31 câu Dạng 5: Tìm giới hạn một bên và giới hạn vô cùng có đáp án
31 câu hỏi
Tìm giới hạn limx→3−x−35x−1.
Hướng dẫn giải
Do x→3−⇒x<3, như vậy x−3=−x+3.
Ta có limx→3−x−35x−1=limx→3−−x+35x−15=limx→3−−15=−15.
Cho hàm số
fx=5x4−6x2−x khi x≥1−x3+3x khi x<1 Tính giới hạn
K=limx→1fx
Hướng dẫn giải
Ta có limx→1−fx=limx→1−−x3+3x=−1+3=2;
limx→1+fx=limx→1+5x4−6x2−x=−2
Do limx→1−fx≠limx→1+fx nên không tồn tại limx→1fx
Tính giới hạn limx→2x2−3x+2x−2
Hướng dẫn giải
Ta có limx→2+x−2x−1x−2=limx→2+x−2x−1x−2
=limx→2+x−1=1.
limx→2+x−2x−1x−2=limx→2+−x−2x−1x−2.
=limx→2+1−x=−1
⇒limx→2−x−2x−1x−2≠limx→2+x−2x−1x−2
Vậy không tồn tại limx→2x2−3x+2x−2.
Tìm giới hạn limx→0+2x+xx−x
Ta có: limx→0+2x+xx−x=limx→0+x2x+1xx−1=limx→0+2x+1x−1=1−1=−1
Tìm giới hạn limx→−1+x2+4x+3x3+x2
Hướng dẫn giải
Ta có limx→−1+x2+4x+3x3+x2=limx→−1+x+1x+3x2x+1=limx→−1+x+1x+3x2=01=0.
Một bài toán về định lí tồn tại giới hạn limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L.
Tìm limx→1fx với fx=x−3 khi x≤11−7x2+2 khi x>1
Hướng dẫn giải
Ta có limx→1−fx=limx→1−x−3=−2limx→1+fx=limx→1+1−7x2+2=−2.
Do limx→1−fx=limx→1+fx=−2 nên limx→1fx=−2.
Sau đây ta sẽ xét một số bài tập về kết quả giới hạn một phía bằng vô cùng.
Tìm giới hạn L=limx→2−1x−2−1x2−4
Hướng dẫn giải
L=limx→2−1x−2−1x2−4=limx→2−1x−2−1x−2x+2.
=limx→2−x+2−1x−2x+2=limx→2−x+1x−2x+2
Ta có limx→2−x−2=0 và x→2−⇒x<2⇒x−2<0
Mặt khác limx→2−x+1x+2=34>0 .
Kết luận L=−∞ .
Tìm limx→−3+x+x+12x+32
Hướng dẫn giải
L=limx→−3+x+x+12x+32=limx→−3+x2−x−12x+32x−x+12=limx→−3+x−4x+3x−x+12
Ta có limx→−3+x−4x−x+12=76.
Mặt khác limx→−3+x+3=0 và x→−3+⇒x>−3⇒x+3>0.
Kết luận L=+∞
Tìm limx→−∞2x2+1+x
Hướng dẫn giải
Ta có limx→−∞2x2+1+x=limx→−∞x22+1x2+x=limx→−∞x−2+1x2+1=+∞.
Vì limx→−∞x=−∞limx→−∞−2+1x2+1=1−2<0 .
Tìm limx→+∞x2−4x3−x
Hướng dẫn giải
Ta có limx→+∞x2−4x3−x=limx→+∞x1x−4x23−1=−∞.
Sau đây chúng ta xét các bài tập về tìm điều kiện để tồn tại giới hạn.
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số fx=x+m khi x<0x2+1 khi x≥0 có giới hạn tại x=0.
Hướng dẫn giải
Ta có limx→0−fx=limx→0−x+m=m; limx→0+fx=limx→0+x2+1=1.
Hàm số có giới hạn tại x=0 khi limx→0−fx=limx→0+fx⇔m=1.
Biết hàm số y=fx=3x+b, khi x≥−1x+a, khi x>−1 cơ giới hạn tại x=−1. Tính giá trị của a-b ?
Hướng dẫn giải
Tại điểm x=-1 ta có limx→−1−fx=limx→−1−3x+b=−3+b=f−1
và limx→−1+fx=limx→−1+x+a=−1+a
Hàm số có giới hạn tại x=-1 khi và limx→−1−fx=limx→−1+fx chỉ khi .
