65 câu Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số có đáp án (Mới nhất)

Chọn C.

A sai. Sửa lại cho đúng là  $\text{'}\text{'}{x}_1<x_2\iff f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)\text{'}\text{'}$.

B sai: Sửa lại cho đúng là $\text{'}\text{'}{x}_1<x_2\iff f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\text{'}\text{'}$.

C sai: Sửa lại cho đúng là $\text{'}\text{'}{x}_1>x_2\iff f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\text{'}\text{'}$.

D đúng (theo định nghĩa). Chọn D.

A sai: Sửa lại cho đúng là $\text{'}\text{'}\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0\text{'}\text{'}$.

B sai: Sửa lại cho đúng là $\text{'}\text{'}{x}_2>x_1\iff f\left(x_2\right)>f\left(x_1\right)\text{'}\text{'}$.

C đúng (theo dáng điệu của đồ thị hàm đồng biến).Chọn C.

D sai (đối nghĩa với đáp án C).

Chọn C. Sửa lại cho đúng là Nếu hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(a;b\right)$  thì  $f\text{'}\left(x\right)\ge 0, \forall x\in \left(a;b\right)\text{'}\text{'}$

A sai: Vì tổng của hàm đồng biến với hàm nghịch biến không kết luận được điều gì.

B sai: Để cho khẳng định đúng thì $g\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(a;b\right)$.

C sai: Hàm số $f\left(x\right)$, $g\left(x\right)$ phải là các hàm dương trên $\left(a;b\right)$  mới thoả mãn.

D đúng. Chọn D.  

Ví dụ hàm số $f\left(x\right)=x$ đồng biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$, trong khi đó hàm số $\frac{1}{f\left(x\right)}=\frac{1}{x}$ nghịch biến trên $\left(-\infty ;0\right)$ và $\left(0;+\infty \right)$. Do đó B sai. Chọn B.

Tổng quát: Hàm số $y=f\left(x\right)$  liên tục và đồng biến trên khoảng $\left(a;b\right)$  thì hàm số $y=f\left(nx\right)$ liên tục và đồng biến trên khoảng $\left(\frac{a}{n};\frac{b}{n}\right)$. Chọn C.

Cách trắc nghiệm nhanh. Ta ốp  $2x\in \left(0;2\right)\stackrel{}{\to }0<2x<2\leftrightarrow 0<x<1.$

Chọn A.

Đạo hàm: $y^{/}=x^2-2x+1={\left(x-1\right)}^2\ge 0,\forall x\in ℝ$ và $y^{/}=0\iff x=1$.

Suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên R. Chọn A. 

Ta có: $y^{/}=3x^2-6x-9.$

Ta có $y^{/}\le 0\iff 3x^2-6x-9\le 0\iff -1\le x\le 3$.

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(-1;3\right)$. Chọn A.

Để hàm số nghịch biến trên toàn trục số thì hệ số của $x^3$ phải âm. Do đó A & D không thỏa mãn.

Xét B: Ta có $y\text{'}=-3x^2+6x-3=-{\left(x-1\right)}^2\le 0,\forall x\in ℝ$ và $y\text{'}=0\iff x=1$.

Suy ra hàm số này luôn nghịch biến trên R.Chọn B.

Ta có $y\text{'}=8x^3>0\iff x>0$.

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$. Chọn B.

Ta có $y\text{'}=8x^3-8x=8x\left(x^2-1\right);y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right.$

Vẽ phác họa bảng biến thiên và kết luận được rằng hàm số

● Đồng biến trên các khoảng $\left(-1;0\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$.

● Nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(0;1\right)$.Chọn B.

Hàm trùng phương không thể nghịch biến trên R. Do đó ta loại C & D.

Để hàm số nghịch biến trên R số thì hệ số của $x^3$  phải âm. Do đó loại A.

Vậy chỉ còn lại đáp án B. Chọn B.

Thật vậy: Với $y=-x^3+x^2-2x-1\stackrel{}{\to }y\text{'}=-3x^2+2x-2$  có  $\left(2;+\infty \right)$.

Tập xác định: $\text{D}=ℝ\backslash \left\{1\right\}$.Đạo hàm: $y^{/}=\frac{-3}{{\left(x-1\right)}^2}<0,\forall x\ne 1.$

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$.Chọn C.

Chú ý: Sai lầm hay gặp là chọn A hoặc B. Lưu ý rằng hàm bậc nhất trên nhất này là đồng biến trên từng khoảng xác định.

