30 câu Dạng 1: dãy số có giới hạn bằng định nghĩa có đáp án
30 câu hỏi
Chứng minh các dãy số un sau đây có giới hạn là 0.
a, un=−1n3n+2.
a) Với mỗi số dương tùy ý cho trước, ta có
un=−1n3n+2=13n+2<13n<ε
⇔n>131ε−2.
Đặt n0=1+13ε thì n0∈ℕ*và un<ε,∀n≥n0.
Vậy limun=0.
Chứng minh các dãy số un sau đây có giới hạn là 0.
b, un=sin4nn+3.
b) Ta có ∀n∈ℕ*thì
sin4n≤1⇒un=sin4nn+3≤1n+3≤1n=1n.
Áp dụng cho định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì lim1nk=0" ta được lim1n=0.
Từ đó suy ra limun=0.
Chứng minh các dãy số un sau đây có giới hạn là 0.
un=1+sinn44n+5.
Ta có ∀n∈ℕ* thì sinn4≤1⇒un=1+sinn44n+5≤24n+5≤24n=12n .
Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì lim1nk=0” ta được lim1n=0.Từ đó suy ra limun=0.
Chứng minh các dãy số un sau đây có giới hạn là 0.
un=−1n2n+1−15n−1.
Ta có un=−1n2n+1−15n+1≤12n+1+15n+1<12n+1+12n+1=12n,∀n∈ℕ.
Vì lim12n=lim12n=0.
Từ đó suy ra limun=0.
Chứng minh rằng: lim1n+1=0.
Ta có 0<1n+1<1n và lim1n=0.
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0.
un=2n+3−2n.
Ta có 2n+3−2n2n+3+2n=2n+32−2n2=3
⇒2n+3−2n=32n+3+2n.
Mà 32n+3+2n<32n+2n=322n<3n và lim3n=0.
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0.un=n+2−n−2
Ta có n+2−n−2n+2+n−2=n+2−n−2=4
⇒n+2−n−2=4n+2+n−2.
Mà 4n+2+n−2<2n−2 và lim2n−2=0.
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn 0.
a, un=cosnn+4.
a) Ta có cosnn+4<1n+4<1n và lim1n=0. Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn 0.
c, un=cosnπ54n.
b) Ta có −1ncosnn2+1<cosnn2+1<1n2+1<1n2 và lim1n=0.
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn 0.c, un=−1ncosnn2+1.
c) Ta có cosnπ54n<14n=14n và lim14n=0 (do14<1).
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn 0.d, un=sinnπ51,01n
d) Ta cósinnπ51,01n<11,01n=11,01nvà lim11,01n=0.
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Chứng minh rằng các dãy số sau có giới hạn bằng 0.
a, lim2n+3n4n=0.
a) Ta có lim2n+3n4n=lim24n+lim34n=0+0=0 (do 24<1 và34<1).
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Chứng minh rằng các dãy số sau có giới hạn bằng 0.
b, limann!=0.
b) Gọi m là số tự nhiên thỏa m+1>a . Khi đó với mọi n>m+1.
Ta có 0<ann!=a1.a2...am.am+1...an<amm!.am+1n−m.
Mà limam+1n−m=0 và amm!≤am. Từ đó suy ra limann!=0.
Cho dãy số un với un=n3n.
a) Chứng minh rằng un+1un≤23 với mọi n.
a) Với mọi n ta có un+1un=n+13n+1:n3n=n+13n≤2n3n=23.
ta được điều phải chứng minh.
b) Chứng minh rằng 0<un≤23n với mọi n.
b) Sử dụng phương pháp quy nạp toán học chứng minh 0<un≤23n;∀n*
n=1 ta có 0<u1=13<23 , suy ra (*) đúng với n=1
Giả sử (*) đúng với n=k tức là 0<k3k≤23k . Ta phải chứng minh (*) đúng với n= k+1
Thật vậy,uk+1=k+13k+1>0 . Mặt khác uk+1≤23uk⇔uk+1≤23.23k=23k+1.
Ta được điều phải chứung minh.
c) Chứng minh rằng dãy số un có giới hạn 0.
c) Do 0<un≤23n mà lim23n=0 nên limun=0.
Ta được điều phải chứng minh.
Tính giới hạn sau: lim1n+1.
Hướng dẫn giải
Cách bấm máy:
Nhập vào máy tính biểu thức sau:
Sau đó bấm CALC, màn hình sẽ xuất hiện như hình bên. Ta hiểu rằng “Bạn muốn gán x bằng bao nhiêu?”
Nhập: x=9999999999, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:
Tính giới hạn sau:lim−1nn+5.
Nhập vào máy tính biểu thức sau:
Sau đó bấm CALC.
Nhập x=9999999999, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:
Kết quả:−9,999999996.10−11 là một giá trị rất nhỏ gần bằng 0.
Vậy lim−1nn+5=0.
Tính giới hạn sau: lim−1n.cosnn2+1.
Nếu ta nhập −1n.cosnn2+1, sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR.
Hướng dẫn giải
Vận dụng định lí 1 nếu un≤vn với mọi n và limvn=0 thì limun=0.
