41 câu Dạng 2 : Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định có đáp án
41 câu hỏi
Tính giới hạn limx→−1x2+2x+12x+2.
Hướng dẫn giải
Ta thấy khi thay x0=−1 thì bài toán có dạng 00, như vậy ta nhóm nhân tử chung x+1 của cả tử và mẫu để triệt tiêu sau đó đưa về dạng bài toán 1 để tìm kết quả.
Cách 1:limx→−1x2+2x+12x+2=limx→−1x+122x+1
=limx→−1x+12=0.
Cách 2: Bấm máy tính như sau: x2+2x+12x+2 CACL
x=−1+10−9 và nhận được đáp án.
Cách 3: Dùng chức năng lim của máy Vinacal 570ES Plus:limx2+2x+12x+2x→−1+10−9
Tìm giới hạn L=limx→74x−13−x+22x+24−2
Hướng dẫn giải
L=limx→74x−13−x+22x+24−2.
=limx→74x−13−32x+24−2−x+2−32x+24−2=limx→7A−B
Ta có
A=4x−13−32x+24−2.
=22x+24+22x+224+44x−123+34x−13+9=6427.
B=x+2−32x+24−2.=2x+24+22x+224+42x+2+3=83L=limx→7A−B=6427−83=−827
Tìm giới hạn A=limx→1x3−3x2+2x2−4x+3.
Hướng dẫn giải
Ta có A=limx→1x3−3x2+2x2−4x+3=limx→1x−1x2−2x−2x−1x−3=limx→1x2−2x−2x−3=32
Tìm giới hạn B=limx→2x4−5x2+4x3−8.
Hướng dẫn giải
Ta có B=limx→2x4−5x2+4x3−8=limx→2x2−1x2−4x3−23
=limx→2x2−1x−2x+2x−2x2+2x+4=limx→2x2−1x+2x2+2x+4=1
Tìm giới hạn C=limx→01+5x3−1−6x4x.
Hướng dẫn giải
Ta có C=limx→01+5x3−1−6x4x
=limx→01+5x3−1x−limx→01−6x4−1x
=limx→05x1+5x2+1+5x+1x−limx→012x3x−11−6x2+1x
=limx→051+5x2+1+5x+1−limx→0123x−11−6x2+1=39
.
Tìm giới hạn D=limx→01+x1+2x1+3x−1x.
Hướng dẫn giải
Ta có D=limx→01+x1+2x1+3x−1x=limx→06x3+11x2+6xx=6.
Tìm giới hạn A=limx→1xn−1xm−1m,n∈ℕ*.
Hướng dẫn giải
Ta có
A=limx→1x−1xn−1+xn−2+...+x+1x−1xm−1+xm−2+...+x+1=limx→1xn−1+xn−2+...+x+1xm−1+xm−2+...+x+1=nm.
Sau đây chúng ta sẽ tìm một số giới hạn liên quan đến biểu thức chứa dấu căn. Nguyên tắc cơ bản của dạng bài tập này là nhân lượng liên hợp để đưa về đa thức. Ngoài cách đó chúng ta có thể chuyển về đa thức khi thực hiện đặt ẩn phụ tùy bài cụ thể:
Tìm giới hạn I=limx→023x+1−1x.
Hướng dẫn giải
Ta có I=limx→023x+1−1x=limx→06x3x+1+1=limx→063x+1+1=3.
Tìm giới hạn K=limx→0x2−3x4x+1−1
Hướng dẫn giải
Ta có K=limx→0x−34x+1+14=−32.
Giới hạn limx→53x+1−43−x+4 có giá trị bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Ta có limx→53x+1−43−x+4=limx→53x+1−163+x+49−x+43x+1+4.
=limx→5−33+x+43x+1+4=−188=−94
Tìm giới hạn M=limx→01+4x−1+6x3x2.
