22 câu Dạng 4. Phương trình lượng giác đối xứng

Đặt $t=\sin x-\cos x\left(-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\right)\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}.$

Khi đó phương trình (1) trở thành $t+7\left(1-t^2\right)=1\iff 7t^2-t-6=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-\frac{6}{7}\end{array}\right..$

- Nếu $t=1$  thì $\sin x-\cos x=1\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{4}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x=\pi +k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

- Nếu $t=-\frac{6}{7}$  thì $\sin x-\cos x=\frac{-6}{7}$

$\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{-3\sqrt{2}}{7}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\arcsin \frac{-3\sqrt{2}}{7}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{4}-\arcsin \frac{-3\sqrt{2}}{7}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Vậy phương trình đã cho có 4 họ nghiệm $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ;x=\pi +k2\pi$

$x=\frac{\pi }{4}+\arcsin \frac{-3\sqrt{2}}{7}+k2\pi ;x=\frac{5\pi }{4}-\arcsin \frac{-3\sqrt{2}}{7}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

$\left(2\right)\iff 1+\left(\sin x+\cos x\right)\left({\sin }^{2}x-\sin x\cos x+{\cos }^{2}x\right)=3\sin x\cos x$

$\iff 1+\left(\sin x+\cos x\right)\left(1-\sin x\cos x\right)=3\sin x\cos x.\left(*\right)$

Đặt $t=\sin x+\cos x\left(-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\right)\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}.$

Khi đó phương trình (*) trở thành $1+t\left(1-\frac{t^2-1}{2}\right)=3.\frac{t^2-1}{2}$

$\iff t^3+3t^2-3t-5=0\iff \left(t+1\right)\left(t^2+2t-5\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}t=-1\\ t=-1-\sqrt{6}<-\sqrt{2}\\ t=-1+\sqrt{6}>\sqrt{2}\end{array}\right.\Rightarrow t=-1.$

Suy ra $\sin x+\cos x=-1\iff \sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-1$

                            $\iff cos\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=cos\frac{3\pi }{4}\iff \left[\begin{array}{l}x=\pi +k2\pi \\ x=\frac{-\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$             

Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm $x=\pi +k2\pi ;x=\frac{-\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Phương trình  $-\sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)+2\sin x\cos x+1=0\left(1\right)$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Đặt $t=\sin x+\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$

Đáp án D

Phương trình $\left(1+\sin x\right)\left(1+\cos x\right)=2$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $\left(1+\sin x\right)\left(1+\cos x\right)=2\iff \cos x+\sin x+\sin x\cos x=1.$

Đặt $t=\sin x+\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$

Ta có $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}\left(1\right)\Rightarrow t^2+2t-3=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-3\end{array}\right..$

Do  $\left|t\right|\le \sqrt{2}$ nên $t=1.$

Với $t=\mathrm{1,}$ ta có $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=1\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Đáp án A

Phương trình $\sin x-\cos x+2\sin 2x+1=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $\sin x-\cos x+2\sin 2x+1=0\iff \sin x-\cos x+4\sin x\cos x+1=0.\left(1\right)$

Đặt $t=\sin x-\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$

Ta có $\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}\Rightarrow \left(1\right)\iff t+2\left(1-t^2\right)+1=0\iff 2t^2-t-3=0\iff \left[\begin{array}{l}t=-1\\ t=\frac{3}{2}\end{array}\right..$

Do  $\left|t\right|\le \sqrt{2}$ nên $t=-1.$

Với $t=-\mathrm{1,}$ ta có $t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-1\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{-\pi }{4}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=k2\pi \\ x-\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{-\pi }{4}+k2\pi \iff x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

Đáp án C

Phương trình  $\sin 2x-2\left(\sin x-\cos x\right)-2=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $\sin 2x-2\left(\sin x-\cos x\right)-2=0\iff 2\left(\sin x-\cos x\right)-2\sin x\cos x+2=0.\left(1\right)$

Đặt  $t=\sin x-\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$ Ta có $\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}$

$\Rightarrow \left(1\right)\iff 2t-\left(1-t^2\right)+2=0\iff t^2+2t+1=0\iff t=-1.$

Với $t=-\mathrm{1,}$ ta có $t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-1\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{-\pi }{4}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=k2\pi \\ x-\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{-\pi }{4}+k2\pi \iff x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là   $x=\frac{3\pi }{2}.$

Đáp án A

Phương trình $\sin 2x+2\left(\cos x-\sin x\right)-1=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $\sin 2x+2\left(\cos x-\sin x\right)-1=0\iff 2\sin x\cos x-2\left(\sin x-\cos x\right)-1=0.\left(1\right)$

Đặt  $t=\sin x-\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$ Ta có $\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}$

 $\Rightarrow \left(1\right)\iff 1-t^2-2t-1=0\iff t^2+2t=0\iff \left[\begin{array}{l}t=0\\ t=-2\end{array}\right..$

