5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 81)

TXĐ: D = ℝ

 ⇒ ∀ x ∈ D ⇒ ‒x ∈ D

Ta có:

\[f\left( { - x} \right) = 3m\sin \left( { - 4x} \right) + \cos \left( { - 2x} \right) = - 3m\sin \left( {4x} \right) + \cos \left( {2x} \right)\]

Để hàm số đã cho là hàm số chẵn thì:

f(‒x), = f(x), ∀ x ∈ D

⇔ 3msin4x + cos2x = ‒3m sin4x + cos2x, ∀ x ∈ D

⇔ 6msin4x = 0, ∀ x ∈ D

⇔ m = 0.

\[y = \sin 2x + \sqrt 3 {\cos ^2}x + 1\]

\[ = \sin 2x + \sqrt 3 \left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right) + 1\]

\[ = sin2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x + 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

\[ = \frac{{\sqrt 7 }}{2}\left( {\sin 2x.\frac{{2\sqrt 7 }}{7} + \frac{{\sqrt {21} }}{7}\cos 2x} \right) + 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

\[ = \frac{{\sqrt 7 }}{2}.\sin \left( {2x + a} \right) + 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

Với \[\cos a = \frac{{2\sqrt 7 }}{7}\]; \[\sin a = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\]

\[ \Rightarrow - \frac{{\sqrt 7 }}{2} + 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} \le y \le \frac{{\sqrt 7 }}{2} + 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

 Vậy GTNN của y là \[ - \frac{{\sqrt 7 }}{2} + 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\], khi sin(2x + a) = –1

\( \Leftrightarrow 2x + a = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{a}{2} - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\), với \[\cos a = \frac{{2\sqrt 7 }}{7}\]; \[\sin a = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\]

 Vậy GTLN của y là \[\frac{{\sqrt 7 }}{2} + 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\], khi sin(2x + a) = 1

\( \Leftrightarrow 2x + a = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{a}{2} + \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\), với \[\cos a = \frac{{2\sqrt 7 }}{7}\]; \[\sin a = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\]

1 giờ = 60 phút

⇒ 5 phút = \[\frac{5}{{60}}\] giờ \[ = \frac{1}{{12}}\]giờ

\[A \cup B \cup C = \left[ {1;6} \right)\].

Ta có: \[A \cup B = \left\{ {0;1;2;3;4;6} \right\}\] và \[B \cup C = \left\{ {0;3;4;5;6} \right\}\].

Do đó (A ∪ B) ∖ (B ∪ C) = {1}.

Ta có: A = x² + 5x + 9

\[ = {x^2} + 2.\frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4} - \frac{{25}}{4} + 9\]

\[ = {\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4}\]

Vì \[{\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^2} \ge 0\] với mọi x

\[ \Rightarrow {\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} \ge \frac{{11}}{4}\] với mọi x

Vậy A luôn lớn hơn 0 với mọi x.

A\B = (‒1; 5] \ (2; 7] = (‒1; 2].

Đặt A = 5²ⁿ⁻¹.2ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹.2²ⁿ⁻¹

Với n = 1, ta có B = 5.4 + 9.2 = 38 chia hết cho 38 hay B ⁝ 38.

Giả sử B ⁝ 38 khi n = k, ta cần chứng minh B ⁝ 38 khi n = k + 1.

Đặt a = 5²ⁿ⁻¹.2ⁿ⁺¹; b = 3ⁿ⁺¹.2²ⁿ⁻¹

Ta có: a + b = 38c, c nguyên

Với n = k + 1 thì B = 50a + 12b = 38a + 12(a + b)

Mà 38a ⁝ 38 và a + b ⁝ 38

Suy ra 12(a + b) ⁝ 38

⇒ B ⁝ 38 (đpcm).

Hàm số xác định trên ℝ.

\[ \Leftrightarrow 5 - m\sin x - \left( {m + 1} \right)\cos x \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\]

⇔ m.sinx ‒ (m+1)cosx ≤ 5 ∀ ∈ ℝ

⇔ m² + (m+1)² ≤ 25

⇔ m² + m ‒ 12 ≤ 0

\[ \Leftrightarrow m \in \left[ { - 4;3} \right]\]

Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

a) \[M = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{5 - \sqrt x }}{{x - 1}}\]

\[ = \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right) + 2\left( {\sqrt x - 1} \right) - 5 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{2\sqrt x + 2 + 2\sqrt x - 2 - 5 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{5\sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{5\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{5}{{\sqrt x + 1}}\]

b) Với x = 4 thì \[M = \frac{5}{{\sqrt x + 1}} = \frac{5}{{\sqrt 4 + 1}} = \frac{5}{3}\]

c) M có giá trị nguyên \[ \Leftrightarrow \frac{5}{{\sqrt x + 1}}\] có giá trị nguyên.