Ta có đánh giá sau:−1n.cosnn2+1<cosnn2+1<1n2+1 , ta chỉ cần ghi 1n2+1 vào máy tính là sẽ tính được.
Cách bấm máy:
Nhập vào máy tính biểu thức sau:
Sau đó bấm CALC.
Nhập:x=9999999999, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:
Kết quả: 1.10−20 là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0. Vậy lim−1n.cosnn2+1=0.
Tính giới hạn sau lim−1n2n+1.
Nếu ta nhập −1n2n+1 , sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR do hàm số mũ tăng rất nhanh nên sẽ không tính được trên máy tính. Trong trường hợp này ta sẽ xử lý như sau:
Hướng dẫn giải
Cách bấm máy:
Nhập vào máy tính biểu thức sau:
Bấm CALC.
Nhâp: x=100, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:
Kết quả: 7,888609052.10−31là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0.
Vậy lim−1n2n+1=0.
Trong các dãy số sau, dãy số nào có giới hạn 0?
un=−32n.
u=−2n.
un=42+5n.
un=−2+54n.
Ta có 42+5<1 nên lim42+5n=0.
Chọn đáp án C
Dãy số với un=−1.cos5n3n có giới hạn bằng
13.
-1
-13.
0
Ta có 0≤−1.cos5n3n=cos5n3n<13n=13n mà lim13n=0 nên lim−1n+13n+5=0.
Chọn đáp án D
Giới hạn limsinπn63n2+1 bằng
0
1
-13
13
Ta có 0≤sinπn63n2+1<13n2+1<13n2 mà lim13n2=0 nên limsinπn63n2+1=0.
Giới hạn lim−1n+13n+5 bằng
15
-15
13
0
Ta có 0≤−1n+13n+5=−1n3n+5<13n+5<13n mà lim13n=0 nên lim−1n+13n+5=0.
Chọn đáp án D
Giới hạn lim2+−1nn+2 là
2
12
0
1
Chọn đáp án A
Ta có 2+−1nn+2−2=−1nn+2 mà −1nn+2<1n,∀n và lim1n=0.
Suy ra lim2+−1nn+2−2=0⇒lim2+−1nn+2=2.
Giới hạn limn2−n+3n3+2n bằng
13
0
12
-12
Ta có n2−n+3n3+2n=n21−1n+3n2n31+2n2=1n.1−1n+3n21+2n2 mà lim1n=0;lim1−1n+3n21+2n2=1.
Suy ra limn2−n+3n3+2n=0.
Chọn đáp án B
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào có giới hạn 0?
(1): −1nn+5; (2): sinnn+5; (3): cos2nn+1;(4): n2+2nn+1; (5): −1n.cosnn2+2.
(1), (2), (3), (4).
Chỉ (2), (3).
(1), (2), (3), (5).
Chỉ (1), (5).
Dễ dàng nhận thấy các các phương án (1); (2); (3); (5) đều có giới hạn là 0, bạn đọc có thể tự chứng minh.
Ta xét phương án:
(4): n2+2nn+1=n2+2n2+1=n21+2n2n21+1n2=1+2n21+1n2, mà lim1+2n21+1n2=1.
Vậy phương án (4) không thỏa mãn.
Chọn đáp án C
Xét các câu sau:
(1) Ta có lim13n=0;
(2) Ta có lim1nk=0, với k là số nguyên tùy ý.
Cả hai câu đều đúng.
Cả hai câu đều sai.
Chỉ (1) đúng.
Chỉ (2) sai.
Dễ dàng nhận thấy phương án (1) hoàn toàn chính xác do: 13<1 nên lim13n=0.
Phương án (2) là sai, vì lim1nk=0 khi k là số nguyên dương k∈ℤ+. Vậy phương án (2) sai.
Cho dãy số un được xác định un=m,m≥12nun+1=2nun−1,n∈ℕ*.
Tham số m để dãy số un có giới hạn bằng 0 là
m=1
m=2
m=3
m=4
Chọn đáp án C
Ta có 2nun+1=2n.un−1⇔un+1=un−12n.
Chứng minh: un≥21−n (bằng quy nạp).
* Với n=1 ta có u1=m≥1=20.
* Giả sử uk>21−k (với k>1)
* Cần chứng minh: uk+1>2−k.
Ta có uk+1=uk−2−k>21−k−2−k=2−k . Suy ra điều phải chứng minh.
Từ đó suy ra un−2−n>0 với mọi n⇒un+1=un−12n.
Ta có u2=u1−12;u3=u2−122;u4=u3−123;...;un=un−1−12n−1
⇒un=u1−12+122+123+...+12n−1.
Công thức tổng quát un=m−12.1−12n−112=m−1+12n−1
⇒limun=0⇔limm−1+lim12n−1=0
Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
cosnn.
1n.
2n+1n.
1n.
Chọn đáp án C
Dễ dàng chứng minh được các đáp án A, B và D có giới hạn là 0, bạn đọc có thể tự chứng minh.
Ta xét phương án C:
2n+1n=n2+1nn=2+1n, mà lim2+1n=2≠0. Vậy phương án C không thỏa mãn.
