5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 45)

Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì (M khác A), kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA. Gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.

1) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.

2) Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.

3) Chứng minh OI.OM = R²; OI.IM = IA².

4) Chứng minh OAHB là hình thoi.

5) Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.

6) Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d.

Giải phương trình: \[\cos x - \sqrt 3 \sin x = 2\cos 2x\].

Giải phương trình: \[\sqrt 3 \sin x + \cos x = 2\cos 2x\].

Mẹ có một số quả táo, mẹ cho chị \(\frac{1}{4}\) số quả táo đó, mẹ cho em \(\frac{2}{5}\) số quả táo đó. Hỏi ai được mẹ cho nhiều táo hơn?

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(C = \frac{{x + 4}}{{\sqrt x }}\) với x > 0.

Tìm m, n để đa thức x³ – mx² – n khi chia cho đa thức x – 3 dư là 27 còn khi chia cho đa thức x + 1 được dư là 7.

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x² + 2x + 1 – 4y².

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x² – 2x – 4y² + 1.

Giải phương trình x² – 2x – 15 = 0.

Giải phương trình \(\sqrt {2x + 5} = 5\).

Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C’?

Cho biểu thức \(P = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}\). Tìm x để \(P\sqrt x = 6\sqrt x - 3 - \sqrt {x - 4} \).

Tại sao sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ?

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(C = \frac{x}{{\sqrt x - 1}}\) với x > 1.

Tính giá trị biểu thức: \[\frac{1}{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}.\sqrt {\frac{{3\sqrt 2 - 2\sqrt 3 }}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }}} \].

Tìm x, biết: (4x – 1)² – (x + 7)² = 0.

Giải phương trình 4sin²x + 4sinx – 3 = 0.

Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và thỏa mãn a² – 2b = b² – 2c = c² – 2a. Tính giá trị của biểu thức A = (a + b + 2)(b + c + 2)(c + a + 2).

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CC’. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (A’BC) bằng

Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By nằm cùng phía với nửa đường tròn. M là điểm bất kì trên nửa đường tròn (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax và By lần lượt tại E và N.

a) Chứng minh AOME và BOMN là các tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh AE.BN = R².

c) Kẻ MH vuông góc By. Đường thẳng MH cắt OE tại K. Chứng minh AK ⊥ MN.

d) Giả sử \[\widehat {MAB} = \alpha \] và MB < MA. Tính diện tích phần tứ giác BOMH ở bên ngoài nửa đường tròn (O) theo R và α.

e) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để K nằm trên đường tròn (O).

Cho tam giác ABC cân tại A, AM là đường cao. Gọi N là trung điểm AC, D là điểm đối xứng của M qua N.

a) Tứ giác ADCM là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh tứ giác ABMD là hình bình hành và BD đi qua trung điểm O của AM.

c) BD cắt AC tại I. Chứng minh \(DI = \frac{2}{3}OB\).

d) E là hình chiếu của N trên BC. Tam giác ABC cân ban đầu cần thêm điều kiện gì để tứ giác ONEM là hình vuông?

Cho (d): y = mx – 2 và (P): y = –x².

a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung với mọi giá trị của m.

b) Tìm m sao cho y₁ + y₂ = –8.y₁.y₂.

Cho đường thẳng (d): y = 2x + m và parabol (P): y = x2. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Giải phương trình: \(\cos 4x + \cos 6x + \cos 2x = - \frac{1}{2}\).

Giải phương trình \[{x^2} + 7x + 14 = 2\sqrt {x + 4} \].

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin²x + sinx – 3 là:

a) Viết các phân số \(\frac{6}{7};\,\,\frac{{13}}{{14}};\,\,\frac{{23}}{{28}}\) theo thứ tự từ lớn đến bé (nêu cách làm).

b) Viết các phân số \(\frac{5}{6};\,\,\frac{{24}}{{24}};\,\,\frac{9}{8}\) theo thứ tự từ bé đến lớn (nêu cách làm).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 4), B(5; 1), C(–1; –2). Phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {BC} \) biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác A’B’C’.

Từ 15 học sinh ưu tú của một lớp có bao nhiêu cách:

a) Chọn 7 học sinh làm cán bộ lớp.

b) Chọn 7 học sinh làm cán bộ lớp trong đó có: 1 lớp trưởng, 2 lớp phó, 4 tổ trưởng.

Tính B = x⁵ – 15x⁴ + 16x³ – 29x² + 13x tại x = 14.

Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2x – m (m là tham số). Tìm các giá trị của m để (P) và (d) có điểm chung duy nhất.

Giải phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 4x + 1} = x - 1\).

Giải phương trình \(\sqrt {{x^4} - 8{x^2} + 16} = 2 - x\).

Thực hiện phép tính: \(C = \left( {\frac{{171717}}{{151515}} + \frac{{171717}}{{353535}} + \frac{{171717}}{{636363}} + \frac{{171717}}{{999999}}} \right):\frac{8}{{11}}\).

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, \(\widehat {BAC} = 120^\circ \). Mặt phẳng (AB’C’) tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, \(\widehat {BAC} = 120^\circ \). Mặt phẳng (A’BC’) tạo với đáy một góc 60°. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:

Cho tam giác ABC nhọn (AB > AC), có \(\widehat B = 45^\circ \) và vẽ đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AB. P là điểm đối xứng với H qua M.

a) Chứng minh rằng tứ giác AHBP là hình vuông.

b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABC. Chứng minh rằng HP = 2MK.

c) Gọi D là giao điểm của AH và BK. Qua D và C vẽ các đường thẳng song song với BC và AH sao cho chúng cắt nhau tại Q. Chứng minh: ba điểm P, K, Q thẳng hàng.

d) Chứng minh các đường thẳng CD, AB và PQ đồng quy.

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x² – 8x + 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của A(x) = x² – 4x + 24.

Giải phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x + 1} = {x^2} - 1\).

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 36 m, chiều rộng bằng \(\frac{1}{4}\) chiều dài. Hãy tính diện tích mảnh đất đó.

Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại H, K. Một tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt các cạnh AB, AC ở M, N.

a) Cho \(\widehat B = \widehat C = \alpha \). Tính \(\widehat {MON}\).

b) Chứng minh rằng OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.

c) Cho BC = 2a. Tính tích BM.CN.

d) Tiếp tuyến MN ở vị trí nào thì tổng BM + CN nhỏ nhất?

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Khi đó \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|\) bằng

Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Từ trung điểm H của đoạn OB, kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại C và D.

a) Chứng minh HC = HD và tứ giác ODBC là hình thoi.

b) Tính số đo của \[\widehat {BOC}\].

c) Gọi M là điểm đối xứng của O qua B. Chứng minh MC là tiếp tuyến tại C của đường tròn (O). Tính MC theo R.

d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt CD ở I. Chứng minh HI.HD + HB.HM = R².

Cho A = (–∞; –2], B = [3; +∞) và C = (0; 4). Khi đó, (A ∪ B) ∩ C là:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ sáu chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6?

Giải hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}25 - {x^2} \le 0\\2{x^2} + 9x + 7 > 0\end{array} \right.\)

Hình lăng trụ có đáy là thập giác lồi có bao nhiêu cạnh?