Tập xác định: $\text{D}=ℝ\backslash \left\{1\right\}$. Đạo hàm: $y^{/}=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}<0,\forall x\ne 1.$.

Tập xác định: $\text{D}=ℝ\backslash \left\{-2\right\}.$ Đạo hàm $y^{\text{'}}=\frac{5}{{\left(x+2\right)}^2}>0,\forall x\ne -2.$

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-2\right)$ và $\left(-2;+\infty \right)$

Suy ra hàm số đồng biến trên $\left(1;+\infty \right).$  Chọn D.

Bình luận: Hàm số đồng biến trên tất cả các khoảng con của các khoảng đồng biến của hàm số. Cụ thể trong bài toán trên:

= Hàm số đồng biến trên $\left(-2;+\infty \right)$;

= $\left(1;+\infty \right)\subset \left(-2;+\infty \right)$.

Suy ra hàm số đồng biến trên $\left(1;+\infty \right).$

Ta có

      A. $f^{\text{'}}\left(x\right)=x^2\left(x+2\right)$                       B. $\left(0;+\infty \right).$

      C. $\left(-2;+\infty \right).$                                     D. $y^{/}=\frac{4}{{\left(x-2\right)}^2}>0,\forall x\ne 2.$

Chọn B.

Tập xác định $\text{D}=\left[-1;1\right]$. Đạo hàm $y\text{'}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}};y\text{'}=0\iff x=0$.

Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên $\left[0;1\right]$.Chọn C.

Tập xác định $\text{D}=\left[0;2\right]$.Đạo hàm $y\text{'}=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}};y\text{'}=0\iff x=1$

Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(1;2\right)$. Chọn C.

Tập xác định: $\text{D}=\left[1;4\right].$ Đạo hàm $y\text{'}=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{4-x}}$

Xét phương trình $y\text{'}=0\iff \sqrt{x-1}=\sqrt{4-x}\iff \left\{\begin{array}{l}x\in \left(1;4\right)\\ x-1=4-x\end{array}\right.\stackrel{}{\to }x=\frac{5}{2}\in \left(1;4\right)$

Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{5}{2};4\right).$Chọn C.

Chọn B. Vì $y\text{'}=2+2\sin 2x=2\left(\sin 2x+1\right)\ge 0,\forall x\in ℝ$  và $y\text{'}=0\iff \sin 2x=-1$.

Phương trình $\sin 2x=-1$  có vô số nghiệm nhưng các nghiệm tách rời nhau nên hàm số đồng biến trên  R

Xét hàm số $y=\frac{2x-1}{x-1}$. Ta có $y\text{'}=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}<0,\forall x\ne 1$ .

Suy ra hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;1\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$.Chọn C.

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-2\right)$; nghịch biến trên khoảng $\left(-2;+\infty \right)$.

Suy ra II. Sai;   III. Đúng;   IV. Đúng.

Ta thấy khoảng $\left(-\infty ;-3\right)$  chứa khoảng $\left(-\infty ;-5\right)$ nên I Đúng.

Vậy chỉ có II sai. Chọn A.

Vì $\left(0;2\right)\subset \left(-1;2\right)$, mà hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-1;2\right)$  nên suy ra C đúng. Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số

● Đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$ và $\left(-\frac{1}{2};3\right)$.

● Nghịch biến trên khoảng $\left(3;+\infty \right)$. Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét sau

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-3;-2\right)$ và $\left(-2;-1\right)\stackrel{}{\to }$ A sai (sai chỗ dấu $\cup$).

Hàm số có giá trị cực đại $y_{C�}=-2\stackrel{}{\to }$B sai.

Hàm số đồng biến khoảng $\left(-\infty ;-3\right)$ và  $\left(-1;+\infty \right)\stackrel{}{\to }$ C đúng.

Hàm số có điểm cực tiểu là $-1\stackrel{}{\to }$ D sai.

Chọn C.

Dựa vào đồ thị ta có kết quả: Hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$, nghịch biến trên $\left(-1;1\right)$  nên các khẳng định A, B, C đúng.

Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng $\left(a;b\right)$ thì khẳng định D sai.

Ví dụ: Ta lấy $-1,1\in \left(-\infty ;-1\right),1,1\in \left(1;+\infty \right):-1,1<1,1$  nhưng $f\left(-1,1\right)>f\left(1,1\right).$

Chọn D.