Hướng dẫn giải
Ta có M=limx→04x+1−2x+1x2−limx→01+6x3−2x+1x2
=limx→0−44x+1+2x+1−limx→0−8x−121+6x23+2x+11+6x3+2x+12
=−2+4=2
Cho biết limx→121+ax2−bx−24x3−3x+1=c, với c là một số nguyên và a,b∈ℝ. Phương trình ax4−2bx2+c−1=0 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm trên R?
Hướng dẫn giải
Ta có 4x3−3x+1=2x−12x+1 .
Suy ra phương trình ⇒1+ax2−bx+22=0 phải có nghiệm kép là x=12
⇒a−b2x2−4bx−3=0 có nghiệm kép x=12
⇒a−b2=0Δ=16b2+4a−b2.3=0a−b2122−4.b.12−3=0⇒a−b2≠0a−b2=−43b2−43b2.122−4.b.12−3=0⇒a=b=−3
Thử lại đúng. Vậy a=b=−3
Khi đó limx→121−3x2+3x−24x3−3x+1=limx→12−32x−121−3x2−3x−22x−12x+1
=limx→12−31−3x2−3x+2x+1=−2.
Suy ra c=−2
Vậy ta có phương trình −3x4+6x2−3=0 có nghiệm x=±1.
Tìm giới hạn B=limx→01+axn−1xn∈ℕ*,a≠0 .
Hướng dẫn giải
Cách 1: Nhân liên hợp
Ta có B=limx→01+axn−11+axn−1n+1+axn−2n+...+1+axn+1x1+axn−1n+1+axn−2n+...+1+axn+1
B=limx→0a1+axn−1n+1+axn−2n+...+1+axn+1=an.
Tìm giới hạn N=limx→01+axm−1+bxnx.
Hướng dẫn giải
Ta có N=limx→01+axm−1x−limx→01+bxn−1x=am−bn.
Tìm giới hạn A=limx→01+axn−11+bxm−1 với ab≠0 .
Hướng dẫn giải
Áp dụng bài toán trên ta có A=limx→01+axn−1x.limx→0x1+bxm−1=an.mb=ambn .
Tìm giới hạn B=limx→01+ax1+bx3−1x với ab≠0.
Ta có
.1+ax1+bx3−1=1+ax1+bx3−1+1+ax−1
B=limx→01+ax1+bx3−1x+limx→01+ax−1x⇒B=a2+b3
Tìm giới hạn B=limx→01+ax1+bx31+cx4−1x−b±b2−4ac2a với ab≠0 .
Hướng dẫn giải
Ta có 1+ax1+bx31+cx4−1.
=1+ax1+bx31+cx4−1+1+ax1+bx3−1+1+ax−1
B=limx→01+ax1+bx31+cx4−1x+limx→01+ax1+bx3−1x+limx→01+ax−1x
⇒B=c4+b3+a2
Tìm giới hạn L=limx→01+mxn−1+nxmx2 .
Hướng dẫn giải
Ta có L=limx→01+nxm−1+mnxx2−limx→01+mxn−1+mnxx2=mnn−m2.
Tìm giới hạn K=limx→11−x1−x3...1−xn1−xn−1
Hướng dẫn giải
Ta có K=limx→111+xx23+x+13...xn−1n+...+1=1n!
Tìm giới hạn F=limx→02x+13x+14x+1n−1x
Hướng dẫn giải
Đặt y=2x+13x+14x+1n⇒x→0 thì y→1.
Ta có2x+13x+14x+1n−1=y−1 .
Lại có limx→0yn−1x=limx→02x+13x+14x+1−1x=9.
Do đó F=limx→0y−1x=limx→0yn−1xyn−1+yn−2+...+y+1=9n
Để tiếp tục ta xét một số bài toán tìm giới hạn của hàm ẩn và giới hạn có tham số sau.
Cho limx→1fx+1x−1=−1. Tính I=limx→1x2+xfx+2x−1 .