Điều này tương đương với−3+b=−1+a⇒a−b=−2.
Kết quả limx→0−1x2−2x3 là
-∞
0
+∞
không tồn tại
ta có: limx→0−1x2−2x3=limx→0−1x2−limx→0−2x3=+∞
Kết quả limx→1+x3−x2x−1+1−x là
-1
0
1
+∞
Cách 1:
Ta có limx→1+x3−x2x−1+1−x=limx→1+xx−1x−1+1−x=limx→1+x1−x−1=1.
Cách 2:
(Sử dụng MTCT)
Nhập hàm số fx=x3−x2x−1+1−x.
Vì x→1+ nên nhập CALC x=1+11011.
Kết quả đúng của limx→1+x2−x+1x2−1 bằng
-∞
-1
1
+∞
Cách 1:
Ta có limx→1+x2−x+1x2−1=+∞.
Cách 2:
(Sử dụng MTCT)
Nhập hàm số fx=x2−x+1x2−1.
Vì x→1+ nên nhập CALC x=1+11011.
Giá trị đúng của limx→3x−3x−3 bằng
Không tồn tại
0
1
+∞
Cách 1:
Ta có limx→3+x−3x−3=limx→3+x−3x−3=1.
Mặt khác limx→3−x−3x−3=limx→3−3−xx−3=−1.
Do limx→3+x−3x−3≠limx→3−x−3x−3. Nên không tồn tại giới hạn.
Cách 2:
(Sử dụng MTCT)
Nhập hàm số fx=x−3x−3.
Vì x→3+ nên nhập CALC x=3+11011.
Vì x→3− nên nhập CALC x=3−11011.
Hai giá trị không gần nhau nên không tồn tại giới hạn.
Giới hạn A=limx→+∞x2−x+1−2x kết quả bằng
+∞
-∞
-12
0
Cách 1:
Ta có limx→+∞x2−x+1−2x=limx→+∞−3x2−x+1x2−x+1+2x=limx→+∞−3−1x+1x21x2−1x3+1x4+2x=−∞.
Cách 2:
(Sử dụng MTCT)
Nhập hàm số fx=x2−x+1−2x.
Vì x→+∞ nên nhập CALC x=1010.
Giới hạn B=limx→−∞2x+4x4−x+1 có kết quả là
+∞
-∞
14
0
Cách 1:
Ta có B=limx→−∞2x+4x4−x+1=limx→−∞−4x4+4x2+x−12x−4x4−x+1=limx→−∞−4+1x2+1x3−1x42x3−4x4−1x7+1x8=+∞.
Cách 2:
(Sử dụng MTCT)
Nhập hàm số fx=2x+4x4−x+1.
Vì x→−∞ nên nhập CALC x=−1010.
Cho hàm số fx=1x3−1−1x−1. Tìm limx→1+fx.
-∞
-23
23
+∞
Cách 1:
Ta có limx→1+1x3−1−1x−1=limx→1+1x−11x2+x+1−1=limx→1+−23(x−1)=−∞.
Cách 2:
(Sử dụng MTCT)
Nhập hàm số fx=1x3−1−1x−1.
Vì x→1+ nên nhập CALC x=1+11010.
Giới hạn B=limx→−∞x4x2+1−x bằng
+∞
+∞
14
0
Cách 1:
Ta có B=limx→−∞x4x2+1−x=limx→−∞x3x2+14x2+1+x=limx→−∞3+1x2−4x4+1x6+1x2=−∞.
Cách 2:
(Sử dụng MTCT)
Nhập hàm số fx=x4x2+1−x.
Vì x→−∞ nên nhập CALC x=−1010.
Tìm limx→−2−fx với fx=2x2−3, khi x<25, khi x=23x−1, khi x>2
không tồn tại
-∞
2
-7
Với fx=2x2−3, khi x<25, khi x=23x−1, khi x>2 Ta có limx→−2−fx=limx→−2−3x−1=−7
Cho hàm số fx=x2+11−x, khi x<12x−2, khi x≥1. Khi đó limx→1−fx bằng
0
2
-∞
+∞
Với hàm số fx=x2+11−x, khi x<12x−2, khi x≥1Khi đó limx→1−fx=limx→1−x2+11−x=+∞
Cho fx=4−x2, khi −2≤x≤2x2−4x−2, khi x>2. Giá trị của limx→−2+fx là
0
4
+∞
không tồn tại
Với hàm số fx=4−x2, khi −2≤x≤2x2−4x−2, khi x>2. Khi đó limx→−2+fx=limx→−2+4−x2=0.
