20 câu Dạng 3: Phương trình lượng giác đẳng cấp

Đáp án D

Phương trình ${\cos }^{2}x-3\sin x\cos x-2{\sin }^{2}x=1$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Với $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với $\cos x\ne 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos }^{2}x$ ta được ${\cos }^{2}x-3\sin x\cos x-2{\sin }^{2}x=1\iff 1-3\tan x-2{\tan }^{2}x=1+{\tan }^{2}x$

$\iff {\tan }^{2}x+\tan x=0\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=-1\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ \tan x=0\iff x=k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Đáp án A

Phương trình $\sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}$ có nghĩa khi $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Chia cả 2 vế của phương trình cho $\cos x$ ta được

$\sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}\iff \sqrt{3}\tan x+1=1+{\tan }^{2}x$

$\iff {\tan }^{2}x-\sqrt{3}\tan x=0\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=\sqrt{3}\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi \\ \tan x=0\iff x=k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Đáp án D

Phương trình $3co{s}^{2}4x+5{\sin }^{2}4x=2-2\sqrt{3}\sin 4x.\cos 4x$ có nghĩa

Với $\cos 4x=0\iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với  $\cos 4x\ne 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos }^{2}4x$ ta được

$3co{s}^{2}4x+5{\sin }^{2}4x=2-2\sqrt{3}\sin 4x.\cos 4x\iff 3+5{\tan }^{2}4x=2\left(1+{\tan }^{2}4x\right)-2\sqrt{3}\tan 4x$

$\iff 3{\tan }^{2}4x+2\sqrt{3}\tan 4x+1=0\iff \tan 4x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\iff 4x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \iff x=-\frac{\pi }{24}+k\frac{\pi }{4}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Đáp án B

Phương trình ${\sin }^{2}x+\frac{1-\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0$ có nghĩa  $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có ${\sin }^{2}x+\frac{1-\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0\iff {\sin }^{2}x+\left(1-\sqrt{3}\right)\sin x\cos x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0.$

Với $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với  $\cos x\ne 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho  ta được

${\sin }^{2}x+\left(1-\sqrt{3}\right)\sin x\cos x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0\iff {\tan }^{2}x+\left(1-\sqrt{3}\right)\tan x-\sqrt{3}=0\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=-1\\ \tan x=\sqrt{3}\end{array}\right..$

Vậy giá trị nguyên của $\tan x$ là   $-1.$

Đáp án C

Phương trình $2{\sin }^{2}x-\sin 2x+{\cos }^{2}x=1$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $2{\sin }^{2}x-\sin 2x+{\cos }^{2}x=1\iff 2{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1.$

Với $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với $\cos x\ne 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos }^{2}x$ ta được

$2{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1\iff 2{\tan }^{2}x-2\tan x+1=1+{\tan }^{2}x$

$\iff {\tan }^{2}x-2\tan x=0\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=0\iff x=k\pi \\ \tan x=2\iff x=\arctan 2+k\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

Đáp án C

Phương trình $-{\sin }^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+1=2$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Với $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với $\cos x\ne 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos }^{2}x$ ta được

$-{\sin }^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+1=2\iff -{\tan }^{2}x+2\sqrt{3}\tan x=1+{\tan }^{2}x$

$\iff 2{\tan }^{2}x-2\sqrt{3}\tan x+1=0\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\iff x=\arctan \frac{1+\sqrt{3}}{2}+k\pi \\ \tan x=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\iff x=\arctan \frac{-1-\sqrt{3}}{2}+k\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

Đáp án D

Phương trình ${\sin }^{3}x-\sqrt{3}{\cos }^{3}x=\sin x.{\cos }^{2}x-\sqrt{3}{\sin }^{2}x.\cos x$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Với $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với $\cos x\ne 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos }^{3}x$ ta được

${\sin }^{3}x-\sqrt{3}{\cos }^{3}x=\sin x.{\cos }^{2}x-\sqrt{3}{\sin }^{2}x.\cos x\iff {\tan }^{3}x-\sqrt{3}=\tan x-\sqrt{3}{\tan }^{2}x$

$\iff {\tan }^{3}x+\sqrt{3}{\tan }^{2}x-\tan x-\sqrt{3}=0\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=1\\ \tan x=-1\\ \tan x=-\sqrt{3}\end{array}\right..$

