22 câu Dạng 4. Phương trình lượng giác đối xứng
22 câu hỏi
Giải phương trình sinx-cosx+14sinxcosx=1
Đặt t=sinx−cosx−2≤t≤2⇒sinxcosx=1−t22.
Khi đó phương trình (1) trở thành t+71−t2=1⇔7t2−t−6=0⇔t=1t=−67.
- Nếu t=1 thì sinx−cosx=1⇔sinx−π4=sinπ4⇔x=π2+k2πx=π+k2πk∈ℤ.
- Nếu t=−67 thì sinx−cosx=−67
⇔sinx−π4=−327⇔x=π4+arcsin−327+k2πx=5π4−arcsin−327+k2πk∈ℤ.
Vậy phương trình đã cho có 4 họ nghiệm x=π2+k2π;x=π+k2π
x=π4+arcsin−327+k2π;x=5π4−arcsin−327+k2πk∈ℤ.
Giải phương trình sin3x+cos3x+1=32sin2x. 2
2⇔1+sinx+cosxsin2x−sinxcosx+cos2x=3sinxcosx
⇔1+sinx+cosx1−sinxcosx=3sinxcosx. *
Đặt t=sinx+cosx−2≤t≤2⇒sinxcosx=t2−12.
Khi đó phương trình (*) trở thành 1+t1−t2−12=3.t2−12
⇔t3+3t2−3t−5=0⇔t+1t2+2t−5=0⇔t=−1t=−1−6<−2t=−1+6>2⇒t=−1.
Suy ra sinx+cosx=−1⇔2cosx−π4=−1
⇔cosx−π4=cos3π4⇔x=π+k2πx=−π2+k2πk∈ℤ.
Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm x=π+k2π;x=−π2+k2πk∈ℤ.
Cho phương trình −2sinx+cosx+2sinxcosx+1=0. Đặt t=sinx+cosx, ta được phương trình nào dưới đây?
t2+2t=0.
t2+2t+2=0.
t2−2t=0.
t2−2t−2=0.
Đáp án C
Phương trình −2sinx+cosx+2sinxcosx+1=01 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Đặt t=sinx+cosx,t≤2.
Ta có sinxcosx=t2−12⇒1⇔t2−2t=0.
Nếu 1+sinx1+cosx=2 thì cosx−π4 nhận giá trị là
-1
1.
−22.
22.
Đáp án D
Phương trình 1+sinx1+cosx=2 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có 1+sinx1+cosx=2⇔cosx+sinx+sinxcosx=1.
Đặt t=sinx+cosx,t≤2.
Ta có sinxcosx=t2−121⇒t2+2t−3=0⇔t=1t=−3.
Do t≤2 nên t=1.
Với t=1, ta có t=sinx+cosx=2cosx−π4=1⇔cosx−π4=22.
Phương trình sinx-cosx+2sin2x+1=0 có nghiệm là
x=k2πx=3π2+k2π,k∈ℤ.
x=kπx=3π2+kπ,k∈ℤ.
x=3π2+k2π,k∈ℤ.
Vô nghiệm.
Đáp án A
Phương trình sinx−cosx+2sin2x+1=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có sinx−cosx+2sin2x+1=0⇔sinx−cosx+4sinxcosx+1=0. 1
Đặt t=sinx−cosx,t≤2.
Ta có sinxcosx=1−t22⇒1⇔t+21−t2+1=0⇔2t2−t−3=0⇔t=−1t=32.
Do t≤2 nên t=−1.
Với t=−1, ta có t=sinx−cosx=2sinx−π4=−1⇔sinx−π4=−12=sin−π4
⇔x−π4=−π4+k2π⇔x=k2πx−π4=π−−π4+k2π⇔x=3π2+k2π,k∈ℤ.
Cho phương trình sin2x-2(sinx-cosx)-2=0 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là
x=π2.
x=0
x=3π2.
x=5π6.
