24 câu Dạng 3: Dãy số có giới hạn vô cực có đáp án

Hướng dẫn giải

a)  $\lim \frac{n^5+n^4-n-2}{4n^3+6n^2+9}=\lim \frac{n^5\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^4}-\frac{2}{n^5}\right)}{n^3\left(4+\frac{6}{n}+\frac{9}{n^3}\right)}.$

Mà $\lim n^2=+\infty$ và  $\lim \left(\frac{1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^4}-\frac{2}{n^5}}{4+\frac{6}{n}+\frac{9}{n^3}}\right)=\frac{1}{4}>0$

Nên $\lim \frac{n^5+n^4-n-2}{4n^3+6n^2+9}=+\infty .$

b)  

 $=\lim \frac{-n^2.\sqrt[3]{1-\frac{7}{n^3}-\frac{5}{n^5}+\frac{8}{n^6}}}{n\left(1+\frac{12}{n}\right)}$

$=\lim \left(-n\right).\frac{\sqrt[3]{1-\frac{7}{n^3}-\frac{5}{n^5}+\frac{8}{n^6}}}{1+\frac{12}{n}}$

Mà $\lim \left(-n\right)=-\infty$và  $\lim \frac{\sqrt[3]{1-\frac{7}{n^3}-\frac{5}{n^5}+\frac{8}{n^6}}}{1+\frac{12}{n}}=\frac{1}{1}=1>0$

Hướng dẫn giải

a)  $\lim \left(\sqrt{2n+3}-\sqrt{n+1}\right)=\lim \sqrt{n}.\left(\sqrt{2+\frac{3}{n}}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right).$

Do $\lim \sqrt{n}=+\infty$  và  $\lim \left(\sqrt{2+\frac{3}{n}}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right)=\sqrt{2}-1>0.$

Nên $\lim \left(\sqrt{2n+3}-\sqrt{n+1}\right)=+\infty$.

b)  

Do $\lim \left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(2+\frac{3}{n}\right)=1.2=2>0;\lim \sqrt{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^6}}=0$ và  $\sqrt{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^6}}>0.$

Hướng dẫn giải

a)  $\lim \left(5^n-3^{n+1}\right)=\lim 5^n.\left[1-3.{\left(\frac{3}{5}\right)}^n\right].$

Do $\lim 5^n=+\infty$ và $\lim \left[1-3.{\left(\frac{3}{5}\right)}^n\right]=1-3.0=1>0$ nên $\lim \left(5^n-3^{n+1}\right)=+\infty$.

b)  $\lim \frac{{\left(-3\right)}^n-6^n}{{\left(-3\right)}^{n+1}+5^{n+1}}=\lim \frac{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n-1}{3{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n+5{\left(\frac{5}{6}\right)}^n}.$

Do $\lim \left[{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n-1\right]=-1<0;\lim \left[3{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n+5{\left(\frac{5}{6}\right)}^n\right]=0$ và  $3{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n+5{\left(\frac{5}{6}\right)}^n>0$

Nên $\lim \frac{{\left(-3\right)}^n-6^n}{{\left(-3\right)}^{n+1}+5^{n+1}}=-\infty .$ 

Hướng dẫn giải

a)  $\lim \left(\sqrt{n^4+1}+n-1\right)=\lim n^2\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right).$

Do $\lim n^2=+\infty$ và $\lim \left(\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right)=1>0$ nên  $\lim \left(\sqrt{n^4+1}+n-1\right)=+\infty .$

b)  $\lim \left(\frac{1}{3}{n}^3+2\sin 2n+3\right)=\lim n^3\left(\frac{1}{3}+\frac{2\sin 2n}{n^3}+\frac{3}{n^3}\right).$

Mà  $\lim n^3=+\infty$và  $\lim \left(\frac{1}{3}+\frac{2\sin 2n}{n^3}+\frac{3}{n^3}\right)=\frac{1}{3}+0+0=\frac{1}{3}>0.$

(do $\left|\frac{2\sin 2n}{n^3}\right|\le \frac{2}{n^3},\forall n;\lim \frac{2}{n^3}=0\Rightarrow \lim \frac{2\sin 2n}{n^3}=0$)

Nên  $\lim \left(\frac{1}{3}{n}^3+2\sin 2n+3\right)=+\infty .$

Hướng dẫn giải

Cách bấm máy:

Nhập vào máy tính biểu thức sau:

Sau đó bấm CALC.

