10 câu Dạng 2: Phương trình cosx=b

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{24}+k\pi \\ x=\frac{-5\pi }{24}+k\pi \end{array}\right.$.

Vậy nghiệm của phương trình là $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{42}+\frac{k2\pi }{7}\\ x=\frac{5\pi }{18}-\frac{2k\pi }{3}\end{array}\right.$.

Phương trình $\cos \left(x+\pi \right)=\frac{m+2}{m-1}$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$ , $m\ne 1$.

Ta có $-1\le \cos \left(x+\pi \right)\le 1\iff \left\{\begin{array}{l}-1\le \frac{m+2}{m-1}\\ \frac{m+2}{m-1}\le 1\end{array}\right.$.

Giải (1). Ta có $-1\le \frac{m+2}{m-1}\iff \frac{2m+1}{m-1}\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}m>1\\ m\le \frac{-1}{2}\end{array}\right.$.

Giải (2). Ta có $\frac{m+2}{m-1}\le 1\iff \frac{3}{m-1}\le 0\iff m-1<0\iff m<1$ .

Kết hợp nghiệm ta có $m\le -\frac{1}{2}$.

Vậy với $m\le -\frac{1}{2}$  thì phương trình đã cho có nghiệm.

Phương trình $2\cos x+\sqrt{2}=0$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$ .

Ta có $2\cos x+\sqrt{2}=0\iff \cos x=\frac{-\sqrt{2}}{2}$ .

Do $\cos \frac{3\pi }{4}=\frac{-\sqrt{2}}{2}$   nên $\cos x=\frac{-\sqrt{2}}{2}\iff \cos x=\cos \frac{3\pi }{4}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{-3\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.$$\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Đáp án D

Phương trình $2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$ .

Ta có $2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0\iff \cos \frac{x}{2}=\frac{-\sqrt{3}}{2}$ .

Do  $\cos \frac{5\pi }{6}=\frac{-\sqrt{3}}{2}$ nên $\cos \frac{x}{2}=\frac{-\sqrt{3}}{2}\iff \cos \frac{x}{2}=\cos \frac{5\pi }{6}\iff x=\pm \frac{5\pi }{3}+k4\pi$ , $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Đáp án B

Phương trình $\cos 3x=\cos 12°$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$ .

 Do $\cos 12°=\cos \frac{\pi }{15}$  nên $\cos 3x=\cos 12°\iff \cos 3x=\cos \frac{\pi }{15}$

$\iff \left[\begin{array}{l}3x=\frac{\pi }{15}+k2\pi \\ 3x=\frac{-\pi }{15}+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{45}+\frac{k2\pi }{3}\\ x=\frac{-\pi }{45}+\frac{k2\pi }{3}\end{array}\right.$$\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Phương trình ${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$ .

Ta có ${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{l}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \cos x=\frac{-\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.$ .

Xét $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \cos x=\cos \frac{\pi }{4}\iff x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$ $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Xét $\cos x=\frac{-\sqrt{2}}{2}\iff \cos x=\cos \frac{3\pi }{4}\iff x=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi$ $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Kết hợp nghiệm ta được $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

.

Đáp án A

Phương trình $\cos 2x=\cos x$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$ .

Ta có $\cos 2x=\cos x\iff \left[\begin{array}{l}2x=x+k2\pi \iff x=k2\pi \\ 2x=-x+k2\pi \iff x=\frac{k2\pi }{3}\end{array}\right.\iff x=\frac{k2\pi }{3}$ .

$\sin \frac{3x}{2}=0\iff \frac{3x}{2}=k\pi \iff x=\frac{2k\pi }{3}$;

$\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$;

$\sin 4x=1\iff 4x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$;

$\sin 2x=1\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$.

Vậy phương trình $\sin \frac{3x}{2}=0$  có cùng tập nghiệm với phương trình $\cos 2x=\cos x$ .

Phương trình $\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=1$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$ .

Ta có $\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=1\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\iff x+\frac{\pi }{3}=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi \iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi \\ x=-\frac{7\pi }{12}+k2\pi \end{array}\right.$ .

Do $0\le x\le 2\pi$  nên $x=\frac{23\pi }{12}$ ; $x=\frac{17\pi }{12}$ .

Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn $0\le x\le 2\pi$ .