20 câu Dạng 3: Phương trình lượng giác đẳng cấp

Đáp án D

Phương trình cos2x−3sinxcosx−2sin2x=1 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Với cosx=0⇔x=π2+kπ,k∈ℤ⇒ phương trình vô nghiệm.

Với cosx≠0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được cos2x−3sinxcosx−2sin2x=1⇔1−3tanx−2tan2x=1+tan2x

⇔tan2x+tanx=0⇔tanx=−1⇔x=−π4+kπtanx=0⇔x=kπk∈ℤ.

Đáp án A

Phương trình 3sinx+cosx=1cosx có nghĩa khi cosx≠0⇔x≠π2+kπ,k∈ℤ.

Chia cả 2 vế của phương trình cho cosx ta được

3sinx+cosx=1cosx⇔3tanx+1=1+tan2x

⇔tan2x−3tanx=0⇔tanx=3⇔x=π3+kπtanx=0⇔x=kπk∈ℤ.

Đáp án D

Phương trình 3cos24x+5sin24x=2−23sin4x.cos4x có nghĩa

Với cos4x=0⇔x=π8+kπ4,k∈ℤ⇒ phương trình vô nghiệm.

Với  cos4x≠0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos24x ta được

3cos24x+5sin24x=2−23sin4x.cos4x⇔3+5tan24x=21+tan24x−23tan4x

⇔3tan24x+23tan4x+1=0⇔tan4x=−33⇔4x=−π6+kπ⇔x=−π24+kπ4k∈ℤ.

Đáp án B

Phương trình sin2x+1−32sin2x−3cos2x=0 có nghĩa  ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Ta có sin2x+1−32sin2x−3cos2x=0⇔sin2x+1−3sinxcosx−3cos2x=0.

Với cosx=0⇔x=π2+kπ,k∈ℤ⇒ phương trình vô nghiệm.

Với  cosx≠0. Chia cả hai vế của phương trình cho  ta được

sin2x+1−3sinxcosx−3cos2x=0⇔tan2x+1−3tanx−3=0⇔tanx=−1tanx=3.

Vậy giá trị nguyên của tanx là   −1.

Đáp án C

Phương trình 2sin2x−sin2x+cos2x=1 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Ta có 2sin2x−sin2x+cos2x=1⇔2sin2x−2sinxcosx+cos2x=1.

Với cosx=0⇔x=π2+kπ,k∈ℤ⇒ phương trình vô nghiệm.

Với cosx≠0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được

2sin2x−2sinxcosx+cos2x=1⇔2tan2x−2tanx+1=1+tan2x

⇔tan2x−2tanx=0⇔tanx=0⇔x=kπtanx=2⇔x=arctan2+kπ,k∈ℤ.

Đáp án C

Phương trình −sin2x+23sinxcosx+1=2 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Với cosx=0⇔x=π2+kπ,k∈ℤ⇒ phương trình vô nghiệm.

Với cosx≠0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được

−sin2x+23sinxcosx+1=2⇔−tan2x+23tanx=1+tan2x

⇔2tan2x−23tanx+1=0⇔tanx=1+32⇔x=arctan1+32+kπtanx=−1−32⇔x=arctan−1−32+kπ,k∈ℤ.

Đáp án D

Phương trình sin3x−3cos3x=sinx.cos2x−3sin2x.cosx có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Với cosx=0⇔x=π2+kπ,k∈ℤ⇒ phương trình vô nghiệm.

Với cosx≠0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos3x ta được

sin3x−3cos3x=sinx.cos2x−3sin2x.cosx⇔tan3x−3=tanx−3tan2x

⇔tan3x+3tan2x−tanx−3=0⇔tanx=1tanx=−1tanx=−3.

 

Đáp án B

Phương trình 2sin2x−5sinxcosx−cos2x=−2 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Ta có 2sin2x−5sinxcosx−cos2x=−2⇔4sin2x−5.2sinxcosx−2cos2x=−4

⇔5sin2x+2cos2x−4sin2x−4=0⇔5sin2x+3cos2x−sin2x−cos2x+sin2x−4=0

⇔5sin2x+3cos2x=5.

Đáp án A

Phương trình sin2x2−sinx+3cos2x2=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Ta có sin2x2−sinx+3cos2x2=0⇔1−cosx2−sinx+31+cosx3=0⇔sinx−cosx−2=0

⇔12sinx−12cosx=22⇔sinx−π4=2.

Có 2>1⇒ phương trình vô nghiệm.

Đáp án C

Phương trình 4−6msin3x+32m−1sinx+2m−2sin2x.cosx−4m−3cosx=01 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Với m=2⇒1⇔−8sin3x+9sinx−5cosx=0.

Với cosx=0⇒−8sin3x+9sinx−5cosx=0⇔−8sin3x+9sinx=0⇔sinx=324sinx=−324(loại).

Với cosx=0⇔x=π2+kπ,k∈ℤ⇒ phương trình vô nghiệm.

Với cosx≠0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos3x ta có

−8sin3x+9sinx−5cosx=0⇔−8tan3x+9tanx1+tan2x−51+tan2x=0

tan3x−5tan2x+9tanx−5=0⇔tanx=1⇔x=π4+kπ,k∈ℤ.

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.

Đáp án C

Phương trìnhsin3x−3cos3x=sinx.cos2x−3sin2xcosx có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Với cosx=0⇔x=π2+kπ,k∈ℤ⇒ phương trình vô nghiệm.

