41 câu Dạng 2 : Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định có đáp án

Hướng dẫn giải

Ta thấy khi thay $x_0=-1$ thì bài toán có dạng $\frac{0}{0}$, như vậy ta nhóm nhân tử chung $\left(x+1\right)$ của cả tử và mẫu để triệt tiêu sau đó đưa về dạng bài toán 1 để tìm kết quả.

Cách 1:$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+2x+1}{2x+2}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{{\left(x+1\right)}^2}{2\left(x+1\right)}$

$=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x+1}{2}=0$.

Cách 2: Bấm máy tính như sau: $\frac{x^2+2x+1}{2x+2}$ CACL

$x=-1+{10}^{-9}$ và nhận được đáp án.

Cách 3: Dùng chức năng lim của máy Vinacal 570ES Plus:${\left.\lim \frac{x^2+2x+1}{2x+2}\right|}_{x\to -1+{10}^{-9}}$

Hướng dẫn giải

$L=\underset{x\to 7}{\lim }\frac{\sqrt[3]{4x-1}-\sqrt{x+2}}{\sqrt[4]{2x+2}-2}$.

$=\underset{x\to 7}{\lim }\left[\frac{\sqrt[3]{4x-1}-3}{\sqrt[4]{2x+2}-2}-\frac{\sqrt{x+2}-3}{\sqrt[4]{2x+2}-2}\right]=\underset{x\to 7}{\lim }\left(A-B\right)$

Ta có

$A=\frac{\sqrt[3]{4x-1}-3}{\sqrt[4]{2x+2}-2}$.

$=\frac{2\left(\sqrt[4]{2x+2}+2\right)\left(\sqrt[4]{{\left(2x+2\right)}^2}+4\right)}{\left(\sqrt[3]{{\left(4x-1\right)}^2}+3\sqrt[3]{4x-1}+9\right)}=\frac{64}{27}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $A=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-3x^2+2}{x^2-4x+3}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x^2-2x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-2x-2}{x-3}=\frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải

Ta có $C=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left(1+5x\right)}^3-{\left(1-6x\right)}^4}{x}$

$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left(1+5x\right)}^3-1}{x}-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left(1-6x\right)}^4-1}{x}$

$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{5x\left[{\left(1+5x\right)}^2+\left(1+5x\right)+1\right]}{x}-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{12x\left(3x-1\right)\left[{\left(1-6x\right)}^2+1\right]}{x}$

$=\underset{x\to 0}{\lim }5\left[{\left(1+5x\right)}^2+\left(1+5x\right)+1\right]-\underset{x\to 0}{\lim }12\left(3x-1\right)\left[{\left(1-6x\right)}^2+1\right]=39$

Hướng dẫn giải

Ta có $D=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(1+x\right)\left(1+2x\right)\left(1+3x\right)-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{6x^3+11x^2+6x}{x}=6$.

Hướng dẫn giải

Ta có

$A=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\mathrm{...}+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^{m-1}+x^{m-2}+\mathrm{...}+x+1\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^{n-1}+x^{n-2}+\mathrm{...}+x+1}{x^{m-1}+x^{m-2}+\mathrm{...}+x+1}=\frac{n}{m}$.

Sau đây chúng ta sẽ tìm một số giới hạn liên quan đến biểu thức chứa dấu căn. Nguyên tắc cơ bản của dạng bài tập này là nhân lượng liên hợp để đưa về đa thức. Ngoài cách đó chúng ta có thể chuyển về đa thức khi thực hiện đặt ẩn phụ tùy bài cụ thể:

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Ta có $4x^3-3x+1={\left(2x-1\right)}^2\left(x+1\right)$.

Suy ra phương trình $\Rightarrow 1+a{x}^2-{\left(bx+2\right)}^2=0$ phải có nghiệm kép là $x=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left(a-b^2\right)x^2-4bx-3=0$ có nghiệm kép $x=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a-b^2=0\\ \Delta =16b^2+4\left(a-b^2\right).3=0\\ \left(a-b^2\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4.b.\frac{1}{2}-3=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a-b^2\ne 0\\ a-b^2=-\frac{4}{3}{b}^2\\ -\frac{4}{3}{b}^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4.b.\frac{1}{2}-3=0\end{array}\right.\Rightarrow a=b=-3$

Thử lại đúng. Vậy $a=b=-3$

Khi đó $\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }\frac{\sqrt{1-3x^2}+3x-2}{4x^3-3x+1}=\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }\frac{\frac{-3{\left(2x-1\right)}^2}{\sqrt{1-3x^2}-\left(3x-2\right)}}{{\left(2x-1\right)}^2\left(x+1\right)}$

$=\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }\frac{-3}{\left(\sqrt{1-3x^2}-3x+2\right)\left(x+1\right)}=-2$.