Giá trị thực của tham số a để hàm số fx=x−2+3, khi x≥2ax−1, khi x<2 tồn tại limx→2fx là
2
3
4
1
Ta có limx→2+fx=limx→2+x−2+3=3limx→2−fx=limx→2−ax−1=2a−1
Vậy để tồn tại limx→2fx thì limx→2+fx=limx→2−fx
⇔3=2a−1
⇔a=2.
Giá trị thực của tham số m để hàm số fx=m−3 khi x<12m−13 khi x=11−7x2+2 khi x>1 tồn tại limx→1fx là
không tồn tại
m =1
m=5
m = 112
Ta có limx→1+fx=limx→1+1−7x2+2=−2limx→1−fx=limx→1−m−3=m−3f1=2m−13
Để tồn tại limx→1fx thì limx→1+fx=limx→1−fx=f1⇔−2=m−3=2m−13.
Vậy không tồn tại m.
Tìm các giá trị thực của tham số b để hàm số fx=x2+1x3−x+6, khi x>3b+3, khi x≤3 có giới hạn tại x=3.
3
-3
233
-233
Ta có limx→3+fx=limx→3+x2+1x3−x+6=13limx→3−fx=limx→3−b+3=b+3
Vậy để tồn tại limx→3fx thì limx→3+fx=limx→3−fx⇔13=b+3⇔b=−233.
Các giá trị thực của tham số m để hàm số hx=x3+1x+1, khi x<−1mx2−x+m2, khi x≥−1 có giới hạn tại x=−1 là
m=−1;m=2
m=−1;m=−2
m=1;m=−2
m=1;m=2
Ta có limx→−1+fx=limx→−1+mx2−x+m2=m2+m+1limx→−1−fx=limx→−1−x3+1x+1=limx→−1−x2−x+1=3
Vậy để tồn tại limx→−1fx thì limx→−1+fx=limx→−1−fx
⇔m2+m+1=3⇔m=1;m=−2.
Giá trị thực của tham số m để hàm số fx=3−xx+1−2, khi x>3m khi x≤3 có giới hạn limx→3fx là bao nhiêu?
m=-1
m= 4
m=-4
m=1
Ta có limx→3+fx=limx→3+3−xx+1−2=limx→3+3−xx+1+2x−3=−4limx→3−fx=limx→3−m=m
Vậy để tồn tại limx→3fx thì limx→3+fx=limx→3−fx⇔m=−4.
Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số a để hàm số fx=a2x2 khi x≤22−ax2 khi x>2 có giới hạn tạix=2. Tổng các giá trị của S là
3
0
1
-1
Ta có limx→2+fx=limx→2+3x+23−2x−2=limx→2+3x−2x−23x+223+23x+23+4=14limx→2−fx=limx→2−ax+14=2a+14
Vậy để tồn tại limx→2fx thì limx→2+fx=limx→2−fx
⇔2a+14=14⇔a=0.
Cho hàm số fx=x−2 khi x≤2ax+b khi 2<x<6x+4 khi x≥6. Biết hàm số fx có giới hạn tại x=2 và x=6. Hệ thức nào sau đây đúng?
2a−b=0
2a+b=0
a−2b=0
a+2b=0
Vì hàm số có giới hạn tại x=2 và x=6 nên ta có limx→2+fx=limx→2−fxlimx→6+fx=limx→6−fx⇔2a+b=06a+b=10.
Cho hàm số fx=2x+1−8−x3x khi x≥0ax+b−1 khi −2<x<0x2−4x+2 khi x≤−2. Tìm a, b để hàm số cùng có giới hạn tại x=-2 và x=0 .
a=6124, b=2512
a=3724, b=112
a=6124, b=112
a=8524, b=2512
Để hàm số có giới hạn tại x=-2 và x=0 thì
limx→−2+ax+b−1=limx→−2−x2−4x+2⇔−2a+b−1=−41limx→0+2x+1−8−x3x=limx→0−ax+b−1⇔b−1=13122 Từ (1) và (2) ta có −2a+b=−3b−1=1312⇔a=6124b=2512.