\[ \Leftrightarrow 5 \vdots \sqrt x + 1\] \[ \Rightarrow \sqrt x + 1 \in \left\{ {1;5} \right\}\]

\[\sqrt x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0\]

\[\sqrt x + 1 = 5 \Rightarrow x = 16\]

Đặt \[x = a + \frac{1}{a}\] (a ≠ 0)

Khi đó:

x³ ‒ 3x ‒ 4 = 0

\[ \Leftrightarrow {\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^3} - 3\left( {a + \frac{1}{a}} \right) - 4 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {a^3} + \frac{1}{{{a^3}}} - 4 = 0\]

⇔ a⁶ ‒ 4a³ + 1 = 0

⇔ (a³ ‒ 2)² = 3

\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^3} = 2 + \sqrt 3 \\{a^3} = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \sqrt[3]{{2 + \sqrt 3 }}\\a = \sqrt[3]{{2 - \sqrt 3 }}\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt[3]{{2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{2 + \sqrt 3 }}}}\\x = \sqrt[3]{{2 - \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{2 + \sqrt 3 }}}}\end{array} \right.\]

Ta có:

a + b + c = 0

⇒ (a + b + c)² = 0

⇒ a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc = 0

⇒ 1 + 2(ab + ac + bc) = 0

\[ \Rightarrow ab + ac + bc = - \frac{1}{2}\]

\[ \Rightarrow {\left( {ab + ac + bc} \right)^2} = \frac{1}{4}\]

\[ \Rightarrow {a^2}{b^2} + {\rm{ }}{a^2}{c^2} + {\rm{ }}{b^2}{c^2} + {\rm{ }}2{a^2}bc{\rm{ }} + {\rm{ }}2a{b^2}c{\rm{ }} + {\rm{ }}2ab{c^2} = \frac{1}{4}\] \[ \Rightarrow {a^2}{b^2} + {\rm{ }}{a^2}{c^2} + {\rm{ }}{b^2}{c^2} + {\rm{ }}2abc\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b{\rm{ }} + {\rm{ }}c} \right) = \frac{1}{4}\]

\[ \Rightarrow {a^2}{b^2} + {\rm{ }}{a^2}{c^2} + {\rm{ }}{b^2}{c^2} = \frac{1}{4}\]

Mà a² + b² + c² = 2

⇒ (a² + b² + c²)² = 4

⇒ a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2a²b² + 2a²c² + 2b²c² = 4

⇒ a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2 (a²b² + a²c² + b²c²) = 4

\[ \Rightarrow {a^4} + {\rm{ }}{b^4} + {\rm{ }}{c^4} + {\rm{ }}2.\frac{1}{4} = 4\;\]

\[ \Rightarrow A{\rm{ }} = {\rm{ }}{a^4} + {\rm{ }}{b^4} + {\rm{ }}{c^4} = \frac{7}{2}\]

Vì n² chia hết cho 9, ta giả sử n² = 9k (k ∈ ℕ)

Khi đó 9k là số chính phương.

Mà 9 = 3² nên k là số chính phương, do đó tồn tại số m sao cho k = m² (m ∈ ℕ)

Từ n² = 9k ta có \[n = 3\sqrt k = 3m\] nên n chia hết cho 3.

Đáp án đúng là: D

Giải thích:

X = {0; 12; 24; 36; ...}; Y={0; 12; 24; 36;...}

⇒ X = Y

Mệnh đề C là sai. Do đó chọn C.

Đáp án: 1697

Giải thích: 

Xét: Hiệu giữa 3 và 17 là 14 

        Hiệu giữa 17 và 59 là 42 = 14.3

        Hiệu giữa 59 và 185 là 126 = 42.3

        Hiệu giữa 185và 563 là 378 = 126.3

⇒ Ta có quy luật hiệu của hai số sau sẽ gấp 33 lần hiệu của hai số trước (có lặp lại số ở giữa 22 số kia) 

⇒ Số cần điền là: 378.3 + 563 = 1697.

Diện mảnh đất là:

3 × 2 = 6 (cm²)

Diện tích thật của mảnh đất là:

6 × 30000 = 180 000 (cm²).

Đáp số: 180 000 (cm²).

Đáp án đúng là: D

Đơn vị điều tra: một hsinh lớp 10.

Do lớp học có 22 nữ và 20 nam nên lớp có tất cả 42 học sinh . Do đó; kích thước của mẫu số liệu: 42.

Vậy ta chọn phương án D.

