31 câu Dạng 5: Tìm giới hạn một bên và giới hạn vô cùng có đáp án

Hướng dẫn giải

Do $x\to 3^{-}\Rightarrow x<3$, như vậy $\left|x-3\right|=-x+3$.

Ta có $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{\left|x-3\right|}{5x-1}=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{-x+3}{5x-15}=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{-1}{5}=\frac{-1}{5}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{x^2+4x+3}{\sqrt{x^3+x^2}}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}{\sqrt{x^2\left(x+1\right)}}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}\left(x+3\right)}{\sqrt{x^2}}=\frac{0}{1}=0$.

Một bài toán về định lí tồn tại giới hạn $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L\iff \underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x-3\right)=-2\\ \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(1-\sqrt{7x^2+2}\right)=-2\end{array}\right.$.

Do $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-2$nên $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=-2$.

Sau đây ta sẽ xét một số bài tập về kết quả giới hạn một phía bằng vô cùng.

Hướng dẫn giải

$L=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x^2-4}\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\right)$.

$=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x+2-1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x+1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

Ta có $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x-2\right)=0$  và $x\to 2^{-}\Rightarrow x<2\Rightarrow x-2<0$

Mặt khác $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x+1}{x+2}=\frac{3}{4}>0$  .

Kết luận $L=-\infty$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{2x^2+1}+x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2\left(2+\frac{1}{x^2}\right)}+x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }x\left(-\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}+1\right)=+\infty$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x^2-4x}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}-\frac{4}{x^2}}-1\right)=-\infty$.

Sau đây chúng ta xét các bài tập về tìm điều kiện để tồn tại giới hạn.

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x+m\right)=m;\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x^2+1\right)=1$.

Hàm số có giới hạn tại x=0  khi $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)\iff m=1$.

Hướng dẫn giải

Tại điểm x=-1  ta có  $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\left(3x+b\right)=-3+b=f\left(-1\right)$

và $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\left(x+a\right)=-1+a$

Hàm số có giới hạn tại x=-1  khi và $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ chỉ khi .

Cách 1:

Ta có $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x^3-x^2}}{\sqrt{x-1}+1-x}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}+1-x}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x}{1-\sqrt{x-1}}=1$.

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^3-x^2}}{\sqrt{x-1}+1-x}$.

Vì $x\to 1^{+}$ nên nhập $CALCx=1+\frac{1}{{10}^{11}}$.

Cách 1:

Ta có $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2-x+1}{x^2-1}=+\infty$.

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2-x+1}{x^2-1}$.

Cách 1:

Ta có $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{\left|x-3\right|}{x-3}=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x-3}=1$.

Mặt khác $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{\left|x-3\right|}{x-3}=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{3-x}{x-3}=-1$.

Do $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{\left|x-3\right|}{x-3}\ne \underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{\left|x-3\right|}{x-3}$. Nên không tồn tại giới hạn.

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f\left(x\right)=\frac{\left|x-3\right|}{x-3}$.

Vì $x\to 3^{+}$ nên nhập $CALCx=3+\frac{1}{{10}^{11}}$.

Vì $x\to 3^{-}$ nên nhập $CALCx=3-\frac{1}{{10}^{11}}$.

Hai giá trị không gần nhau nên không tồn tại giới hạn.

Cách 1:

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2-x+1}-2x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-3x^2-x+1}{\sqrt{x^2-x+1}+2x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-3-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{\sqrt{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}}+\frac{2}{x}}=-\infty$.

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f\left(x\right)=\left(\sqrt{x^2-x+1}-2x\right)$.

Vì $x\to +\infty$ nên nhập $CALCx={10}^{10}$.

Cách 1:

Ta có $B=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(2x+\sqrt{4x^4-x+1}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-4x^4+4x^2+x-1}{2x-\sqrt{4x^4-x+1}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-4+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4}}{\frac{2}{x^3}-\sqrt{\frac{4}{x^4}-\frac{1}{x^7}+\frac{1}{x^8}}}=+\infty$.

