26 câu Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm có đáp án

Hướng dẫn giải

a) Do  

Suy ra  $\lim \left(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\mathrm{...}+\frac{1}{\left(2k-1\right)\left(2k+1\right)}\right)$

$=\lim \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\mathrm{...}+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)=\lim \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{1}{2}.$

b) Ta có  $\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right)\mathrm{...}\left(1-\frac{1}{{\left(n-1\right)}^2}\right)\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$

 $=\frac{1}{2}.\frac{3}{2}.\frac{2}{3}.\frac{4}{3}.\frac{3}{4}.\frac{5}{4}\mathrm{...}\frac{n-2}{n-1}.\frac{n}{n-1}.\frac{n-1}{n}.\frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{2n}.$

Suy ra $\lim \left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\mathrm{...}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim \frac{n+1}{2n}=\lim \frac{1+\frac{1}{n}}{2}=\frac{1}{2}.$

Tính các tổng sau:

a)  $S=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{3^n}+\mathrm{...}$

b) Xét dãy số $u_1=16,q=-\frac{1}{2}.$là một cấp số nhân có  $u_1=16,q=-\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

a) $\alpha =0,\mathrm{353535...}=0,35+0,0035+\mathrm{...}=\frac{35}{{10}^2}+\frac{35}{{10}^4}+\mathrm{...}=\frac{\frac{35}{{10}^2}}{1-\frac{1}{{10}^2}}=\frac{35}{99}.$

b)  $\beta =5,\mathrm{231231...}=5+0,231+0,000231+\mathrm{...}=5+\frac{231}{{10}^3}+\frac{231}{{10}^6}+\mathrm{...}$

$=5+\frac{\frac{231}{{10}^3}}{1-\frac{1}{{10}^3}}=5+\frac{231}{999}=\frac{1742}{333}.$

Hướng dẫn giải

Nhập vào máy tính biểu thức sau:

Sau đó bấm CALC.

Nhập$x=9999999999$ , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Hướng dẫn giải

Nhập vào máy tính biểu thức sau:

Sau đó bấm CACL.

Nhập: $x=9999999999$ sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả: Vậy giới hạn của dãy số bằng $-1,25=-\frac{5}{4}.$

Đặt $f\left(x\right)=2x^4-5x^2+x+1$, hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $\left(0;2\right)$

Ta có $f\left(0\right)=1;f\left(1\right)=-1\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)<0$ nên phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng $\left(0;2\right)$

Đặt $f\left(x\right)=x^3-3x^2+\left(2m-2\right)x+m-3$. Ta thấy hàm số liên tục trên R

Điều kiện cần: $af\left(-1\right)>0\iff -m-5>0\iff m<-5$

Điều kiện đủ: với $m<-5$ ta có

+) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ nên tồn tại $a<-1$ sao cho $f\left(a\right)<0$

Mặt khác $f\left(-1\right)=-m-5>0$. Suy ra $f\left(a\right).f\left(-1\right)<0$

Do đó tồn tại $x_1\in \left(a;-1\right)$ sao cho $f\left(x_1\right)=0$

+) $f\left(0\right)=m-3<0,f\left(-1\right)>0$. Suy ra $f\left(0\right).f\left(-1\right)<0$

Do đó tồn tại $x_2\in \left(-1;0\right)$  sao cho $f\left(x_2\right)=0$

+) $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ nên tồn tại $b>0$ sao cho $f\left(b\right)>0$

Mặt khác $f\left(0\right)<0$. Suy ra $f\left(0\right).f\left(b\right)<0$

Do đó tồn tại $x_3\in \left(0;b\right)$ sao cho $f\left(x_3\right)=0$. Vậy $m<-5$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Xét phương trình: $x^3+a{x}^2+bx+c=0\left(1\right)$

Đặt: $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$

Từ giả thiết $\left\{\begin{array}{l}4a+c>8+2b\Rightarrow -8+4a-2b+c>0\\ a+b+c<-1\Rightarrow 1a+b+c<0\Rightarrow f\left(1\right)<0\end{array}\right.$

Do đó $f\left(-2\right).f\left(1\right)<0$ nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong $\left(-2;1\right)$

Ta nhận thấy:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ mà $f\left(-2\right)>0$ nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm $\alpha \in \left(-\infty ;-2\right)$

Tương tự: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ mà $f\left(1\right)<0$ nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm $\beta \in \left(1;+\infty \right)$

Như vậy phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt, mặt khác phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm.

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$ liên tục trên R

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ nên sẽ tồn tại số $\alpha \to -\infty$ và  sao cho $f\left(\alpha \right).f\left(\beta \right)<0$

Vậy phương trình (1) có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c.

Ta lại có với $a=b=0;c=1$ thì phương trình có đúng một nghiệm thực

Bổ đề: Phương trình đa thức bậc lẻ $a_{2n+1}{x}^{2n+1}+a_{2n}{x}^{2n}+\mathrm{...}+a_{1}x+a_0=0$ luôn có ít nhất một nghiệm, với mọi giá trị của $a_i,i=\overline{2n+1,0}$

Chứng minh:

+ Xét hàm số $f\left(x\right)=a_{2n+1}{x}^{2n+1}+a_{2n}{x}^{2n}+\mathrm{...}+a_{1}x+a_0$ đây là hàm đa thức, xác định trên R nên liên tục trên R

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[a_{2n+1}{x}^{2n+1}+a_{2n}{x}^{2n}+\mathrm{...}+a_{1}x+a_0\right]=+\infty$ nên tồn tại $x_1\in ℝ$ sao cho $f\left(x_1\right)>0$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[a_{2n+1}{x}^{2n+1}+a_{2n}{x}^{2n}+\mathrm{...}+a_{1}x+a_0\right]=-\infty$ nên tồn tại $x_2\in ℝ$ sao cho $f\left(x_2\right)<0$

Do đó tồn tại $x_0\in \left(x_1;x_2\right)$ sao cho $f\left(x_0\right)=0$

Vậy phương trình đa thức bậc lẻ luôn có ít nhất một nghiệm, với mọi giá trị của $a_i,i=\overline{2n+1,0}$

Áp dụng:

Đặt $f\left(x\right)=\left(m^2-5x+6\right){\left(x+5\right)}^{2019}\left(x^{2020}+2x\right)+2x-1$ Hàm số f(x)  liên tục trên R

+ Xét $m^2-5m+6\iff \left[\begin{array}{l}m=2\\ m=3\end{array}\right.$. Khi đó phương trình trở thành $2x-1=0\iff x=\frac{1}{2}$

+ Xét $m^2-5m+6\ne 0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m\ne 2\\ m\ne 3\end{array}\right.$.

Hàm f(x)  có bậc cao nhất là $2019+2020=4039$ là đa thức bậc lẻ nên f(x)=0  có ít nhất một nghiệm với $\forall m\in ℝ$