33 câu Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm, trên một tập có đáp án

Hàm số xác định trên R

Ta có: $f\left(-1\right)=0;\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\left(x^2-1\right)=0,\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left(3x+2\right)=-1$

Suy ra $f\left(-1\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)$

Vậy hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng $\left[-1;+\infty \right)$ và khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$

Hàm số xác định trên R

Ta có: $f\left(0\right)=1,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x^2+x+1\right)=1$

Hàm số đã cho liên tục tại điểm x=0  khi và chỉ khi $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x+2a\right)=1\iff a=\frac{1}{2}$

Hàm số xác định trên R

Ta có: $f\left(1\right)=0,\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(2x^2-2\right)=0$

Hàm số đã cho liên tục tại điểm $x_0=1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(\frac{2x-a}{x^2+1}\right)=0\iff a=2$

Hàm số xác định trên R

Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }{\left(x+1\right)}^2=4,\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x^2+3\right)=4$

Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại x=1  khi và chỉ khi $f\left(1\right)\ne 4\iff k^2\ne 4\iff k\ne \pm 2$

Điều kiện xác định: $x^2-4\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}x\le -2\\ x\ge 2\end{array}\right.$

Ta có: $f\left(2\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\sqrt{x^2-4}=0$. Do đó hàm số đã cho liên tục tại x=2 

$f\left(-2\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\sqrt{x^2-4}=0$. Do đó hàm số đã cho liên tục tại x=-2

(I) $f\left(x\right)=x^5-3x^2+1$ là hàm số có tập xác định trên R. Do đó hàm số f(x)  liên tục trên R

(II) $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ có tập xác định $D=\left(-\infty ;-1\right)\cup \left(1;+\infty \right)$.

Do đó f(x)  gián đoạn trên khoảng $\left(-1;1\right)$

(III) Hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x-2}$ có tập xác định $D=\left[2;+\infty \right)$

Ta có: $f\left(2\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\sqrt{x-2}=0$. Do đó hàm số liên tục trên $\left[2;+\infty \right)$

Do đó hàm số liên tục tại x=-1

+) $f\left(1\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0,\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x-1\right)=0$. Suy ra $f\left(1\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$. Do đó hàm số liên tục tại x=1

Tập xác định: D= R 

Ta có: $f\left(\sqrt{3}\right)=2\sqrt{3},\underset{x\to \sqrt{3}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \sqrt{3}}{\lim }\left(\frac{x^2-3}{x-\sqrt{3}}\right)=\underset{x\to \sqrt{3}}{\lim }\left(\frac{\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)}{x-\sqrt{3}}\right)=\underset{x\to \sqrt{3}}{\lim }\left(x+\sqrt{3}\right)=2\sqrt{3}$

Do đó hàm số liên tục tại $x=\sqrt{3}$. Vậy hàm số liên tục trên R

Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x=1 

Ta có $f\left(0\right)=5b$

$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{ax+1}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ax}{\left(\sqrt{ax+1}+1\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a}{\sqrt{ax+1}+1}=\frac{a}{2}$

Hàm số liên tục tại x=0  khi và chỉ khi $f\left(0\right)=\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)\iff 5b=\frac{a}{2}\iff a=10b$

Ta có $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{x}^2=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2x^3}{1+x}=1\iff \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)$ nên hàm số liên tục tại x=1 

Ta cũng ó\có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{2x^3}{1+x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }x\sin x=0\iff \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)$ nên hàm số liên tục tại x=0

Ta có: $f\left(2\right)=3,\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(\sqrt{2x-4}+3\right),\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x+1}{x^2-2mx+3m+2}$

Hàm số f(x)  liên tục trên R  khi và chỉ khi hàm số f(x)  liên tục tại x=2 

$\iff \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x+1}{x^2-2mx+3m+2}=3\iff \frac{3}{6-m}=3\iff m=5$

Ta có $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{2x+1}-1}{x\left(x+1\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{2x+1}+1\right)}=1$

Suy ra $a=f\left(0\right)=1$ thì hàm số liên tục tại điểm x=0 

Ta có $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{2x+6}-2}{\sqrt{3x+1}-2}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2\left(\sqrt{3x+1}+2\right)}{3\left(\sqrt[3]{{\left(2x+6\right)}^2}+2\sqrt[3]{2x+6}+4\right)}=\frac{2}{9}$

Vậy $f\left(1\right)=\frac{2}{9}$ thì hàm số liên tục tại x=1 

Ta có $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{4x+1}-1}{a{x}^2+\left(2a+1\right)x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4}{\left(ax+2a+1\right)\left(\sqrt{4x+1}+1\right)}=\frac{2}{2a+1}$