Dựa vào đồ thị của hàm số $f\text{'}\left(x\right)$, ta có nhận xét:

$f\text{'}\left(x\right)$ đổi dấu từ "+" sang "-" khi qua điểm x=-1

$f\text{'}\left(x\right)$ đổi dấu từ "-" sang "+" khi qua điểm x=3

Do đó ta có bảng biến thiên

Tập xác định: $\text{D}=ℝ.$

Đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+2x+8-\sin x=\left(3x^2+2x+1\right)+\left(7-\sin x\right)>0,\forall x\in ℝ.$

Suy ra $f\left(x\right)$ đồng biến trên $ℝ$. Do đó $a<b\Rightarrow f\left(a\right)<f\left(b\right)$. Chọn C.

Tập xác định:  $\text{D}=ℝ.$

Đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=4x^3-4x=4x\left(x^2-1\right);f^{/}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right..$

Vẽ bảng biến thiên ta thấy được hàm số nghịch biến trên $\left(0;1\right)$.

Do đó với $u,v\in \left(0;1\right)$ thỏa mãn $u>v\Rightarrow f\left(u\right)<f\left(v\right)$.  Chọn C.

Quan sát các đáp án, ta sẽ xét hai trường hợp là: $a=b=0$  và $a\ne 0.$

Nếu $a=b=0$ thì $y=cx+d$ là hàm bậc nhất => để y đồng biến trên R khi c>0.

Nếu $a\ne 0$, ta có $y\text{'}=3a{x}^2+2bx+c$. Để hàm số đồng biến trên  $ℝ\iff y\text{'}\ge 0,\forall x\in ℝ$$\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta \text{'}\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ b^2-3ac\le 0\end{array}\right.$. Chọn C.

Tập xác định $\text{D}=ℝ$. Đạo hàm $y\text{'}=x^2-2mx+4m-3$.

Để hàm số đồng biến trên $ℝ\iff y\text{'}\ge 0,\forall x\in ℝ$ ( $y\text{'}=0$ có hữu hạn nghiệm)

$\iff \Delta \text{'}=m^2-4m+3\le 0\iff 1\le m\le 3$

Suy ra giá trị lớn nhất của tham số m thỏa mãn ycbt là $m=3.$

 Chọn D.

TXĐ: $\text{D}=ℝ$. Đạo hàm $y\text{'}=-3x^2-2mx+4m+9.$

Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ thì $\iff y\text{'}\le 0,\forall x\in ℝ$ ($y\text{'}=0$ có hữu hạn nghiệm) $\iff \Delta \text{'}\le 0\iff m^2+3\left(4m+9\right)\le 0\iff -9\le m\le -3$

 Chọn C.

Sai lầm hay gặp là Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ thì $\iff y\text{'}<0,\forall x\in ℝ$. Khi đó ra giải ra $-9<m<-3$ và chọn D.

TXĐ: $\text{D}=ℝ$. Đạo hàm: $y\text{'}=m{x}^2-4x+m+3$.

Yêu cầu bài toán $\iff y\text{'}\ge 0,\forall x\in ℝ$ ( $y\text{'}=0$ có hữu hạn nghiệm):

TH1.  $m=0$ thì $y\text{'}=-4x+3\ge 0\iff x\le \frac{3}{4}$ (không thỏa mãn).

TH2.  $\left\{\begin{array}{l}a=m>0\\ \Delta {\text{'}}_{y\text{'}}=-m^2-3m+4\le 0\end{array}\right.\iff m\ge 1.$

Suy ra giá trị m  nhỏ nhất thỏa mãn bài toán là $m=1.$ 

Chọn D.

Ta có $y\text{'}=\left(m+2\right)x^2-2\left(m+2\right)x+m-8$

Yêu cầu bài toán $y\text{'}\le 0,\forall x\in ℝ$ ( $y\text{'}=0$có hữu hạn nghiệm):

TH1 $m+2=0\iff m=-2$, khi đó $y\text{'}=-10\le 0,\forall x\in ℝ$ (thỏa mãn).

TH2  $\left\{\begin{array}{l}a=m+2<0\\ \Delta \text{'}={\left(m+2\right)}^2-\left(m+2\right)\left(m-8\right)\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m+2<0\\ 10\left(m+2\right)\le 0\end{array}\right.\iff m<-2$.

Hợp hai trường hợp ta được $m\le -2.$ 

Chọn C.

Ta có $y^{/}=3x^2-2\left(m+1\right)x-\left(2m^2-3m+2\right).$