Hướng dẫn giải
Ta có limx→1x2+xfx+2x−1=limx→1x2+xfx+1−x2−x+2x−1
=limx→1x2+xfx+1x−1−x−2=−5.
Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a+b = 2020 và
limx→0x2+ax+1−bx+1x=1010. Tìm a, b.
Hướng dẫn giải
Ta có limx→0x2+ax+1−bx+1x=limx→0x2+ax+1−bx+1xx2+ax+1+bx+1
=limx→0x2+a−bxxx2+ax+1+bx+1=limx→0x+a−bx2+ax+1+bx+1=a−b2.
Lại có limx→0x2+ax+1−bx+1x=1010⇔a−b2=1010⇔a−b=2020 .
Từ đó ta có hệ phương trình a+b=2020a−b=2020⇔a=2020b=0.
Cho m, n là các số thực khác 0. Nếu giới hạn limx→−5x2+mx+nx+5=3 , hãy tìm mn?
Hướng dẫn giải
Vì limx→−5x2+mx+nx−5=3 nên x=-5 là nghiệm của phương trình
x2+mx+n=0.
⇒−5m+n+25=0⇔n=−25+5m
Khi đó limx→−5x2+mx+nx−1=limx→−5x2+mx+5m−25x+5=limx→−5x−5+m=m−10
⇔m=13⇒n=40⇒mn=520.
Cho hàm số y=fx xác định trên R thỏa mãn limx→2fx−16x−2=12 . Tính giới hạn limx→25fx−163−4x2+2x−8.
Hướng dẫn giải
Theo giả thiết có limx→2fx−16=0⇔limx→2fx=16.
Ta có limx→25fx−163−4x2+2x−8
=limx→25fx−16−64x−2x+45fx−1632+45fx−163+42
=limx→25fx−16x−2x+45fx−1632+45fx−163+42
=limx→2fx−16x−2.5x+45fx−1632+45fx−163+42
=12.565.16−1632+45.16−163+16=524
Kết quả đúng của giới hạn limx→2x2+43−2x2−4 bằng
−112
512
-512
112
Ta có: limx→2x2+43−2x2−4=limx→2x2−4x2+423+2x2+43+4x2−4
=limx→21x2+423+2x2+43+4=112
Kết quả đúng của giới hạn limx→01−x−1x bằng
0
+∞
-12
12
Ta có: limx→01−x−1x=limx→0−xx1−x+1=limx→0−11−x+1=−12
Kết quả đúng của giới hạn limx→3x4−27x2x2−3x−9 bằng
7
5
9
3
Ta có: limx→3x4−27x2x2−3x−9=limx→3xx−3x2+3x+92x+3x−3=limx→3xx2+3x+92x+3=9
Tính giới hạn limx→12x−3x+1x2−1, ta được kết quả là
0
43
58
2
Ta có: limx→12x−3x+1x2−1=limx→14x2−3x−1x2−12x+3x+1=limx→14x+1x+12x+3x+1=58
Kết quả đúng của limx→−1x3+1x2+3−2 bằng
−23
−143−2
0
1
Ta có: limx→−1x3+1x2+3−2=limx→−1x+1x2+3+2x23−x3+1x2−1=limx→−1x2+3+2x23−x3+1x−1=4−6=−23
Kết quả đúng của giới hạn limx→0x+a3−a3x bằng
a2
2a2
0
3a2
Ta có: limx→0x+a3−a3x=limx→0x3+3x2a+3xa2x=limx→0x2+3xa+3a2=3a2
Kết quả đúng của giới hạn limx→−2x4−16x2+6x+8 bằng
−14
-16
-18
-12
Ta có: limx→−2x4−16x2+6x+8=limx→−2x2+4x−2x+2x+2x+4=limx→−2x2+4x−2x+4=−16
Kết quả đúng của limx→−2x4+8xx3+2x2+x+2 bằng
−215
215