Đáp án B

Phương trình $2{\sin }^{2}x-5\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=-2$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $2{\sin }^{2}x-5\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=-2\iff 4{\sin }^{2}x-5.2\sin x\cos x-2{\cos }^{2}x=-4$

$\iff 5\sin 2x+2{\cos }^{2}x-4{\sin }^{2}x-4=0\iff 5\sin 2x+3\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)-\left({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\right)-4=0$

$\iff 5\sin 2x+3cos2x=5.$

Đáp án A

Phương trình ${\sin }^2\frac{x}{2}-\sin x+3{\cos }^2\frac{x}{2}=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có ${\sin }^2\frac{x}{2}-\sin x+3{\cos }^2\frac{x}{2}=0\iff \frac{1-\cos x}{2}-\sin x+\frac{3\left(1+\cos x\right)}{3}=0\iff \sin x-\cos x-2=0$

$\iff \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=\frac{2}{\sqrt{2}}\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}.$

Có $\sqrt{2}>1\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Đáp án C

Phương trình $\left(4-6m\right){\sin }^{3}x+3\left(2m-1\right)\sin x+2\left(m-2\right){\sin }^{2}x.\cos x-\left(4m-3\right)\cos x=0\left(1\right)$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Với $m=2\Rightarrow \left(1\right)\iff -8{\sin }^{3}x+9\sin x-5\cos x=0.$

Với $\cos x=0\Rightarrow -8{\sin }^{3}x+9\sin x-5\cos x=0\iff -8{\sin }^{3}x+9\sin x=0\iff \left[\begin{array}{l}\sin x=\frac{3\sqrt{2}}{4}\\ \sin x=-\frac{3\sqrt{2}}{4}\end{array}\right.$(loại).

Với $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với $\cos x\ne 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos }^{3}x$ ta có

$-8{\sin }^{3}x+9\sin x-5\cos x=0\iff -8{\tan }^{3}x+9\tan x\left(1+{\tan }^{2}x\right)-5\left(1+{\tan }^{2}x\right)=0$

${\tan }^{3}x-5{\tan }^{2}x+9\tan x-5=0\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.

Đáp án A

Phương trình $2{\sin }^{2}x+\sin 2x+1=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $2{\sin }^{2}x+\sin 2x+1=0\iff 2{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+1=0$

Với $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với $\cos x\ne 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos }^{2}x$ ta có

 $2{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+1=0\iff 2{\tan }^{2}x+2\tan x+1+{\tan }^{2}x=0\iff 3{\tan }^{2}x+2\tan x+1=0$(vô nghiệm).

Đáp án C

Phương trình ${\sin }^{2}2x+\sqrt{3}\sin 4x+3{\cos }^{2}2x=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có ${\sin }^{2}2x+\sqrt{3}\sin 4x+3{\cos }^{2}2x=0\iff {\sin }^{2}2x+2\sqrt{3}\sin 2xcos2x+3{\cos }^{2}2x=0.$

Với $\cos 2x=0\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với $\cos 2x\ne 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos }^{2}2x$ ta có

${\sin }^{2}2x+2\sqrt{3}\sin 2xcos2x+3{\cos }^{2}2x=0\iff {\tan }^{2}2x+2\sqrt{3}\tan 2x+3=0$

$\iff \tan 2x=-\sqrt{3}\iff x=-\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}.$

Đáp án A

Phương trình ${\sin }^{2}4x+3{\cos }^{2}4x=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Với $\cos 4x=0\iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với $\cos 4x\ne 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos }^{2}4x$ ta có

${\sin }^{2}4x+3{\cos }^{2}4x=0\iff {\tan }^{2}4x+3=0$(Vô lí).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Đáp án B

Phương trình $\sin 2x+2\tan x=3$ có nghĩa $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Ta có $\sin 2x+2\tan x=3\iff 2\sin x\cos x+2\tan x=3.$

Với $\cos x\ne 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos }^{2}x$ ta có

$2\sin x\cos x+2\tan x=3\iff 2\tan x+2\tan x\left({\tan }^{2}x+1\right)=3\left({\tan }^{2}x+1\right)$