Do $\left|t\right|\le \sqrt{2}$ nên $t=0.$

Với  $t=\mathrm{0,}$ ta có $t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=0\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=0\iff x-\frac{\pi }{4}=k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Đáp án B

Phương trình $\sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)=\tan x+\cot x$ có nghĩa $\iff \left\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ \sin x\ne 0\iff x\ne k\pi \end{array}\right.\iff x\ne k\frac{\pi }{2}.$

Ta có $\sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)=\tan x+\cot x$

$\iff \sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}\iff \sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)=\frac{1}{\sin x\cos x}.\left(1\right)$

Đặt $t=\sin x+\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$ Ta có $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$

$\Rightarrow \left(1\right)\iff \sqrt{2}t=\frac{2}{t^2-1}\iff \sqrt{2}{t}^3-\sqrt{2}t-2=0\left(t\ne 1\right)\iff t=\sqrt{2}.$

Đáp án B

Phương trình $\sin 2x+4\left(\sin x-\cos x\right)-5=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $\sin 2x+4\left(\sin x-\cos x\right)-5=0\iff 4\left(\sin x-\cos x\right)+2\sin x\cos x-5=0.\left(1\right)$

Đặt $t=\sin x-\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$ Ta có $\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}$

$\Rightarrow \left(1\right)\iff 4t+1-t^2-5=0\iff t^2-4t+4=0\iff t=2$ (loại).

Vậy phương trình vô nghiệm hay không có nghiệm thỏa mãn   $0<x<\pi .$

Đáp án D

Phương trình $\sqrt{3}\sin x-\cos x=-3$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có ${\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2<\left(-3^2\right).$

Vậy phương trình vô nghiệm.

Đáp án B

Phương trình $\sin 2x+\sin x-\cos x=1$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $\sin 2x+\sin x-\cos x=1\iff \sin x-\cos x+2\sin x\cos x-1=0.\left(1\right)$

Đặt $t=\sin x-\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$ Ta có $\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}$

 $\Rightarrow \left(1\right)\iff t+1-t^2-1=0\iff t^2-t=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=0\end{array}\right..$

Với $t=\mathrm{1,}$ ta có $t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=1\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Với $t=\mathrm{0,}$ ta có $t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=0\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=0.$

Vậy giá trị lớn nhất của $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Đáp án B

Phương trình $\sin 2x-\sin x+\cos x-1=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $\sin 2x-\sin x+\cos x-1=0\iff \sin x-\cos x-2\sin x\cos x+1=0.\left(1\right)$

Đặt $t=\sin x-\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$ Ta có $\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}$

$\Rightarrow \left(1\right)\iff t-\left(1-t^2\right)+1=0\iff t^2+t=0\iff \left[\begin{array}{l}t=-1\\ t=0\end{array}\right..$

Với $t=-\mathrm{1,}$ ta có $t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-1\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{-\pi }{4}$

 $\iff \left[\begin{array}{l}x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=k2\pi \\ x-\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{-\pi }{4}+k2\pi \iff x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

Với $t=\mathrm{0,}$ ta có $t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=0\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=0\iff x-\frac{\pi }{4}=k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.

Đáp án A

Phương trình $4\left(\sin x-\cos x\right)+\sin 2x-5=0$ có nghĩa  $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có  $4\left(\sin x-\cos x\right)+\sin 2x-5=0\iff 4\left(\sin x-\cos x\right)+2\sin x\cos x-5=0.$ (1)

Đặt $t=\sin x-\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$  Ta có $\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}$

$\Rightarrow \left(1\right)\iff 4t+1-t^2-5=0\iff t^2-4t+4=0\iff t=2$(loại).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Đáp án C

Phương trình $\sin x+\cos x=1-\frac{1}{2}\sin 2x$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $\sin x+\cos x=1-\frac{1}{2}\sin 2x\iff \sin x+\cos x+\sin x\cos x-1=0.\left(1\right)$

Đặt  $t=\sin x+\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$ Ta có $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$

$\Rightarrow \left(1\right)\iff t+\frac{t^2-1}{2}-1=0\iff t^2+2t-3=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-3\end{array}\right..$  

Do $\left|t\right|\le \sqrt{2}$ nên $t=1.$

Với $t=\mathrm{1,}$ ta có $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=k2\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x=-\frac{3\pi }{2}.$

Đáp án D

Phương trình  $2\sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)-\sin 2x-3=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $2\sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)-\sin 2x-3=0\iff 2\sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)-2\sin x\cos x-3=0.\left(1\right)$

Đặt  $t=\sin x+\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$ Ta có $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$

 $\Rightarrow \left(1\right)\iff 2\sqrt{2}t-\left(t^2-1\right)-3=0\iff t^2-2\sqrt{2}t+2=0\iff t=\sqrt{2}.$

Với $t=\sqrt{2},$ ta có $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Do $x\in \left[\pi ;5\pi \right]$ nên   $x=\frac{9\pi }{4};x=\frac{17\pi }{4}.$

Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn đề bài.