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f\left(x\right)=\left(2x+\sqrt{4x^4-x+1}\right)$.

Vì $x\to -\infty$ nên nhập $CALCx=-{10}^{10}$.

Cách 1:

Ta có $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(\frac{1}{x^3-1}-\frac{1}{x-1}\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{1}{x-1}\left(\frac{1}{x^2+x+1}-1\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{-2}{3(x-1)}=-\infty$.

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x^3-1}-\frac{1}{x-1}$.

Vì $x\to 1^{+}$ nên nhập $CALCx=1+\frac{1}{{10}^{10}}$.

Cách 1:

Ta có $B=\underset{x\to -\infty }{\lim }x\left(\sqrt{4x^2+1}-x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x\left(3x^2+1\right)}{\sqrt{4x^2+1}+x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3+\frac{1}{x^2}}{-\sqrt{\frac{4}{x^4}+\frac{1}{x^6}}+\frac{1}{x^2}}=-\infty$.

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f\left(x\right)=x\left(\sqrt{4x^2+1}-x\right)$.

Vì $x\to -\infty$ nên nhập $CALCx=-{10}^{10}$.

Với hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{4-x^2},\text{ khi }-2\le x\le 2\\ \frac{x^2-4}{x-2},\text{ khi }x>2\end{array}\right.$. Khi đó $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\sqrt{4-x^2}=0$.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(\sqrt{x-2}+3\right)=3\\ \underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(ax-1\right)=2a-1\end{array}\right.$

Vậy để tồn tại $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$ thì $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$

$\iff 3=2a-1$

$\iff a=2$.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(1-\sqrt{7x^2+2}\right)=-2\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(m-3\right)=m-3\\ f\left(1\right)=2m-13\end{array}\right.$

Để tồn tại $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$ thì $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)\iff -2=m-3=2m-13$.

Vậy không tồn tại m.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\sqrt{\frac{x^2+1}{x^3-x+6}}=\sqrt{\frac{1}{3}}\\ \underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left(b+\sqrt{3}\right)=b+\sqrt{3}\end{array}\right.$

Vậy để tồn tại $\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)$ thì $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)\iff \sqrt{\frac{1}{3}}=b+\sqrt{3}\iff b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\left(m{x}^2-x+m^2\right)=m^2+m+1\\ \underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left(\frac{x^3+1}{x+1}\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left(x^2-x+1\right)=3\end{array}\right.$

Vậy để tồn tại $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)$ thì $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$

$\iff m^2+m+1=3\iff m=1;m=-2$.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{3-x}{\sqrt{x+1}-2}=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{\left(3-x\right)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}{x-3}=-4\\ \underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }m=m\end{array}\right.$

Vậy để tồn tại $\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)$ thì $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)\iff m=-4$.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{\sqrt[3]{3x+2}-2}{x-2}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{3\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(\sqrt[3]{{\left(3x+2\right)}^2}+2\sqrt[3]{3x+2}+4\right)}=\frac{1}{4}\\ \underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(ax+\frac{1}{4}\right)=2a+\frac{1}{4}\end{array}\right.$

Vậy để tồn tại $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$ thì $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$

$\iff 2a+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\iff a=0$.

Vì hàm số có giới hạn tại x=2  và x=6  nên ta có $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)\\ \underset{x\to 6^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 6^{-}}{\lim }f\left(x\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2a+b=0\\ 6a+b=10\end{array}\right.$.

Để hàm số có giới hạn tại x=-2  và x=0  thì

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\left(ax+b-1\right)=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{x^2-4}{x+2}\iff -2a+b-1=-4\left(1\right)\\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{2\sqrt{x+1}-\sqrt[3]{8-x}}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(ax+b-1\right)\iff b-1=\frac{13}{12}\left(2\right)\end{array}\right.$ Từ (1) và (2) ta có $\left\{\begin{array}{l}-2a+b=-3\\ b-1=\frac{13}{12}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{61}{24}\\ b=\frac{25}{12}\end{array}\right.$.