Đáp án C
Phương trình sin2x−2sinx−cosx−2=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có sin2x−2sinx−cosx−2=0⇔2sinx−cosx−2sinxcosx+2=0. 1
Đặt t=sinx−cosx,t≤2. Ta có sinxcosx=1−t22
⇒1⇔2t−1−t2+2=0⇔t2+2t+1=0⇔t=−1.
Với t=−1, ta có t=sinx−cosx=2sinx−π4=−1⇔sinx−π4=−12=sin−π4
⇔x−π4=−π4+k2π⇔x=k2πx−π4=π−−π4+k2π⇔x=3π2+k2π,k∈ℤ.
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x=3π2.
Phương trình sin2xx+2(cosx-sinx)-1=0 có nghiệm là
x=π4+kπ,k∈ℤ.
x=π4+k2π,k∈ℤ.
x=−π4+kπ,k∈ℤ.
Vô nghiệm.
Đáp án A
Phương trình sin2x+2cosx−sinx−1=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có sin2x+2cosx−sinx−1=0⇔2sinxcosx−2sinx−cosx−1=0. 1
Đặt t=sinx−cosx,t≤2. Ta có sinxcosx=1−t22
⇒1⇔1−t2−2t−1=0⇔t2+2t=0⇔t=0t=−2.
Do t≤2 nên t=0.
Với t=0, ta có t=sinx−cosx=2sinx−π4=0⇔sinx−π4=0⇔x−π4=kπ⇔x=π4+kπ,k∈ℤ.
Cho phương trình 2sinx+cosx=tanx+cotx. Nếu t=sinx+cosx thì giá trị của t thỏa mãn t≤2 là
-1
2.
−2.
−22.
Đáp án B
Phương trình 2sinx+cosx=tanx+cotx có nghĩa ⇔cosx≠0⇔x≠π2+kπsinx≠0⇔x≠kπ⇔x≠kπ2.
Ta có 2sinx+cosx=tanx+cotx
⇔2sinx+cosx=sinxcosx+cosxsinx⇔2sinx+cosx=1sinxcosx. 1
Đặt t=sinx+cosx,t≤2. Ta có sinxcosx=t2−12
⇒1⇔2t=2t2−1⇔2t3−2t−2=0t≠1⇔t=2.
Cho phương trình sin2x+4(sinx-cosx)-5 Số nghiệm của phương trình thỏa mãn 0<x<π là
1.
0.
2.
4.
Đáp án B
Phương trình sin2x+4sinx−cosx−5=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có sin2x+4sinx−cosx−5=0⇔4sinx−cosx+2sinxcosx−5=0. 1
Đặt t=sinx−cosx,t≤2. Ta có sinxcosx=1−t22
⇒1⇔4t+1−t2−5=0⇔t2−4t+4=0⇔t=2 (loại).
Vậy phương trình vô nghiệm hay không có nghiệm thỏa mãn 0<x<π.
Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
3sin2x−cos2x=2.
sin2x−sinx+cosx=1.
sinx=cosπ4.
3sinx−cosx=−3.
Đáp án D
Phương trình 3sinx−cosx=−3 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có 32+−12<−32.
Vậy phương trình vô nghiệm.
Cho x thỏa mãn phương trình sin2x+sinx−cosx=1. Giá trị lớn nhất tìm được của sinx−π4 là
0.
22.
12.
1.
Đáp án B
Phương trình sin2x+sinx−cosx=1 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có sin2x+sinx−cosx=1⇔sinx−cosx+2sinxcosx−1=0. 1
Đặt t=sinx−cosx,t≤2. Ta có sinxcosx=1−t22
⇒1⇔t+1−t2−1=0⇔t2−t=0⇔t=1t=0.
Với t=1, ta có t=sinx−cosx=2sinx−π4=1⇔sinx−π4=22.
Với t=0, ta có t=sinx−cosx=2sinx−π4=0⇔sinx−π4=0.
Vậy giá trị lớn nhất của sinx−π4=22.
Số họ nghiệm của phương trình sin2x-sinx+cosx-1=0 là
4.
