x=π18+k2π9,x=7π54+k2π9k∈ℤ.
Phương trình 3sinx−cosx=1 có nghiệm là
x=−π+k2πx=π6+k2π,k∈ℤ.
x=−2π3+k2πx=π6+k2π,k∈ℤ.
x=π3+k2πx=π+k2π,k∈ℤ.
x=k2πx=π6+k2π,k∈ℤ.
Đáp án C
Phương trình 3sinx−cosx=1 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có 3sinx−cosx=1⇔32sinx−12cosx=12⇔sinx−π6=12
⇔sinx−π6=sinπ6⇔x−π6=π6+k2πx−π6=π−π6+k2π⇔x=π3+k2πx=π+k2π,k∈ℤ.
Phương trình sinx+3cosx=0 có nghiệm âm lớn nhất bằng
−π3.
−π6.
−5π6.
−5π3.
Đáp án A
Phương trình sinx+3cosx=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có sinx+3cosx=0⇔12sinx+32cosx=0⇔sinx+π3=0⇔x+π3=kπ⇔x=−π3+kπ.
Vậy phương trình có nghiệm âm lớn nhất x=−π3 là với k=0.
Nghiệm của phương trình sinx+cosx=1 là
x=k2πk∈ℤ.
x=k2πx=π2+k2πk∈ℤ.
x=π4+k2πk∈ℤ.
x=π4+k2πx=−π4+k2πk∈ℤ.
Đáp án B
Phương trình sinx+cosx=1 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có sinx+cosx=1⇔12sinx+12cosx=12⇔sinx+π4=12
⇔sinx+π4=sinπ4⇔x+π4=π4+k2π⇔x=k2πx+π4=π−π4+k2π⇔x=π2+k2π,k∈ℤ.
Điều kiện để phương trình 3sinx+mcosx=5 vô nghiệm là
m≤−4m≥4.
m>4.
m<−4.
−4<m<4.
Đáp án D
Phương trình 3sinx+mcosx=5 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Điều kiện để phương trình có nghiệm 32+m2≥52⇔m2≥16⇔m≤−4m≥4.
Vậy phương trình vô nghiệm khi −4<m<4.
Điều kiện để phương trình msinx-3cosx=5 có nghiệm là
m≥4.
−4≤m≤4.
m≥34.
m≤−4m≥4.
Đáp án D
Phương trình m.sinx−3cosx=5 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Điều kiện để phương trình có nghiệm m2+−32≥52⇔m2≥16⇔m≤−4m≥4.
Phương trình 3sin3x+cos3x=−1 tương đương với phương trình nào sau đây?
sin3x−π6=−12.
sin3x+π6=−π6.
sin3x+π6=−12.
sin3x+π6=12.
Đáp án C
Phương trình 3sin3x+cos3x=−1 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có 3sin3x+cos3x=−1⇔32sin3x+12cos3x=−12⇔sin3x+π6=−12.
Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
3sinx=2.
14cos4x=12.
2sinx+3cosx=1.
cot2x−cotx+5=0.
Đáp án C
Phương trình 2sinx+3cosx=1 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.Ta có 22+32−12=12>0.
Vậy phương trình 2sinx+3cosx=1 có nghiệm.
Cho phương trình 3cosx+sinx=2 trên đoạn 0;π . Chọn câu trả lời đúng
Phương trình có nghiệm x=π4;x=3π4.
Phương trình có nghiệm x=5π12.
Phương trình có nghiệm x=3π7;x=4π7.
Phương trình có nghiệm x=2π5.
Đáp án B
Phương trình 3cosx+sinx=2 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có 3cosx+sinx=2⇔32cosx+12sinx=22⇔sinx+π3=22
⇔sinx+π3=sinπ4⇔x+π3=π4+k2π⇔x=−π12+k2πx+π3=π−π4+k2π⇔x=5π12+k2π,k∈ℤ.
Vì x∈0;π nên x=5π12.
Phương trình sin8x−cos6x=3sin6x+cos8x có nghiệm là
x=π3+kπx=π6+kπ2,k∈ℤ.
x=π5+kπx=π7+kπ2,k∈ℤ.
x=π4+kπx=π12+kπ7,k∈ℤ.
x=π8+kπx=π9+kπ3,k∈ℤ.
Đáp án C
Phương trình sin8x−cos6x=3sin6x+cos8x có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có sin8x−cos6x=3sin6x+cos8x⇔sin8x−3cos8x=cos6x+3sin6x
12sin8x−32cos8x=12cos6x+32sin6x⇔sin8x−π3=sin6x+π6
sin8x−π3=sin6x+π6⇔8x−π3=6x+π6+k2π⇔x=π4+kπ8x−π3=π−6x−π6+k2π⇔x=π12+kπ7,k∈ℤ.
Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
3sin2x−cos2x=2.
3sinx−4cosx=5.
sinx=cosπ4.
3sinx−cosx=−3.
Đáp án D
Phương trình 3sinx−cosx=−3 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Để phương trình có nghiệm thì 32+−12≥−32⇔4≥9 (vô lí).