Hàm số liên tục tại x=0  thì $\frac{2}{2a+1}=3\iff a=-\frac{1}{6}$

Ta có $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{a\left(x^2-2\right)}{x-3}=\frac{a}{2},\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{3x+1}-2}{x^2-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{3}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{3x+1}+2\right)}=\frac{3}{8}$

Để hàm số liên tục tại x=1  thì $\frac{a}{2}=\frac{3}{8}\iff a=\frac{3}{4}$

Ta có $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{4x}-2}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4}{\sqrt[3]{16x^2}+2\sqrt[3]{4x}+4}=\frac{1}{3};f\left(2\right)=2a+3$

Để hàm số liên tục trên R  thì $2a+3=\frac{1}{3}\iff a=-\frac{4}{3}$

Ta có $\underset{x\to 9^{-}}{\lim }\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}=\frac{1}{3};\underset{x\to 9^{+}}{\lim }\frac{3}{x}=\frac{1}{3}$ và $f\left(9\right)=\frac{1}{3}$ nên hàm số liên tục tại x=9

Ta cũng có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{3+\sqrt{9-x}}=\frac{1}{6}$ và $f\left(0\right)=m$

Vậy để hàm số liên tục trên $\left[0;+\infty \right)$ thì $m=\frac{1}{6}$

Ta có $\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}}{\lim }\sin x=1;\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{+}}{\lim }\sin x=-1;\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{+}}{\lim }ax+b=\frac{a\pi }{2}+b;\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}}{\lim }ax+b=-\frac{a\pi }{2}+b$

Để hàm số liên tục trên R  thì $\left\{\begin{array}{l}\frac{a\pi }{2}+b=1\\ -\frac{a\pi }{2}+b=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{2}{\pi }\\ b=0\end{array}\right.$

Ta có $\underset{x\to 3}{\lim }\sqrt{\frac{x^2+1}{x^3-x+6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Để hàm số liên tục tại x=3  thì $b+\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\iff b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ta có $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{3x+1}}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}+\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2-\sqrt{3x+1}}{x-1}$

          $=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x+7\right)}^2}+2\sqrt[3]{x+7}+4}+\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-3}{2+\sqrt{3x+1}}$

          $=\frac{1}{12}-\frac{3}{4}$

          $=-\frac{2}{3}$

$f\left(1\right)=a$

Để hàm số liên tục tại x=1  thì $a=-\frac{2}{3}$

Ta có $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^{2017}+x-2}{\sqrt{2019x+1}-\sqrt{x+2019}}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^{2017}-1}{\sqrt{2019x+1}-\sqrt{x+2019}}+\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{\sqrt{2019x+1}-\sqrt{x+2019}}$

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x^{2016}+x^{2015}+\mathrm{...}+x+1\right)\left(\sqrt{2019x+1}+\sqrt{x+2019}\right)}{2018}+\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{2019x+1}+\sqrt{x+2019}}{2018}$

$=\frac{2017\sqrt{2020}}{1009}+\frac{\sqrt{2020}}{1009}=2\sqrt{2020}$

Để hàm số liên tục tại x=1  thì $k=2\sqrt{2020}$

Xét hàm số f(x)  trên đoạn $\left[0;2\pi \right]$, khi đó $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sin x,khix\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]\cup \left[\frac{3\pi }{2};2\pi \right]\\ 1+\cos x,khix\in \left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)\end{array}\right.$

Ta có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=0=f\left(0\right);\underset{x\to 2{\pi }^{-}}{\lim }f\left(x\right)=0=f\left(2\pi \right)$

Hàm số rõ ràng liên tục trên các khoảng $\left[0;\frac{\pi }{2}\right);\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ và $\left(\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$

Ta xét tại $x=\frac{\pi }{2}$

$\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }\left(1+\cos x\right)=1;\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }\sin x=1;f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$

Như vậy $\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }f(x=f\left(\frac{\pi }{2}\right)$nên hàm số f(x)  liên tục tại điểm $x=\frac{\pi }{2}$

Ta xét tại $x=\frac{3\pi }{2}$

$\underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }\sin x=-1;\underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }\left(1+\cos x\right)=1$

Vì $\underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to {\left(\frac{3\pi }{2}\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ nên hàm số f(x)  gián đoạn tại điểm $x=\frac{3\pi }{2}$

Do đó, trên đoạn $\left[0;2\pi \right]$ hàm số chỉ gián đoạn tại điểm $x=\frac{3\pi }{2}$.

Do tính chất tuần hoàn của hàm số $y=\cos x$ và $y=\sin x$ suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm $x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Ta có $x\in \left(0;2018\right)\iff 0<\frac{3\pi }{2}+k2\pi <2018\iff -\frac{3}{4}<k<\frac{1009}{\pi }-\frac{3}{4}\approx 320,42$

Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \left\{0,1,2,\mathrm{...},320\right\}$. Vậy hàm số f có 321 điểm gián đoạn trên khoảng $\left(0;2018\right)$