26 câu Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm có đáp án
26 câu hỏi
Chứng minh rằng phương trìnhx2020+3x5−1=0 có nghiệm.
Hướng dẫn giải
Ta có hàm số fx=x2020+3x5−1 liên tục trên R và f0.f1=−3<0
Suy ra phương trình f(x) =0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0,1)
Chứng minh phương trình x2sinx+xcosx+1=0 có ít nhất một nghiệm.
Hướng dẫn giải
Ta có hàm số fx=x2sinx+xcosx+1liên tục trên R và f0.fπ=−π+1<0
Suy ra phương trình fx=0 có ít nhất một nghiệm thuộc 0; π
Chứng minh rằng phương trình x3+2x=4+33−2x có đúng một nghiệm.
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: x≤32
Ta có x3+2x=4+33−2x⇔x3+2x−33−2x−4=0
Xét hàm số fx=x3+2x−33−2x−4 liên tục trên −∞; 32 và f0=−4−33<0, f32=198>0⇒f0.f32<0
Do đó phương trình f(x) =0 có ít nhất một nghiệm
Giả sử phương trình f(x)= 0 có hai nghiệm x1; x2
Khi đó fx1−fx2=0
⇔x13−x23+2x1−x2−33−2x1−3−2x2=0
⇔x1−x2x12+x1x2+x22+2+63−2x1+3−2x2⏟B=0
⇔x1=x2 (vìB=x1+x222+3x224+4+63−2x1+3−2x2>0)
Vậy phương trình có đúng một nghiệm.
Chứng minh rằng phương trình x5+2x3+15x2+14x+2=3x2+x+1có đúng năm nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với x5+2x3+15x2+14x+2=3x2+x+12
⇔x5−9x4−4x3+18x2+12x+1=01
Xét hàm số fx=5−9x4−4x3+18x2+12x+1 liên tục trên R
Ta có: f−2=−95<0, f−1=1>0, f−12=−1932<0
f0=1>0, f2=−47, f10=7921>0
Do đó phương trình f(x) có ít nhất năm nghiệm thuộc các khoảng
−2; −1, −1; −12, −12; 0, 0; 2, 2; 10
Mặt khác f(x) là đa thức bậc năm nên có tối đa năm nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có đúng năm nghiệm.
Tìm các giới hạn sau:
b, lim2n+123n2+2n−1n2+3n−1.
lim2n+123n2+2n−1n2+3n−1
=lim32n+12n2+2n−lim2n+12n2+3n−1.
Mà
lim32n+12n2+2n=lim32+1n21+2n=3.221=12.
lim2n+12n2+3n−1=2+1n21+3n−1n2=221=4.
Nên
lim2n+123n2+2n−1n2+3n−1=12−4=8.
Tìm các giới hạn sau:
a) lim9n2+2n−3n4n+3.
a, lim9n2+2n−3n4n+3=limn9+2n2−3n4n+3=lim9+2n2−34+3n=9+0−34+0=04=0.
Tìm các giới hạn sau: b, lim3n54+4n−22n54−3n.
b, lim3n54+4n−22n54−3n=lim3+4n4−2n542−3n4=3+0−02−0=32.
Tìm các giới hạn sau: limn2+2n+3−n2+n33.
limn2+2n+3−n2+n33=limn2+2n+3−n+limn−n2+n33.
Mà
limn2+2n+3−n=limn2+2n+3−n2n2+2n+3+n=lim2+3n1+2n+3n2+1=21+1=1.
limn−n2+n33=limn3−n2+n3n2+n.n2+n33+n2+n332
=lim−11+1n+13+1n+132=−11+1+1=−13.
Vậy limn2+2n+3−n2+n33=1−13=23.
Tìm các giới hạn sau:
a)lim4n2+2n−2n.
a) lim4n2+2n−2n=lim4n2+2n−4n24n2+2n+2n=lim2n2n1+12n+1
=lim11+12n+1=11+0+1=12.
Tìm các giới hạn sau:
a) lim3n−2.5n7+3.5n.
a, lim3n−2.5n7+3.5n=lim35n−27.15n+3=0−27.0+3=−23
Tìm các giới hạn sau: b, lim1+2+22+...+2n1+3+32+...+3n.
b, lim1+2+22+...+2n1+3+32+...+3n=lim2n+1−13n+1−12=lim2.23n+1−13n+11−13n+1=0.