Vậy phương trình 3sinx−cosx=−3 vô nghiệm.
Số nghiệm của phương trình sin2x-2cosx=0 thuộc đoạn −5π2;π2 là
3.
4.
5.
2.
Đáp án B
Phương trình sin2x−2cosx=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có sin2x−2cosx=0⇔2sinxcosx−2cosx=0
⇔2cosxsinx−1=0⇔cosx=0⇒x=π2+kπsinx=1⇒x=π2+k2π⇒x=π2+kπ.
Vì x∈−5π2;π2 nên x=−5π12;x=−3π2;x=−π2;x=π2.
Vậy phương trình có 4 nghiệm thỏa mãn đề bài.
Phương trình cos7x−3sin7x=−2 có các họ nghiệm là
x=5π84+k2π7x=11π84+k2π7,k∈ℤ.
x=−5π84+k2π7x=11π84+k2π7,k∈ℤ.
x=−π84+k2π7x=π84+k2π7,k∈ℤ.
x=−5π84+k2π7x=−11π84+k2π7,k∈ℤ.
Đáp án A
Phương trình cos7x−3sin7x=−2 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có cos7x−3sin7x=−2⇔12cos7x−32sin7x=−22
⇔32sin7x−12cos7x=22⇔sin7x−π6=sinπ4⇔7x−π6=π4+k2π⇒x=5π84+k2π77x−π6=π−π4+k2π⇒x=11π84+k2π7,k∈ℤ.
Phương trình sinx+3cosx=0 có nghiệm dương nhỏ nhất bằng
2π3.
5π6.
π.
0.
Đáp án A
Phương trình sinx+3cosx=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có sinx+3cosx=0⇔12sinx+32cosx=0⇔sinx+π3=0⇔x+π3=kπ⇔x=−π3+kπ.
Vậy phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất là x=2π3 với k=1.
Nghiệm của phương trình sinx+cosx=−1 với k∈ℤ là
x=k2π.
x=π+k2πx=−π2+k2π.
x=π4+k2π.
x=π4+k2πx=−π4+k2π.
Đáp án B
Phương trình sinx+cosx=−1 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có sinx+cosx=−1⇔12sinx+12cosx=−12⇔sinx+π4=−12
⇔sinx+π4=sin−π4⇔x+π4=−π4+k2π⇔x=−π2+k2πx+π4=π−−π4+k2π⇔x=π+k2π,k∈ℤ.
Để phương trình 2sin2x−sinxcosx−cos2x=m có nghiệm thì giá trị của m là
m≤1−102.
m=1±102.
m≥1+102.
1−102≤m≤1+102.
Đáp án D
Phương trình 2sin2x−sinxcosx−cos2x=m có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có 2sin2x−sinxcosx−cos2x=m⇔1−cos2x−12sin2x−121+cos2x=m
⇔sin2x+3cos2x=−2m+1. 1
Để phương trình (1) có nghiệm thì 1−2m2≤1+9⇔4m2−4m−9≤0⇔1−102≤m≤1+102.
Phương trình cos2x+sinx−1=0 có số họ nghiệm là
1.
3.
2.
0.
Đáp án B
Phương trình cos2x+sinx−1=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có cos2x+sinx−1=0⇔1−2sin2x+sinx−1=0
⇔2sin2x−sinx=0⇔sin2x−12sinx=0⇔sinx−142=116⇔sinx−14=14⇔sinx=121sinx−14=−14⇔sinx=02.
Giải (1) ta có sinx=12⇔sinx=sinπ6⇔x=π6+k2πx=5π6+k2π.
Giải (2) ta có sinx=0⇔x=kπ,k∈ℤ.
Phương trình có các họ nghiệm là tanx−sin2x−cos2x+22cosx−1cosx=0
x=π4+kπ2,k∈ℤ.
x=π4+kπ,k∈ℤ.
x=−π4+kπ2,k∈ℤ.
x=−π6+kπ2,k∈ℤ.
Đáp án A
Phương trình có nghĩa ⇔cosx≠0⇔x≠π2+kπ⇔D=ℝ\π2+kπ.
Ta có tanx−sin2x−cos2x+22cosx−1cosx=0⇔sinxcosx−sin2x−cos2x+4cosx−2cosx=0
⇔sinx−2sinxcos2x−cos2xcosx+22cos2x−1=0⇔sinx1−2cos2x−cos2xcosx+2cos2x=0
⇔−sinxcos2x−cos2xcosx+2cos2x=0⇔cos2xsinx+cosx−2=0⇔cos2x=0sinx+cosx=2⇔x=π4+kπ2,k∈ℤ.
Cho phương trình tanx−3cotx=4sinx+3cosx. Với k∈ℤ thì nghiệm của phương trình
x=−π3+k2πx=−4π9+k2π3.
x=−π3+kπx=4π9+k2π3.
x=π3+k2πx=4π9+k2π3.
x=π12+k2πx=4π9+k2π3.
Đáp án B