Với cosx≠0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos3x ta có

sin3x−3cos3x=sinx.cos2x−3sin2xcosx⇔tan3x−3=tanx−3tan2x

tan3x+3tan2x−tanx−3=0⇔tanx=1⇔x=π4+kπtanx=−1⇔x=−π4+kπtanx=−3⇔x=−π3+kπ,k∈ℤ.

Kết hợp nghiệm ta được   x=π4+kπ2x=−π3+kπk∈ℤ.

Đáp án A

Phương trình 2sin2x+sin2x+1=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Ta có 2sin2x+sin2x+1=0⇔2sin2x+2sinxcosx+1=0

Với cosx=0⇔x=π2+kπ,k∈ℤ⇒ phương trình vô nghiệm.

Với cosx≠0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta có

 2sin2x+2sinxcosx+1=0⇔2tan2x+2tanx+1+tan2x=0⇔3tan2x+2tanx+1=0(vô nghiệm).

Đáp án C

Phương trình sin22x+3sin4x+3cos22x=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Ta có sin22x+3sin4x+3cos22x=0⇔sin22x+23sin2xcos2x+3cos22x=0.

Với cos2x=0⇔x=π4+kπ2,k∈ℤ⇒ phương trình vô nghiệm.

Với cos2x≠0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos22x ta có

sin22x+23sin2xcos2x+3cos22x=0⇔tan22x+23tan2x+3=0

⇔tan2x=−3⇔x=−π6+kπ2,k∈ℤ.

Đáp án A

Phương trình sin24x+3cos24x=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Với cos4x=0⇔x=π8+kπ4,k∈ℤ⇒ phương trình vô nghiệm.

Với cos4x≠0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos24x ta có

sin24x+3cos24x=0⇔tan24x+3=0(Vô lí).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Đáp án B

Phương trình sin2x+2tanx=3 có nghĩa cosx≠0⇔x≠π2+kπ,k∈ℤ.

Ta có sin2x+2tanx=3⇔2sinxcosx+2tanx=3.

Với cosx≠0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta có

2sinxcosx+2tanx=3⇔2tanx+2tanxtan2x+1=3tan2x+1

⇔2tan3x−3tan2x+4tanx−3=0⇔tanx−12tan2x−tanx+3=0.

Đáp án D

Phương trình 3sin2x2+3sinx+cos2x2=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Ta có 3sin2x2+3sinx+cos2x2=0⇔31−cosx2+3sinx+1+cosx2=0

⇔23sinx−2cosx+4=0⇔32sinx−12cosx=−1⇔sinx−π6=−1

⇔x−π6=−π2+k2π⇔x=−π3+k2π,k∈ℤ.

Vì x∈0;2π nên x=5π3  với k=1.

Phương trình có 1 nghiệm thỏa mãn đề bài.

Đáp án C

Phương trình 23cos2x−sin2x=0 có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Ta có   23cos2x−sin2x=0⇔31+cos2x−sin2x=0⇔sin2x−3cos2x−3=0

⇔12sin2x−32cos2x=32⇔sin2x−π3=32=sinπ3⇔2x−π3=π3+k2π⇔x=π3+kπ2x−π3=2π3+k2π⇔x=π2+kπ,k∈ℤ.

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.

Đáp án B

Phương trình sin3x−π4=2sinx có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Ta có sin3x−π4=2sinx⇔sinx−cosx23=2sinx

⇔sin3x−3sin2xcosx+3sinxcos2x−cos3x=4sinx. (1)

Với cosx=0⇔x=π2+kπ,k∈ℤ .

1⇔sin3x−4sinx=0⇔sinx=±2sinx=0⇔x=kπ(loại).

Với cosx≠0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos3x ta có

1⇔tan3x−3tan2x+3tanx−1=4tanx1+tan2x

⇔3tan3x+3tan2x+tanx+1=0⇔tanx=−1.

Vậy 2tan2x−tanx+3tanx=−6.

Đáp án C

Phương trình 1−tanx1+tanx=1+sin2x có nghĩa ⇔cosx≠0tanx=−1⇔x≠π2+kπx≠−π4+kπk∈ℤ.

Ta có 1−tanx1+tanx=1+sin2x⇔1−sinxcosx1+sinxcosx=sin2x+2sinxcosx+cos2x

⇔cosx−sinxcosx+sinx=cosx+sinx2⇔cosx−sinx=cosx+sinx3.   3

Chia cả hai vế của phương trình (3) cho cos3x≠0 ta được

1+tan2x−1+tan2xtanx=1+tanx3

⇔tan3x+tan2x+2tanx=0⇔tan2x+tanx+2tanx=0.  *

Do tan2x+tanx+2=0 vô nghiệm nên *⇔tanx=0⇔x=kπk∈ℤ.

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.

Đáp án A

Phương trình sin2x+2m−2sinx.cosx−m+1cos2x−m=01  có nghĩa ∀x∈ℝ⇔D=ℝ.

Với cosx=0⇔x=π2+kπ,k∈ℤ.

Ta có 1⇔1−m=0. Để phương trình có nghiệm thì m=1.

Với cosx≠0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta có

1⇔tan2x+2m−2tanx−m+1−m1+tan2x=0⇔1−mtan2x+2m−1tanx−2m+1=0.

Để phương trình có nghiệm thì m−12−1−m−2m−1≥0⇔−m2−m+2≥0⇔−2≤m≤1.