Tìm các giới hạn sau:
a) lim11.3+13.5+...+12n−12n+1.
Hướng dẫn giải
a) Do
12k−12k+1=12.2k+1−2k−12k−12k+1=1212k−1−12k+1
Suy ra lim11.3+13.5+...+12k−12k+1
=lim1211−13+13−15+...+12n−1−12n+1=lim121−12n+1=12.
Tìm các giới hạn sau: b, lim1−1221−132...1−1n2.
b) Ta có 1−1221−1321−142...1−1n−121−1n2
=12.32.23.43.34.54...n−2n−1.nn−1.n−1n.n+1n=n+12n.
Suy ra lim1−1221−132...1−1n2=limn+12n=lim1+1n2=12.
Tính các tổng sau:
a) S=13+132+...+13n+...
Tính các tổng sau:
a) S=13+132+...+13n+...
Tính các tổng sau: b, S=16−8+4−2+...
b) Xét dãy số u1=16,q=−12.là một cấp số nhân có u1=16,q=−12.
Suy ra S=16−8+4−2+... có limS=161+12=323.
Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: α=0,353535...
Hướng dẫn giải
a) α=0,353535...=0,35+0,0035+...=35102+35104+...=351021−1102=3599.
Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: b, β=5,231231...
b) β=5,231231...=5+0,231+0,000231+...=5+231103+231106+...
=5+2311031−1103=5+231999=1742333.
Tính giới hạn sau: limn2+4nn2+4n+5.
Hướng dẫn giải
Nhập vào máy tính biểu thức sau:
Sau đó bấm CALC.
Nhậpx=9999999999, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:
Kết quả: Vậy giới hạn của dãy số bằng 1
Tính giới hạn sau lim4n2−5n−2n.
Hướng dẫn giải
Nhập vào máy tính biểu thức sau:
Sau đó bấm CACL.
Nhập: x=9999999999 sau đó bấm “=”, ta được kết quả:
Kết quả: Vậy giới hạn của dãy số bằng −1,25=−54.
Cho hàm số f(x) xác định trên . Khẳng định nào sau đây đúng?
Nếu hàm số f(x) liên tục trên a,bvà fafb>0thì phương trình không có nghiệm trong khoảng (a,b)
Nếu fafb<0thì phương trình f(x) =0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a,b)
Nếu hàm số f(x) liên tục, tăng trên a,bvàfafb>0thì phương trình không có nghiệm trong khoảng (a,b)
Nếu phương trình fx) =0 có nghiệm trong khoảng (a,b) thì hàm số f(x) phải liên tục trên (a, b)
Vì fafb>0 nên f(a) và f(b) cùng dương hoặc cùng âm. Mà f(x) liên tục, tăng trên a; b nên đồ thị hàm f(x) nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành trên a; b. Vậy phương trình f(x) =0 không có nghiệm trong khoảng (a,b)
Trong các khẳng định sau
(I) f(x) liên tục trên đoạn a; b và fa.fb<0 thì phương trình f(x)=0 có nghiệm
(II) f(x) không liên tục trên a,b và fa.fb≥0 thì phương trìnhf(x)=0 vô nghiệm
(III) f(x) liên tục trên đoạn a,b và fa.fb>0 thì tồn tại ít nhất một số c∈a; b sao cho fc=0
(IV) f(x) liên tục trên đoạn a,b và fa.fb<0 thì tồn tại ít nhất một số c∈a; b sao cho fc=0
Số khẳng định đúng là
1
2
3
4
Chọn đáp án B
Cho phương trình 2x4−5x2+x+1=0. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.Phương trình đã cho không có nghiệm trong khoảng −1; 1
B.Phương trình đã cho chỉ có một nghiệm trong khoảng −2; 1
C.Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng 0:2
D.Phương trình đã cho không có nghiệm trong khoảng −2; 0
Phương trình đã cho không có nghiệm trong khoảng −1; 1
Phương trình đã cho chỉ có một nghiệm trong khoảng −2; 1
Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng 0:2
Phương trình đã cho không có nghiệm trong khoảng −2; 0
Đặt fx=2x4−5x2+x+1 , hàm số fx liên tục trên 0; 2