2xy ‒1 = z(x ‒ 1)(y ‒ 1) = z(xy ‒ x ‒ y + 1)

⇒ 2xy ‒1 = zxy ‒ zx ‒ zy + z

⇒ 2xy = zxy ‒ zx ‒ zy + (z + 1)

⇒ z(x + y) = (z ‒ 2)xy + (z + 1) (*)

Trường hợp 1. z ≤ 2. Mà z ∈ ℕ* nên z = 1 hoặc z = 2

– Nếu z = 1, thay vào (*) ta được:

x + y = ‒xy + 2 ⇒ x + y + xy + 1 = 3 ⇒ (x + 1)(y + 1) = 3

Do x, y ∈ ℕ* nên ta có bảng sau:

⇒ (x; y) ∈ {(0; 2); (2; 0)}.

Þ (x; y; z) ∈ {(0; 2; 1); (2; 0; 1)}.

– Nếu z = 2 ⇒ 2(x + y) = 3 \( \Rightarrow x + y = \frac{3}{2}\) (loại vì x, y ∈ ℕ*).

Trường hợp 2. z > 2 ⇒ (z ‒ 2)xy > 0

Từ z(x + y) = (z ‒ 2)xy + (z + 1) ⇒ z(x + y) > (z ‒ 2)xy

Giả sử x ≥ y ⇒ 2x ≥ x + y ⇒ 2xz ≥ z(x + y) > (z ‒ 2)xy

⇒ 2z > (z − 2)y ⇒ 2z + 2y > zy

– Nếu z ≥ y ⇒ 4z ≥ 2z + 2y > zy ⇒ 4 > y

Mà y ∈ ℕ* nên y ∈ {1, 2, 3}.

• Với y = 1, thay vào (*) ta được z(x + 1) = (z ‒ 2)x + (z + 1)

⇒ zx + z = zx ‒ 2x + z + 1 ⇒ ‒2x + 1 = 0 (vô lý)

• Với y = 2, thay vào (*) ta được z(x + 2) = 2(z ‒ 2)x + (z + 1)

⇒ zx + 2z = 2zx – 4x + z + 1 ⇒ xz – z – 4x + 1 = 0

⇒ z(x ‒ 1) ‒ 4x + 4 = 3 ⇒ z(x ‒ 1) ‒ 4(x – 1) = 3

⇒ (z ‒ 4)(x ‒ 1) = 3

Do x, z ∈ ℕ* nên ta có bảng sau:

⇒ (x; z) ∈ {(4; 5); (2; 7)} thỏa mãn điều kiện.

Þ (x; y; z) ∈ {(4; 2; 5); (2; 2; 7)}.

• Với y = 3, thay vào (*) ta được z(x + 3) = 3(z ‒ 2)x + (z + 1)

Þ zx + 3z = 3zx – 6x + z + 1 Þ 2zx – 2z – 6x + 1 = 0

Þ 2z(x – 1) – 6(x – 1) = 5 Þ (x – 1)(2z – 6) = 5.

Mà 2z – 6 là số chẵn nên ta loại trường hợp này.

– Nếu z ≤ y Þ 4y ≥ 2z + 2y > zy Þ 4 > z.

Kết hợp với z > 2 ta được 2 < z < 4

Mà z ∈ ℕ* nên z = 3

Thay z = 3, thay vào (*) ta được 3(x + y) = (3 ‒ 2)xy + (3 + 1)

Þ 3(x + y) = xy + 4 Þ 3x + 3y – xy = 4

Þ x(3 – y) – 3(3 – y) = –5 Þ (3 – y)(x – 3) = –5

Þ (x – 3)(y – 3) = 5

Do x, y ∈ ℕ* nên ta có bảng sau:

⇒ (x; y) ∈ {(4; 8); (8; 4)} thỏa mãn điều kiện.

Þ (x; y; z) ∈ {(4; 8; 3); (4; 8; 3)}.

Vậy các bộ số (x; y; z) thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

(x; y; z) ∈ {(0; 2; 1); (2; 0; 1); (4; 8; 3); (4; 8; 3)}.

1 người ăn hết số gạo đó trong số ngày là:

120 × 30 = 3600 (ngày)

Sau khi nhận thêm công nhân, đội sản xuất có tất cả số người là:

3600 : 15 = 240 (người)

Đáp số: 240 người.

Ta có:

x⁶ + 3x⁴ − m³x³ + 4x² − mx + 2 ≥ 0

⇔ x⁶ + 3x⁴ + 4x² + 2 ≥ (mx)³ + mx

⇔ (x⁶ + 3x⁴ + 3x² + 1) + x² + 1 ≥ (mx)³ + mx

⇔ (x² + 1).3 + (x² + 1) ≥ (mx).3 + mx (∗)

Xét hàm số f(t) = t³ + t ta có: f′(t) = 3t² + 1 > 0 ∀ t ∈ R ⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên ℝ.