3.
2.
1
Đáp án B
Phương trình sin2x−sinx+cosx−1=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có sin2x−sinx+cosx−1=0⇔sinx−cosx−2sinxcosx+1=0. 1
Đặt t=sinx−cosx,t≤2. Ta có sinxcosx=1−t22
⇒1⇔t−1−t2+1=0⇔t2+t=0⇔t=−1t=0.
Với t=−1, ta có t=sinx−cosx=2sinx−π4=−1⇔sinx−π4=−12=sin−π4
⇔x−π4=−π4+k2π⇔x=k2πx−π4=π−−π4+k2π⇔x=3π2+k2π,k∈ℤ.
Với t=0, ta có t=sinx−cosx=2sinx−π4=0⇔sinx−π4=0⇔x−π4=kπ⇔x=π4+kπ,k∈ℤ.
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
4sinx−cosx+sin2x−5=0.
2cos2x−cosx−1=0.
2sinx−cosx−sin2x+2=0.
3sinx−2=0.
Đáp án A
Phương trình 4sinx−cosx+sin2x−5=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có 4sinx−cosx+sin2x−5=0⇔4sinx−cosx+2sinxcosx−5=0. (1)
Đặt t=sinx−cosx,t≤2. Ta có sinxcosx=1−t22
⇒1⇔4t+1−t2−5=0⇔t2−4t+4=0⇔t=2(loại).
Vậy phương trình vô nghiệm.
Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sinx+cosx=1−12sin2x là
x=−π6.
x=−π2.
x=−3π2.
x=−5π6.
Đáp án C
Phương trình sinx+cosx=1−12sin2x có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có sinx+cosx=1−12sin2x⇔sinx+cosx+sinxcosx−1=0. 1
Đặt t=sinx+cosx,t≤2. Ta có sinxcosx=t2−12
⇒1⇔t+t2−12−1=0⇔t2+2t−3=0⇔t=1t=−3.
Do t≤2 nên t=1.
Với t=1, ta có t=sinx+cosx=2sinx+π4=1⇔sinx+π4=22=sinπ4
⇔x+π4=π4+k2π⇔x=k2πx+π4=3π4+k2π⇔x=π2+k2π,k∈ℤ.
Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x=−3π2.
Số nghiệm của phương trình 22sinx+cosx−sin2x−3=0 thỏa mãn điều kiện π<x<5π là
1.
0.
3.
2.
Đáp án D
Phương trình 22sinx+cosx−sin2x−3=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có 22sinx+cosx−sin2x−3=0⇔22sinx+cosx−2sinxcosx−3=0. 1
Đặt t=sinx+cosx,t≤2. Ta có sinxcosx=t2−12
⇒1⇔22t−t2−1−3=0⇔t2−22t+2=0⇔t=2.
Với t=2, ta có t=sinx+cosx=2sinx+π4=12⇔sinx+π4=1⇔x=π4+k2π,k∈ℤ.
Do x∈π;5π nên x=9π4;x=17π4.
Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn đề bài.
Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
3sinx=2.
14cos4x=12.
22sinx+cosx+sin2x+3=0.
cot2x−cotx+5=0.
Đáp án C
Ta có 3sinx=2⇔sinx=23>1⇒ Phương trình vô nghiệm.
Ta có 14cos4x=12⇔cos4x=2>1⇒ Phương trình vô nghiệm.
Ta có Δ=−12−4.1.5=−19<0⇒ Phương trình vô nghiệm.
Điều kiện để phương trình 2sinx+cosx+m−2=0 có nghiệm là
m≤0.
Không có giá trị nào của m.
m≥4.
0≤m≤4.
Đáp án D
Phương trình 2sinx+cosx+m−2=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có 2sinx+cosx+m−2=0⇔m=−2sinx+cosx+2.
Có −2≤sinx+cosx≤2⇔−2≤2sinx+cosx≤2
⇔−2≤−2sinx+cosx≤2⇔0≤−2sinx+cosx+2≤4⇔0≤m≤4.