Nhập: $x=9999999999$, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả: Vậy giới hạn của dãy số bằng  $0,75=\frac{3}{4}.$

Hướng dẫn giải

Cách bấm máy:

Nhập vào máy tính biểu thức sau:

Sau đó bấm CALC.

Nhập $x=9999999999$, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả: Vậy giới hạn của dãy số bằng  $+\infty .$

Ta có $\lim n\sqrt{n+1}=\lim n\sqrt{n}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right)=+\infty .$

Chọnn đáp án D

Ta có $\lim \left(-2n^2+5n\right)=\lim n^2\left(-2+\frac{5}{n}\right)=-\infty$ và $\lim \left(3^n-2^n\right)=\lim 3^n\left(1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right)=+\infty .$ 

Ta có $\lim \frac{2n^2-3n+1}{n+1}=\lim \frac{2-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}.$ Do $\lim \left(2-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}\right)=2$ và $\lim \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)=0$ mà $\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}>0.$ 

Ta có $\lim n=+\infty$  và

$\lim \left(\sqrt{n^2+2n+3}-n+n-\sqrt[3]{n+n^3}\right)=\lim \left(\frac{2n+3}{\sqrt{n^2+2n+3}+n}\right)+\lim \left(\frac{-n}{n^2+n.\sqrt[3]{n+n^3}+{\left(\sqrt[3]{n+n^3}\right)}^2}\right)=1.$ 

Vậy $\lim n\left(\sqrt{n^2+2n+3}-\sqrt[3]{n+n^3}\right)=+\infty .$ 

Chọn đáp án D

Ta có $L=\lim \frac{n\sqrt{2n^2-1}}{\sqrt[3]{n^2+2n}}=\lim \frac{n^2.\sqrt{2-\frac{1}{n^2}}}{\sqrt[3]{n^2\left(\frac{n^2+2n}{n^2}\right)}}=\lim \frac{{\left(\sqrt[3]{n^2}\right)}^3.\sqrt{2-\frac{1}{n^2}}}{\sqrt[3]{n^2}.\sqrt[3]{1+\frac{2}{n^2}}}=\lim \left[{\left(\sqrt[3]{n^2}\right)}^2.\frac{\sqrt{2-\frac{1}{n^2}}}{\sqrt[3]{1+\frac{2}{n^2}}}\right]$ 

Do $\lim \left[\frac{\sqrt{2-\frac{1}{n^2}}}{\sqrt[3]{1+\frac{2}{n^2}}}\right]=\sqrt{2}$ và $\lim {\left(\sqrt[3]{n^2}\right)}^2=+\infty$ nên $L=+\infty$.

Chọn đáp án D

Ta có

$L=\lim \frac{\sqrt[3]{n^6-7n^3-5n+8}}{n+2}=\lim \frac{\sqrt[3]{n^6.\frac{n^6-7n^3-5n+8}{n^6}}}{n+2}=\lim \frac{n^2.\sqrt[3]{1-\frac{7}{n^3}-\frac{5}{n^5}+\frac{8}{n^6}}}{n+2}=\lim \left(n.\frac{\sqrt[3]{1-\frac{7}{n^3}-\frac{5}{n^5}+\frac{8}{n^6}}}{1+\frac{2}{n}}\right)$ 

Ta có $\lim \left(\frac{\sqrt[3]{1-\frac{7}{n^3}-\frac{5}{n^5}-\frac{8}{n^6}}}{1+\frac{2}{n}}\right)=1$ và $\lim n=+\infty .$ 

Từ đó suy ra $L=+\infty .$ Chọn đáp án D

Ta có $\left|\frac{n\cos \frac{\pi }{n}}{n^2+1}\right|\le \frac{n}{n^2+1}$ và $\lim \frac{n}{n^2+1}=0$ nên $\lim \frac{n\cos \frac{\pi }{n}}{n^2+1}=0.$ 

Chọn đáp án B