Khi đó: (∗) ⇔ x² + 1 ≥ mx \[ \Leftrightarrow m \le x + \frac{1}{x}\forall x \in \left[ {1;3} \right]\].

Xét hàm số \[g\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\], \[x \in \left[ {1;3} \right]\] có: \[{g^'}\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} \ge 0\], \[\forall x \in \left[ {1;3} \right]\]

\[ \Rightarrow \mathop {\min g\left( x \right)}\limits_{\left[ {1;3} \right]} = g\left( 1 \right) = 2\]

Để \[ \Leftrightarrow m \le x + \frac{1}{x}\mathop {\forall x \in \left[ {1;3} \right]}\limits_{} \] thì \[\mathop {m \le \min g\left( x \right)}\limits_{\left[ {1;3} \right]} \] ⇔ m ≤ 2

Mà m là số nguyên dương ⇒ m = 1, m = 2 ⇒ S = {1; 2}

Vậy tổng các phần tử của S là 1 + 2 = 3.

(2x + 3) (x + 2)² (2x + 5) = 315

⇔ (4x² +16x + 15)(x² + 4x + 4)= 315

⇔ (4x² + 16x + 15)(4x² + 16x + 16) = 1260

Đặt t = 4x² + 16x + 15 (t ≥ 0). Phương trình đã cho trở thành:

(t − 1)t = 1260

⇔ (t − 36)(t + 35) = 0

⇔ t = 36

⇔ 4x² + 16x + 16 = 36

⇔ (x + 2)² = 3

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 3\\x + 2 = - 3\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 5\end{array} \right.\]

Ta có:

 a + b + c + d = 0

⇒ a + b = ‒(c + d)

⇒ (a + b)³ = ‒(c + d) ³

⇒ a³ + b³ + 3ab(a + b) = ‒c³ ‒ d³ ‒ 3cd(c + d)

⇒ a³ + b³ + c³ + d³ = ‒3ab(a + b) ‒ 3cd(c + d)

⇒ a³ + b³ + c³ + d³ = 3ab(c + d) ‒ 3cd(c + d)      (vì a + b = ‒ (c + d))

⇒ a³ + b³ + c³ + d³ = 3(c + d)(ab ‒ cd) (đpcm).

Theo AM-GM ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{a^3}}}{{b + c + d}} + \frac{{a\left( {b + c + d} \right)}}{9} \ge \frac{2}{3}{a^2}}\\{\frac{{{b^3}}}{{c + d + a}} + \frac{{b\left( {c + d + a} \right)}}{9} \ge \frac{2}{3}{b^2}}\\{\frac{{{c^3}}}{{d + a + b}} + \frac{{c\left( {d + a + b} \right)}}{9} \ge \frac{2}{3}{c^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{{{a^3}}}{{b + c + d}} + \frac{{{b^3}}}{{c + d + a}} + \frac{{{c^3}}}{{d + a + b}} + \frac{{{d^3}}}{{a + b + c}} + \frac{{2\left( {ab + ac + ad + bc + bd + cd} \right)}}{9}\)

\( \ge \frac{2}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\)

Theo AM-GM ta có:

\(3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}} \right) = \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} + {d^2}} \right) + \left( {{b^2} + {c^2}} \right) + \left( {{b^2} + {d^2}} \right) + \left( {{c^2} + {d^2}} \right)\)

\( \ge 2\left( {ab + ac + ad + bc + bd + cd} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}} \right) \ge \frac{2}{9}\left( {ab + ac + ad + bc + bd + cd} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\frac{{{a^3}}}{{b + c + d}} + \frac{{{b^3}}}{{c + d + a}} + \frac{{{c^3}}}{{d + a + b}} + \frac{{{d^3}}}{{a + b + c}} \ge \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}} \right)\,\,\,\left( 3 \right)\)

Mặt khác ta có:

\({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} + \frac{{{c^2} + {d^2}}}{2} + \frac{{{d^2} + {a^2}}}{2} \ge ab + bc + cd + da = 1\,\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4) suy ra:

\(\frac{{{a^3}}}{{b + c + d}} + \frac{{{b^3}}}{{c + d + a}} + \frac{{{c^3}}}{{d + a + b}} + \frac{{{d^3}}}{{a + b + c}} \ge \frac{1}{3}\).

Dấu "=" xảy ra khi: \(a = b = c = d = \frac{1}{2}\).