33 câu Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm, trên một tập có đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên R 

Ta có f3=275 và limx→3fx=limx→3x3−27x2−x−6=limx→3x−3x2+3x+9x−3x+2

=limx→3x2+3x+9x+2=275

Hướng dẫn giải

Ta có limx→3+fx=limx→3+x−12=4

limx→3−=limx→3−x−32x+3−3=limx→3−2x+3+32=3

Do đó limx→3−fx≠limx→3+fx

Vậy hàm số gián đoạn tại x=3 

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên R

Ta có f2=a và limx→2fx=limx→24x3−2x−2=limx→244x23+24x3+4=13

Vậy để hàm số liên tục tại điểm x=2  thì limx→2fx=f2⇔a=13

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên R

Ta có: limx→−1−fx=limx→−1−x4−5x2+4x3+1=limx→−1−x−1x2−4x2−x+1=2

limx→−1+fx=limx→−1+m2x2+2mx−5=m2−2m−5=f−1

Hàm số liên tục tại x=-1 khi và chỉ khi

 limx→−1+fx=limx→−1−fx=f−1 ⇔m2−2m−5=2⇒m=1±2

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên D=R 

Với x≠−1 thì fx=x2−1x+1=x−1 là hàm số liên tục trên tập xác định.

Do đó hàm số liên tục trên −∞;  −1 và −1;  +∞

Với x= -1 ta có limx→−1fx=limx→−1x2−1x+1=limx→−1x−1=−2

Vì f−1=2≠limx→−1fx

Vậy hàm số liên tục trên các khoảng −∞;  −1 và −1;  +∞; hàm số không liên tục tại điểm x=-1

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên R

Với x>2 ta có fx=a2x−2x+2−2 là hàm số liên tục trên từng khoảng xác định.

Do đó hàm số f(x)  liên tục trên 2;  +∞

Với x<2 ta có fx=1−ax là hàm số liên tục trên tập xác định. Do đó hàm số f(x) liên tục trên −∞;  2

Với x=2  ta có limx→2−fx=limx→2−1−ax=21−a=f2

     limx→2+fx=limx→2+a2x−2x+2−2=limx→2+a2x+2+2=4a2                

Hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x=2 , nên

limx→2−fx=limx→2+fx⇔4a2=21−a⇔a=−1a=12

Vậy a=−1;  a=12 là những giá trị cần tìm.

Dựa vào hình vẽ đồ thị ta thấy hàm số gián đoạn tại điểm x=1 

Dựa vào hình vẽ đồ thị ta thấy hàm số liên tục trên (1, 4)

Điều kiện xác định của hàm số x2+5x+6≠0⇔x≠−2x≠−3

Do đó hàm số đã cho gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng -2 và -3

Hàm số xác định trên R

Ta có: f−1=0;  limx→−1+fx=limx→−1+x2−1=0,  limx→−1−fx=limx→−1−3x+2=−1

Suy ra f−1=limx→−1+fx≠limx→−1+fx

Vậy hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng −1;  +∞ và khoảng −∞;  −1

Hàm số xác định trên R

Ta có: f0=1,  limx→0+fx=limx→0+x2+x+1=1

Hàm số đã cho liên tục tại điểm x=0  khi và chỉ khi limx→0−fx=limx→0−x+2a=1⇔a=12

Hàm số xác định trên R

Ta có: f1=0,  limx→1+fx=limx→1+2x2−2=0

Hàm số đã cho liên tục tại điểm x0=1 khi và chỉ khi limx→1−fx=limx→1−2x−ax2+1=0⇔a=2

Hàm số xác định trên R

Ta có: limx→1+fx=limx→1+x+12=4,  limx→1−fx=limx→1−x2+3=4

Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại x=1  khi và chỉ khi f1≠4⇔k2≠4⇔k≠±2

Điềukiện xác định: x2−4≥0⇔x≤−2x≥2

Ta có: f2=limx→2+fx=limx→2+x2−4=0. Do đó hàm số đã cho liên tục tại x=2 

f−2=limx→2−fx=limx→2−x2−4=0. Do đó hàm số đã cho liên tục tại x=-2

(I) fx=x5−3x2+1 là hàm số có tập xác định trên R. Do đó hàm số f(x)  liên tục trên R

(II) fx=1x2−1 có tập xác định D=−∞;  −1∪1;  +∞.

Do đó f(x)  gián đoạn trên khoảng −1;  1

(III) Hàm số fx=x−2 có tập xác định D=2;  +∞

Ta có: f2=limx→2+fx=limx→2+x−2=0. Do đó hàm số liên tục trên 2;  +∞

fx=cosπx2khi   x≤1x−1khi   x>1⇔fx=1−xkhi   x<−1cosπx2khi   −1≤x≤1x−1khi   x>1Khi đó ta có f−1=cos−π2=0,  limx→1−fx=limx→1−1−x=0

Suy ra f1=limx→1−fx

Do đó hàm số liên tục tại x=-1

+) f1=cosπ2=0,  limx→1+fx=limx→1+x−1=0. Suy ra f1=limx→1+. Do đó hàm số liên tục tại x=1