$\iff 2{\tan }^{3}x-3{\tan }^{2}x+4\tan x-3=0\iff \left(\tan x-1\right)\left(2{\tan }^{2}x-\tan x+3\right)=0.$

Đáp án D

Phương trình $3{\sin }^2\frac{x}{2}+\sqrt{3}\sin x+{\cos }^2\frac{x}{2}=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $3{\sin }^2\frac{x}{2}+\sqrt{3}\sin x+{\cos }^2\frac{x}{2}=0\iff 3\frac{1-\cos x}{2}+\sqrt{3}\sin x+\frac{1+\cos x}{2}=0$

$\iff 2\sqrt{3}\sin x-2\cos x+4=0\iff \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac{1}{2}\cos x=-1\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=-1$

$\iff x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Vì $x\in \left(0;2\pi \right)$ nên $x=\frac{5\pi }{3}$  với $k=1.$

Phương trình có 1 nghiệm thỏa mãn đề bài.

Đáp án C

Phương trình $2\sqrt{3}{\cos }^{2}x-\sin 2x=0$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có   $2\sqrt{3}{\cos }^{2}x-\sin 2x=0\iff \sqrt{3}\left(1+cos2x\right)-\sin 2x=0\iff \sin 2x-\sqrt{3}cos2x-\sqrt{3}=0$

$\iff \frac{1}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}\iff \left[\begin{array}{l}2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi \\ 2x-\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.

Đáp án B

Phương trình ${\sin }^3\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\sin x$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có ${\sin }^3\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\sin x\iff {\left(\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{2}}\right)}^3=\sqrt{2}\sin x$

$\iff {\sin }^{3}x-3{\sin }^{2}x\cos x+3\sin x{\cos }^{2}x-{\cos }^{3}x=4\sin x.$ (1)

Với $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ .

$\left(1\right)\iff {\sin }^{3}x-4\sin x=0\iff \left[\begin{array}{l}\sin x=\pm 2\\ \sin x=0\iff x=k\pi \end{array}\right.$(loại).

Với $\cos x\ne 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos }^{3}x$ ta có

$\left(1\right)\iff {\tan }^{3}x-3{\tan }^{2}x+3\tan x-1=4\tan x\left(1+{\tan }^{2}x\right)$

$\iff 3{\tan }^{3}x+3{\tan }^{2}x+\tan x+1=0\iff \tan x=-1.$

Vậy $\left(2{\tan }^{2}x-\tan x+3\right)\tan x=-6.$

Đáp án C

Phương trình $\frac{1-\tan x}{1+\tan x}=1+\sin 2x$ có nghĩa $\iff \left\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \tan x=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne -\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Ta có $\frac{1-\tan x}{1+\tan x}=1+\sin 2x\iff \frac{1-\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x$

$\iff \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}={\left(\cos x+\sin x\right)}^2\iff \cos x-\sin x={\left(\cos x+\sin x\right)}^3.\left(3\right)$

Chia cả hai vế của phương trình (3) cho ${\cos }^{3}x\ne 0$ ta được

$1+{\tan }^{2}x-\left(1+{\tan }^{2}x\right)\tan x={\left(1+\tan x\right)}^3$

$\iff {\tan }^{3}x+{\tan }^{2}x+2\tan x=0\iff \left({\tan }^{2}x+\tan x+2\right)\tan x=0.\left(*\right)$

Do ${\tan }^{2}x+\tan x+2=0$ vô nghiệm nên $\left(*\right)\iff \tan x=0\iff x=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.

Đáp án A

Phương trình ${\sin }^{2}x+\left(2m-2\right)\sin x.\cos x-\left(m+1\right){\cos }^{2}x-m=0\left(1\right)$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Với $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Ta có $\left(1\right)\iff 1-m=0.$ Để phương trình có nghiệm thì $m=1.$

Với $\cos x\ne 0.$ Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos }^{2}x$ ta có

$\left(1\right)\iff {\tan }^{2}x+\left(2m-2\right)\tan x-\left(m+1\right)-m\left(1+{\tan }^{2}x\right)=0\iff \left(1-m\right){\tan }^{2}x+2\left(m-1\right)\tan x-\left(2m+1\right)=0.$