22 câu Dạng 3: Tính giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Ta có y=sin6x+cos6x=1−34sin22x.

Do 0≤sin22x≤1 nên −34.0≥−34sin22x≥−34

1≥1−34sin22x≥1−34⇔1≥y≥14.

Vậy  miny=14 khi sin22x=1⇔cos2x=0⇔x=π4+kπ2,k∈ℤ.

maxy=1 khi sin22x=0⇔sin2x=0⇔x=kπ2,k∈ℤ.

Ta có y=tan2x−tanx+2020=tanx−122+80794.

Hàm số tanx đồng biến và xác định trên khoảng −π2;π2

Mà −π4;π4⊂−π2;π2 nên hàm số đồng biến và xác định trên −π4;π4 .

Do đó tan−π4≤tanx≤tanπ4⇔−1≤tanx≤1

⇒−1−12≤tanx−12≤1−12⇔−32≤tanx−12≤12⇒0≤tanx−122≤94.

⇔80794≤tanx−122+80794≤94+80794⇔80794≤y≤2022

Vậy miny=80794khi tanx=12⇔x=arctan12;

Đáp án C

Hàm số y=7−2cosx+π4 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Ta có −1≤cosx+π4≤1⇔−2≤2cosx+π4≤2⇔5≤7−2cosx+π4≤9.

Vậy miny=5⇔cosx+π4=1⇔x+π4=k2π⇔x=−π4+k2π,k∈ℤ;

maxy=9⇔cosx+π4=−1⇔x+π4=−π+k2π⇔x=−5π4+k2π,k∈ℤ

.

Đáp án D

Hàm số y=4sinx+3−1 có nghĩa ⇔sinx+3≥0⇔sinx≥−3⇔∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Ta có −1≤sinx≤1⇔2≤sinx+3≤4⇔2≤sinx+3≤2

⇔42≤4sinx+3≤8⇔42−1≤4sinx+3−1≤7.

Vậy miny=42−1⇔sinx=−1⇔x=−π2+k2π,k∈ℤ;

maxy=7⇔sinx=1⇔x=π2+k2π,k∈ℤ.

Đáp án B

Hàm số y=sin2x−4sinx−5 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ

Ta có y=sin2x−4sinx−5=sinx−22−9.

 −1≤sinx≤1⇔−3≤sinx−2≤−1⇔1≤sinx−22≤9⇔−8≤sinx−22−9≤0.

Vậy miny=−8⇔sinx−2=−1⇔sinx=1⇔x=π2+k2π,k∈ℤ.

Đáp án A

Hàm số y=2sinx+3 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Ta có −1≤sinx≤1⇔−2≤2sinx≤2⇔1≤2sinx+3≤5⇔1≤2sinx+3≤5.

Vậy miny=1⇔sinx=−1⇔x=−π2+k2π,k∈ℤ;

maxy=5⇔sinx=1⇔x=π2+k2π,k∈ℤ.

Đáp án A

Hàm số  y=41+2sin2x có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Ta có −1≤sinx≤1⇔0≤sin2x≤1⇔0≤2sin2x≤2⇔1≤1+2sin2x≤3

 ⇔13≤11+2sin2x≤1⇔43≤41+2sin2x≤4.

Vậy miny=43⇔sinx=−1⇔x=−π2+k2π,k∈ℤsinx=1⇔x=π2+k2π,k∈ℤ⇔x=π2+kπ,k∈ℤ;

maxy=4⇔sinx=0⇔x=kπ,k∈ℤ.

Đáp án D

Hàm số y=2sin2x+cos22x có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Ta có y=2sin2x+cos22x=1−cos2x+cos22x=cos2x−122+34.

−1≤cos2x≤1⇔−32≤cos2x−12≤12⇔0≤cos2x−122≤94⇔34≤cos2x−122+34≤3 .

Vậy miny=34⇔cos2x=12⇔x=±π6+kπ,k∈ℤ;

maxy=3⇔cos2x=0⇔x=π4+kπ2,k∈ℤ.

Đáp án C

Hàm số y=3sinx+4cosx+1 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Ta có y=3sinx+4cosx+1=535sinx+45cosx+1=5sinx+α+1 với α=arccos35+k2π.

−5≤5sinx+α≤5⇔−4≤5sinx+α+1≤6 .

Vậy miny=−4⇔sinx+α=−1⇔x+α=−π2+k2π⇔x=−α−π2+k2π,k∈ℤ;

maxy=6⇔sinx+α=1⇔x+α=π2+k2π⇔x=−α+π2+k2π,k∈ℤ.

Đáp án A

Hàm số y=4sin6x+3cos6x có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Ta có y=4sin6x+3cos6x=545sin6x+35cos6x=5sin6x+α với α=arccos45+k2π.

  −1≤sin6x+α≤1⇔−5≤5sin6x+α≤5.

Vậy miny=−5⇔sin6x+α=−1⇔6x+α=−π2+k2π⇔x=−2α−π12+kπ3,k∈ℤ maxy=5⇔sin6x+α=1⇔6x+α=π2+k2π⇔x=−α6+π12+kπ3,k∈ℤ;

.

Đáp án B

Hàm số y=sin2x có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ

Khi x∈−π6;π3 thì  −32≤sin2x≤32.

Vậy miny=−32⇔x=−π6;maxy=32⇔x=π3 .

Đáp án D

Hàm số y=3tanx có nghĩa ⇔cosx≠0⇔x≠π2+kπ⇔D=ℝ\π2+kπ.

Khi x∈−π3;π4 thì hàm số y=tanx luôn đồng biến.

Suy ra −3≤tanx≤1⇔−1≤3tanx≤3.