Ta có f0=1; f1=−1⇒f0.f1<0 nên phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng 0; 2
Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trìnhx3−3x2+2m−2x+m−3=0 có ba nghiệm x1, x2, x3 thỏa mãn x1<−1<x2<x3
m>−5
m<−5
m≤−5
m<−6
Đặt fx=x3−3x2+2m−2x+m−3. Ta thấy hàm số liên tục trên R
Điều kiện cần: af−1>0⇔−m−5>0⇔m<−5
Điều kiện đủ: với m<−5 ta có
+) limx→−∞fx=−∞ nên tồn tại a<−1 sao cho fa<0
Mặt khác f−1=−m−5>0. Suy ra fa.f−1<0
Do đó tồn tại x1∈a; −1 sao cho fx1=0
+) f0=m−3<0, f−1>0. Suy ra f0.f−1<0
Do đó tồn tại x2∈−1; 0 sao cho fx2=0
+) limx→+∞fx=+∞ nên tồn tại b>0 sao cho fb>0
Mặt khác f0<0. Suy ra f0.fb<0
Do đó tồn tại x3∈0; b sao cho fx3=0. Vậy m<−5 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 4a+c>8+2b và a+b+c<−1. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình x3+ax2+bx+c=0 bằng
1
2
3
0
Xét phương trình: x3+ax2+bx+c=01
Đặt: fx=x3+ax2+bx+c
Từ giả thiết 4a+c>8+2b⇒−8+4a−2b+c>0a+b+c<−1⇒1a+b+c<0⇒f1<0
Do đó f−2.f1<0 nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong −2; 1
Ta nhận thấy:
limx→−∞fx=−∞ mà f−2>0 nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm α∈−∞; −2
Tương tự: limx→+∞fx=+∞ mà f1<0 nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm β∈1; +∞
Như vậy phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt, mặt khác phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm.
Cho phương trìnhx3+ax2+bx+c=0(1) trong đó a, b, c là các tham số thực. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A.Phương trình (1) vô nghiệm với mọi a, b, c
B.Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c
C.Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm với mọi a, b, c
D.Phương trình (1) có đúng ba nghiệm phân biệt với mọi a, b, c
Phương trình (1) vô nghiệm với mọi a, b, c
Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c
Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm với mọi a, b, c
Phương trình (1) có đúng ba nghiệm phân biệt với mọi a, b, c
Xét hàm số fx=x3+ax2+bx+c liên tục trên R
limx→−∞fx=−∞; limx→+∞fx=+∞ nên sẽ tồn tại số α→−∞ và sao cho fα.fβ<0
Vậy phương trình (1) có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c.
Ta lại có với a=b=0; c=1 thì phương trình có đúng một nghiệm thực
Tìm giá trị của tham số m để phương trình m2−5x+6x+52019x2020+2x+2x−1=0 có nghiệm
m∈2; 3
m∈ℝ\2; 3
m∈∅
m∈ℝ
Bổ đề: Phương trình đa thức bậc lẻ a2n+1x2n+1+a2nx2n+...+a1x+a0=0 luôn có ít nhất một nghiệm, với mọi giá trị của ai, i=2n+1, 0¯
Chứng minh:
+ Xét hàm số fx=a2n+1x2n+1+a2nx2n+...+a1x+a0 đây là hàm đa thức, xác định trên R nên liên tục trên R
Ta có: limx→+∞fx=limx→+∞a2n+1x2n+1+a2nx2n+...+a1x+a0=+∞ nên tồn tại x1∈ℝ sao cho fx1>0
limx→−∞fx=limx→+∞a2n+1x2n+1+a2nx2n+...+a1x+a0=−∞ nên tồn tại x2∈ℝ sao cho fx2<0
Do đó tồn tại x0∈x1; x2 sao cho fx0=0
Vậy phương trình đa thức bậc lẻ luôn có ít nhất một nghiệm, với mọi giá trị của ai, i=2n+1, 0¯
Áp dụng:
Đặt fx=m2−5x+6x+52019x2020+2x+2x−1 Hàm số f(x) liên tục trên R
+ Xét m2−5m+6⇔m=2m=3. Khi đó phương trình trở thành 2x−1=0⇔x=12
+ Xét m2−5m+6≠0⇒m≠2m≠3.
Hàm f(x) có bậc cao nhất là 2019+2020=4039 là đa thức bậc lẻ nên f(x)=0 có ít nhất một nghiệm với ∀m∈ℝ