Phương trình 3sinx+cosx+12sin2x=−3 có nghiệm là
x=−π4+kπ,k∈ℤ.
x=−π2+k2πx=π+k2π,k∈ℤ.
x=−π2+k2π,k∈ℤ.
Vô nghiệm.
Đáp án B
Phương trình 3sinx+cosx+12sin2x=−3 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có 3sinx+cosx+12sin2x=−3⇔3sinx+cosx+sinxcosx+3=0. 1
Đặt t=sinx+cosx,t≤2.
Ta có sinxcosx=t2−12⇒1⇔3t+t2−12+3=0⇔t2+6t+5=0⇔t=−1t=−5.
Do t≤2 nên t=−1.
Với t=−1, ta có t=sinx+cosx=2sinx+π4=−1⇔sinx+π4=−22=sin−π4
⇔x+π4=−π4+k2π⇔x=−π2+k2πx+π4=π−−π4+k2π⇔x=π+k2π,k∈ℤ.
Nghiệm của phương trình 2(sinx+cosx)sin2x+1=0 thỏa mãn điều kiện 0<x<π là
x=3π4.
x=−π2.
x=π.
x=−π4.
Đáp án A
Phương trình 2sinx+cosx+sin2x+1=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có 2sinx+cosx+sin2x+1=0⇔2sinx+cosx+2sinxcosx+1=0. 1
Đặt t=sinx+cosx,t≤2.
Ta có sinxcosx=t2−12⇒1⇔2t+t2−1+1=0⇔t2+2t=0⇔t=0t=−2.
Do t≤2 nên t=0.
Với t=0, ta có t=sinx+cosx=2sinx+π4=0⇔sinx+π4=0
⇔x+π4=kπ⇔x=−π4+kπ,k∈ℤ.
Do x∈0;π nên x=3π4.
Từ phương trình sin3x+cos3x+1=32sin2x ta tìm được cosx+π4 có giá trị bằng
-1
±22.
−22.
22.
Đáp án B
Phương trình sin3x+cos3x+1=32sin2x có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có sin3x+cos3x+1=32sin2x⇔sinx+cosxsin2x+sinxcosx+cos2x+1=3sinxcosx
⇔sinx+cosx1+sinxcosx+1=3sinxcosx. 1
Đặt t=sinx+cosx,t≤2.
Ta có sinxcosx=t2−12⇒1⇔t1+t2−12+1=3t2−12⇔t3−3t2+t+5=0⇔t=−1.
Với t=−1, ta có t=sinx+cosx=2cosx−π4=−1⇔cosx−π4=−22⇔cosx+π4=±22.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình xcosx-sinx-cosx+m=0 có nghiệm?
1
2.
3.
4.
Đáp án C
Phương trình sinxcosx−sinx−cosx+m=01 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Đặt t=sinx+cosx,t≤2.
Ta có sinxcosx=t2−12⇒1⇔t2−12−t+m=0⇔−2m=t2−2t−1⇔t−12=−2m+2.
Do −2≤t≤2⇒−2−1≤t−1≤2−1⇒0≤t−12≤3+22.
Để phương trình có nghiệm thì 0≤−2m+2≤3+22⇔−1+222≤m≤1.
Vì m∈ℤ nên m∈−1;0;1.
Giá trị của m để phương trình m(sinx+cosx)+sin2x=0 có nghiệm là
Không có giá trị nào của m
∀m.
m=−1.
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án B
Phương trình msinx+cosx+sin2x=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.
Ta có msinx+cosx+sin2x=0⇔msinx+cosx+2sinxcosx=0 . (1)
Đặt t=sinx+cosx−2≤t≤2.
Ta có sinxcosx=t2−12⇒1⇔t2+mt−1=0.
Δ=m2+4>0⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt t1;t2.
Theo Vi-ét ta có t1.t2=−1.
Suy ra luôn có ít nhất một nghiệm thỏa mãn −2≤t≤2.
Vậy phương trình luôn có nghiệm.