Suy ra $c=-2$

Vậy ta có phương trình $-3x^4+6x^2-3=0$ có nghiệm $x=\pm 1$.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Nhân liên hợp

Ta có $B=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(\sqrt[n]{1+ax}-1\right)\left(\sqrt[n]{{\left(1+ax\right)}^{n-1}}+\sqrt[n]{{\left(1+ax\right)}^{n-2}}+\mathrm{...}+\sqrt[n]{1+ax}+1\right)}{x\left(\sqrt[n]{{\left(1+ax\right)}^{n-1}}+\sqrt[n]{{\left(1+ax\right)}^{n-2}}+\mathrm{...}+\sqrt[n]{1+ax}+1\right)}$

$B=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a}{\sqrt[n]{{\left(1+ax\right)}^{n-1}}+\sqrt[n]{{\left(1+ax\right)}^{n-2}}+\mathrm{...}+\sqrt[n]{1+ax}+1}=\frac{a}{n}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $N=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[m]{1+ax}-1}{x}-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[n]{1+bx}-1}{x}=\frac{a}{m}-\frac{b}{n}$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng bài toán trên ta có $A=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[n]{1+ax}-1}{x}.\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sqrt[m]{1+bx}-1}=\frac{a}{n}.\frac{m}{b}=\frac{am}{bn}$ .

Ta có

.$\sqrt{1+ax}\sqrt[3]{1+bx}-1=\sqrt{1+ax}\left(\sqrt[3]{1+bx}-1\right)+\left(\sqrt{1+ax}-1\right)$

$B=\underset{x\to 0}{\lim }\sqrt{1+ax}\frac{\sqrt[3]{1+bx}-1}{x}+\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+ax}-1}{x}\Rightarrow B=\frac{a}{2}+\frac{b}{3}$

Hướng dẫn giải

Ta có $L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left(1+nx\right)}^m-\left(1+mnx\right)}{x^2}-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left(1+mx\right)}^n-\left(1+mnx\right)}{x^2}=\frac{mn\left(n-m\right)}{2}$.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Đặt $y=\sqrt[n]{\left(2x+1\right)\left(3x+1\right)\left(4x+1\right)}\Rightarrow x\to 0$ thì $y\to 1$.

Ta có$\sqrt[n]{\left(2x+1\right)\left(3x+1\right)\left(4x+1\right)}-1=y-1$ .

Lại có $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{y^n-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(2x+1\right)\left(3x+1\right)\left(4x+1\right)-1}{x}=9$.

Do đó $F=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{y-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{y^n-1}{x\left(y^{n-1}+y^{n-2}+\mathrm{...}+y+1\right)}=\frac{9}{n}$

Để tiếp tục ta xét một số bài toán tìm giới hạn của hàm ẩn và giới hạn có tham số sau.

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x^2+x\right)f\left(x\right)+2}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x^2+x\right)\left(f\left(x\right)+1\right)-x^2-x+2}{x-1}$

$=\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{\left(x^2+x\right)\left(f\left(x\right)+1\right)}{x-1}-x-2\right)=-5$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+ax+1}-\sqrt{bx+1}}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(x^2+ax+1\right)-\left(bx+1\right)}{x\left(\sqrt{x^2+ax+1}+\sqrt{bx+1}\right)}$

$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+\left(a-b\right)x}{x\left(\sqrt{x^2+ax+1}+\sqrt{bx+1}\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+\left(a-b\right)}{\sqrt{x^2+ax+1}+\sqrt{bx+1}}=\frac{a-b}{2}$.

Lại có $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+ax+1}-\sqrt{bx+1}}{x}=1010\iff \frac{a-b}{2}=1010\iff a-b=2020$ .

Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}a+b=2020\\ a-b=2020\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2020\\ b=0\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải

Vì $\underset{x\to -5}{\lim }\frac{x^2+mx+n}{x-5}=3$ nên x=-5 là nghiệm của phương trình  

$x^2+mx+n=0$.

$\Rightarrow -5m+n+25=0\iff n=-25+5m$

Khi đó $\underset{x\to -5}{\lim }\frac{x^2+mx+n}{x-1}=\underset{x\to -5}{\lim }\frac{x^2+mx+5m-25}{x+5}=\underset{x\to -5}{\lim }\left(x-5+m\right)=m-10$

$\iff m=13\Rightarrow n=40\Rightarrow mn=520$.