Tập xác định: D= R 

Ta có: f3=23,  limx→3fx=limx→3x2−3x−3=limx→3x−3x+3x−3=limx→3x+3=23

Do đó hàm số liên tục tại x=3. Vậy hàm số liên tục trên R

Xét fx=2x2−x+1x−1khi  x≠12x−1khi  x=1có tập xác định D=R

Ta có f1=1,   limx→1fx=limx→12x2−x−1x−1=limx→12x−1x+12x−1=limx→12x+12=3

Suy ra f1≠limx→1fx

Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x=1 

Ta có f0=5b

limx→0fx=limx→0ax+1−1x=limx→0axax+1+1=limx→0aax+1+1=a2

Hàm số liên tục tại x=0  khi và chỉ khi f0=limx→0fx⇔5b=a2⇔a=10b

Ta có limx→1−x2=limx→1−2x31+x=1⇔limx→1+fx=limx→1−fx=f1 nên hàm số liên tục tại x=1 

Ta cũng ó\có limx→0+2x31+x=limx→0−xsinx=0⇔limx→0+fx=limx→0−fx=f1 nên hàm số liên tục tại x=0

Ta có: f2=3,  limx→2+fx=limx→2+2x−4+3,  limx→2−fx=limx→2−x+1x2−2mx+3m+2

Hàm số f(x)  liên tục trên R  khi và chỉ khi hàm số f(x)  liên tục tại x=2 

⇔limx→2−x+1x2−2mx+3m+2=3⇔36−m=3⇔m=5

Ta có limx→02x+1−1xx+1=limx→02x+12x+1+1=1

Suy ra a=f0=1 thì hàm số liên tục tại điểm x=0 

Ta có limx→12x+63−23x+1−2=limx→123x+1+232x+623+22x+63+4=29

Vậy f1=29 thì hàm số liên tục tại x=1 

Ta có limx→04x+1−1ax2+2a+1x=limx→04ax+2a+14x+1+1=22a+1

Hàm số liên tục tại x=0  thì 22a+1=3⇔a=−16

Ta có limx→1−ax2−2x−3=a2,  limx→1+3x+1−2x2−1=limx→1+3x+13x+1+2=38

Để hàm số liên tục tại x=1  thì a2=38⇔a=34

Ta có limx→0+x+4−2x=limx→0+1x+4+2=14;  limx→0−mx2+2x+14=2x+14

Để hàm số liên tục tại x=0  thì 2m+14=14⇔m=0

Ta có limx→24x3−2x−2=limx→2416x23+24x3+4=13;  f2=2a+3

Để hàm số liên tục trên R  thì 2a+3=13⇔a=−43

Ta có limx→9−3−9−xx=13;  limx→9+3x=13 và f9=13 nên hàm số liên tục tại x=9

Ta cũng có limx→0+3−9−xx=limx→0+13+9−x=16 và f0=m

Vậy để hàm số liên tục trên 0;  +∞ thì m=16

Ta có limx→π2−sinx=1;  limx→π2+sinx=−1;  limx→π2+ax+b=aπ2+b;  limx→π2−ax+b=−aπ2+b

Để hàm số liên tục trên R  thì aπ2+b=1−aπ2+b=−1⇔a=2πb=0

Ta có limx→3x2+1x3−x+6=33. Để hàm số liên tục tại x=3  thì b+3=33⇔b=−233

Ta có limx→1x+73−3x+1x−1=limx→1x+73−2x−1+limx→12−3x+1x−1

          =limx→11x+723+2x+73+4+limx→1−32+3x+1

          =112−34

          =−23

f1=a

Để hàm số liên tục tại x=1  thì a=−23

Ta có limx→1x2017+x−22019x+1−x+2019=limx→1x2017−12019x+1−x+2019+limx→1x−12019x+1−x+2019

=limx→1x2016+x2015+...+x+12019x+1+x+20192018+limx→12019x+1+x+20192018

=201720201009+20201009=22020

Để hàm số liên tục tại x=1  thì k=22020

Xét hàm số f(x)  trên đoạn 0;  2π, khi đó fx=sinx,khi   x∈0;  π2∪3π2;  2π1+cosx,khi   x∈π2;  3π2

Ta có limx→0+fx=0=f0;  limx→2π−fx=0=f2π

Hàm số rõ ràng liên tục trên các khoảng 0;  π2;  π2;  3π2 và 3π2;  2π

Ta xét tại x=π2

limx→π2+fx=limx→π2+1+cosx=1;  limx→π2−fx=limx→π2−sinx=1;  fπ2=1

Như vậy limx→π2−fx=limx→π2+f(x=fπ2 nên hàm số f(x)  liên tục tại điểm x=π2

Ta xét tại x=3π2

limx→3π2−fx=limx→3π2+sinx=−1;  limx→3π2−fx=limx→3π2−1+cosx=1

Vì limx→3π2−fx≠limx→3π2+fx nên hàm số f(x)  gián đoạn tại điểm x=3π2

Do đó, trên đoạn 0;  2π hàm số chỉ gián đoạn tại điểm x=3π2.

Do tính chất tuần hoàn của hàm số y=cosx và y=sinx suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm x=3π2+k2π,  k∈ℤ

Ta có x∈0;  2018⇔0<3π2+k2π<2018⇔−34<k<1009π−34≈320,42

Vì k∈ℤ  nên k∈0,  1,  2,  ...,  320. Vậy hàm số f có 321 điểm gián đoạn trên khoảng 0;  2018