Vậy miny=−1⇔x=−π3;maxy=32⇔x=π4 .

Đáp án D

Hàm số y=fx=4−3cosx có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ .

Khi x∈0;2π3 thì  −12≤cosx≤1⇔−32≤3cosx≤3⇔−3≤−3cosx≤32⇔1≤4−3cosx≤112.

Vậy miny=1⇔x=0;maxy=112⇔x=2π3.

Đáp án D

Hàm số y=fx=sin2x+π4  có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Khi  x∈−π4;π4 thì −22≤sin2x+π4≤22.

Vậy miny=−22⇔x=−π4;maxy=22⇔x=π4.

Đáp án C

Hàm số y=sinx+2−sin2x có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ .

Ta có −1≤sinx≤1⇔0≤sin2x≤1⇔−1≤−sin2x≤0⇔1≤2−sin2x≤2⇔1≤2−sin2x≤2 .

Lại có −1≤sinx≤1⇒0≤sinx+2−sin2x≤1+2⇔0≤y≤1+2.

y=0⇔sinx=−1⇔x=−π2+k2π.

Vậy miny=0⇔x=−π2+k2π.

 y=1+2⇔sinx=1sinx=0 (vô nghiệm).

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

2sinx2−sin2x≤sin2x+2−sin2x⇔2sinx2−sin2x≤2.

⇔2+2sinx2−sin2x≤4⇔y2≤4⇔y≤2

Dấu “=” khi và chỉ khi sinx=2−sin2x⇔sinx=1⇔x=π2+k2π,k∈ℤ.

Vậy miny=0⇔x=−π2+k2π,k∈ℤ;maxy=2⇔x=π2+k2π,k∈ℤ .

Đáp án A

Hàm số y=cosx−2sinx2−sinx có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Ta có y=cosx−2sinx2−sinx⇒2y−ysinx=cosx−2sinx

⇔2y=ysinx−2sinx+cosx⇔2y=y−2sinx+cosx⇒4y2=y−2sinx+cosx2

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

y−22+12≥4y2⇔3y2+4y−5≤0⇔−2−193≤y≤−2+193.

Vậy miny=−2−193;maxy=−2+193.

Đáp án B

Hàm số 3sinx−4cosx2−6sinx+8cosx≥2m−1 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Ta có 3sinx−4cosx2−23sinx−4cosx+1≥2m⇔3sinx−4cosx−12≥2m

Để phương trình có nghiệm đúng với mọi x∈ℝ  thì 2m≤0⇔m≤0.      

Đáp án A

Hàm số y=tan2x+cot2x+3tanx+cotx−1 có nghĩa ⇔cosx≠0⇔x≠π2+kπsinx≠0⇔x≠kπ⇔x≠kπ2

Ta có y=tan2x+cot2x+3tanx+cotx−1

   =tan2x+2tanxcotx+cot2x+3tanx+cotx−3=tanx+cotx2+3tanx+cotx−3        

Đặt tanx+cotx=t=2sin2x⇒t≥2

Ta có y=t2+3t−3. Cho y=0⇔t1=−3−212t2=−3+212

Vậy miny=−5⇔t=2sin2x=−2⇔sin2x=−1⇔2x=−π2+k2π⇔x=−π4+kπ;maxy=∅

Đáp án B

Hàm số y=cos4x+sin4x có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Ta có y=cos4x+sin4x=1−sin2x2+sin4x=1−2sin2x+sin4x+sin4x=2sin4x−2sin2x+1 .

y=2sin2x2−2sin2x+1=2sin2x2−sin2x+12=2sin2x−122+12.

−1≤sinx≤1⇔0≤sin2x≤1⇔−12≤sin2x−12≤12⇔0≤sin2x−122≤14⇔0≤2sin2x−122≤12.

⇔12≤2sin2x−122+12≤1⇔12≤y≤1

Vậy miny=12⇔sin2x=12⇔sinx=22⇔x=π4+k2πsinx=−22⇔x=−π4+k2πk∈ℤ;

maxy=1⇔sinx=0⇔x=kπk∈ℤ

.

Đáp án D

Ta có    sin2x+4cos2x+1=sin2x+41+cos2x2+1=sin2x+2cos2x+3>0 ∀x∈ℝ⇔D=ℝ

3sin2x+cos2xsin2x+2cos2x+3≤m+1⇔3−ysin2x+1−2ycos2x=3y

⇔9y2=3−ysin2x+1−2ycos2x2

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

3−y2+1−2y2≥9y2⇔2y2+5y−5≤0⇔−5−354≤y≤−5+354.

Vậy maxy=−5+354⇒−5+354≤m+1⇔m≥35−94.

Đáp án D

Hàm số y=cos2x+sinx.cosx1+sin2x có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

y=cos2x+sinx.cosx1+sin2x=1+cos2x2+sin2x21+sin2x=1+cos2x+sin2x2+2sin2x=1+cos2x+sin2x3−cos2x

Có y=1+cos2x+sin2x3−cos2x⇔3y−ycos2x=1+cos2x+sin2x⇔1+ycos2x+sin2x=3y−1

⇔3y−12=1+ycos2x+sin2x2

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

1+y2+1≥3y−12⇔1+2y+y2+1≥9y2−6y+1⇔8y2−8y−1≤0⇔2−64≤y≤2+64.

Vậy miny=2−64;maxy=2+64.

Đáp án B

Theo bài ra cos2x+cos2y+cos2z=1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

1+cos2x+1+cos2y+1+cos2z≤12+12+12.1+cos2x+1+cos2y+1+cos2z

.Vậy maxy=23.