245
-245
Ta có: limx→−2x4+8xx3+2x2+x+2=limx→−2xx+2x2−2x+4x+2x2+1=limx→−2xx2−2x+4x2+1=−245
Kết quả đúng của limx→−1x2+8−31−x−2 bằng
-∞
223
-223
-2
Ta có: limx→−1x2+8−31−x−2=limx→−1x2−11−x+2x2+8+3−x−1=limx→−1x−11−x+2−x2+8+3=223
Kết quả đúng của limx→0x2+x+1−13x bằng
+∞
13
16
1
Ta có: limx→0x2+x+1−13x=limx→0x2+x3xx2+x+1+1=limx→0x+13x2+x+1+1=16
Kết quả đúng của limx→0x2+1−14−x2+16 bằng
+∞
-1
-4
4
Ta có: limx→0x2+1−14−x2+16=limx→0x24+x2+16−x2x2+1+1=limx→04+x2+16−x2+1+1=−4
Tính giới hạn limx→1xm−xnx−1; m,n∈ℕta được kết quả là
+∞
m-n
m
mn
Ta có: limx→1xm−xnx−1=limx→1xm−1−xn−1x−1
=limx→1x−1xm−1+xm−2+...+1−x−1xn−1+xn−2+...+1x−1
=limx→1xm−1+xm−2+...+1−xn−1+xn−2+...+1=m−n
Giới hạn limx→12x−1−3x−23x−1 bằng
1
0
+∞
12
Ta có: limx→12x−1−1x−1=limx→122x−1+1=1 và limx→13x−23−1x−1=limx→133x−223+3x−23+1=1
Do đó L=limx→12x−1−3x−23x−1=limx→12x−1−1x−1−limx→13x−23−1x−1=1−1=0 Vậy L=0
Biết limx→8x+1−x+193x+84−2=ab, trong đó ablà phân số tối giản, a và b là các số nguyên dương. Tổng a+b bằng
137
138
139
140
Đặt x+84=t⇒t4−8=xx→8⇒t→2⇒limx→8x+1−x+193x+84−2=limt→2t4−7−t4+113t−2
limt→2t4−7−3t−2=limt→2t2+4t+2t4−7+3=163 và limx→2t4+113−3t−2=limx→2t4+4t+2t4+1123+3t4+113+9=3227
Ta có: ab=limt→2t4−7−t4+113t−2=limt→2t4−7−3t−2−limx→2t4+113−3t−2=163−3227
Suy ra ab=11227⇒a+b=139
Biết limx→28x+113−x+7x2−3x+2=ab trong đó ablà phân số tối giản, a và b là các số nguyên dương. Tổng 2a+b bằng
68
69
70
71
Vì limx→28x+113−3x2−3x+2=limx→28x−18x+1123+38x+113+9=827
limx→2x+7−3x2−3x+2=limx→21x−1x+7+3=16
Vì ab=limx→28x+113−3x2−3x+2−limx→2x+7−3x2−3x+2=827−16=754
ab=754⇒2a+b=14+54=68
Biết limx→36x+9−27x−543x−3x2+3x−18=ab trong đó ablà phân số tối giản, a và b là các số nguyên dương. Tổng 3x + b bằng
57
58
56
55
Vì limx→36x−9−xx−32x+6=limx→3−1x+66x−9+x=−154
limx→327x−543−xx−32x+6=limx→3−127x−5423+x27x−543+x2=−127
Suy ra limx→36x−9−27x−543x−3x2+3x−18=limx→36x−9−xx−32x+6−limx→327x−543−xx−32x+6=−154+127=154
Vậy ab=154⇒3a+b=57
Cho a là một số thực khác 0. Kết quả của limx→ax4−a4x−a bằng
3a
2a2
a3
4a3
Ta có: limx→ax4−a4x−a=limx→ax2+a2x+ax−ax−a=limx→ax2+a2x+a=4a3