Đáp án C

Ta có $\sqrt{3}\sin x=2\iff \sin x=\frac{2}{\sqrt{3}}>1\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

Ta có $\frac{1}{4}\cos 4x=\frac{1}{2}\iff \cos 4x=2>1\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

Đáp án D

Phương trình  $\sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)+m-2=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $\sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)+m-2=0\iff m=-\sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)+2.$

Có $-\sqrt{2}\le \sin x+\cos x\le \sqrt{2}\iff -2\le \sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)\le 2$

$\iff -2\le -\sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)\le 2\iff 0\le -\sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)+2\le 4\iff 0\le m\le 4.$

Đáp án B

Phương trình $3\left(\sin x+\cos x\right)+\frac{1}{2}\sin 2x=-3$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $3\left(\sin x+\cos x\right)+\frac{1}{2}\sin 2x=-3\iff 3\left(\sin x+\cos x\right)+\sin x\cos x+3=0.\left(1\right)$

Đặt $t=\sin x+\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$

Ta có $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}\Rightarrow \left(1\right)\iff 3t+\frac{t^2-1}{2}+3=0\iff t^2+6t+5=0\iff \left[\begin{array}{l}t=-1\\ t=-5\end{array}\right..$

Do $\left|t\right|\le \sqrt{2}$  nên $t=-1.$

Với $t=-\mathrm{1,}$ ta có $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-1\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{-\pi }{4}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{-\pi }{4}+k2\pi \iff x=\pi +k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

Đáp án A

Phương trình $2\left(\sin x+\cos x\right)+\sin 2x+1=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có  $2\left(\sin x+\cos x\right)+\sin 2x+1=0\iff 2\left(\sin x+\cos x\right)+2\sin x\cos x+1=0.\left(1\right)$

Đặt   $t=\sin x+\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$

Ta có $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}\Rightarrow \left(1\right)\iff 2t+t^2-1+1=0\iff t^2+2t=0\iff \left[\begin{array}{l}t=0\\ t=-2\end{array}\right..$

Do $\left|t\right|\le \sqrt{2}$ nên $t=0.$

Với $t=\mathrm{0,}$  ta có $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0$

$\iff x+\frac{\pi }{4}=k\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Do $x\in \left(0;\pi \right)$ nên $x=\frac{3\pi }{4}.$

Đáp án B

Phương trình ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x+1=\frac{3}{2}\sin 2x$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x+1=\frac{3}{2}\sin 2x\iff \left(\sin x+\cos x\right)\left({\sin }^{2}x+\sin x\cos x+{\cos }^{2}x\right)+1=3\sin x\cos x$

$\iff \left(\sin x+\cos x\right)\left(1+\sin x\cos x\right)+1=3\sin x\cos x.\left(1\right)$

Đặt $t=\sin x+\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$

Ta có $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}\Rightarrow \left(1\right)\iff t\left(1+\frac{t^2-1}{2}\right)+1=3\frac{t^2-1}{2}\iff t^3-3t^2+t+5=0\iff t=-1.$

Với $t=-\mathrm{1,}$ ta có $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-1\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Đáp án C

Phương trình $\sin x\cos x-\sin x-\cos x+m=0\left(1\right)$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Đặt $t=\sin x+\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$

Ta có $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}\Rightarrow \left(1\right)\iff \frac{t^2-1}{2}-t+m=0\iff -2m=t^2-2t-1\iff {\left(t-1\right)}^2=-2m+2.$

Do   $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\Rightarrow -\sqrt{2}-1\le t-1\le \sqrt{2}-1\Rightarrow 0\le {\left(t-1\right)}^2\le 3+2\sqrt{2}.$

Để phương trình có nghiệm thì   $0\le -2m+2\le 3+2\sqrt{2}\iff -\frac{1+2\sqrt{2}}{2}\le m\le 1.$

Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{-1;0;1\right\}.$

Đáp án B

Phương trình $m\left(\sin x+\cos x\right)+\sin 2x=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $m\left(\sin x+\cos x\right)+\sin 2x=0\iff m\left(\sin x+\cos x\right)+2\sin x\cos x=0$  . (1)

Đặt $t=\sin x+\cos x\left(-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\right).$

Ta có $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}\Rightarrow \left(1\right)\iff t^2+mt-1=0.$

 $\Delta =m^2+4>0\Rightarrow$ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt   $t_1;t_2.$

Theo Vi-ét ta có $t_1.t_2=-1.$  

Suy ra luôn có ít nhất một nghiệm thỏa mãn $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$.

Vậy phương trình luôn có nghiệm.