30 câu Dạng 1: dãy số có giới hạn bằng định nghĩa có đáp án

b) Ta có $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$thì

 $\left|\sin 4n\right|\le 1\Rightarrow \left|u_n\right|=\left|\frac{\sin 4n}{n+3}\right|\le \left|\frac{1}{n+3}\right|\le \left|\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}.$

Áp dụng cho định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước  thì $\lim \frac{1}{n^k}=0$" ta được  $\lim \frac{1}{n}=0.$

Ta có $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ thì $\left|\sin n^4\right|\le 1\Rightarrow \left|u_n\right|=\left|\frac{1+\sin n^4}{4n+5}\right|\le \left|\frac{2}{4n+5}\right|\le \left|\frac{2}{4n}\right|=\frac{1}{2n}$ .

Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì $\lim \frac{1}{n^k}=0$” ta được $\lim \frac{1}{n}=0.$Từ đó suy ra  $\lim u_n=0.$

Ta có  $\left|u_n\right|=\left|\frac{{\left(-1\right)}^n}{2^{n+1}}-\frac{1}{5^{n+1}}\right|\le \frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{5^{n+1}}<\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^n},\forall n\in \mathbb{N}.$

Vì  $\lim \frac{1}{2^n}=\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0.$

Từ đó suy ra $\lim u_n=0.$

Ta có $0<\left|\frac{1}{n+1}\right|<\frac{1}{n}$ và  $\lim \frac{1}{n}=0.$

Ta có  $\left(\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n}\right)\left(\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n}\right)={\left(\sqrt{2n+3}\right)}^2-{\left(\sqrt{2n}\right)}^2=3$

 $\Rightarrow \sqrt{2n+3}-\sqrt{2n}=\frac{3}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n}}.$

Mà $\frac{3}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n}}<\frac{3}{\sqrt{2n}+\sqrt{2n}}=\frac{3}{2\sqrt{2n}}<\frac{3}{\sqrt{n}}$ và  $\lim \frac{3}{\sqrt{n}}=0.$

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Ta có  $\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n-2}\right)\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n-2}\right)=\left(n+2\right)-\left(n-2\right)=4$

$\Rightarrow \sqrt{n+2}-\sqrt{n-2}=\frac{4}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n-2}}.$ 

Mà $\frac{4}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n-2}}<\frac{2}{\sqrt{n-2}}$ và  $\lim \frac{2}{\sqrt{n-2}}=0.$

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

a) Ta có $\left|\frac{\cos n}{n+4}\right|<\frac{1}{n+4}<\frac{1}{n}$ và  $\lim \frac{1}{n}=0.$ Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

b) Ta có $\left|\frac{{\left(-1\right)}^n\cos n}{n^2+1}\right|<\left|\frac{\cos n}{n^2+1}\right|<\frac{1}{n^2+1}<\frac{1}{n^2}$ và  $\lim \frac{1}{n}=0.$

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

c) Ta có $\left|\frac{\cos \frac{n\pi }{5}}{4^n}\right|<\frac{1}{4^n}={\left(\frac{1}{4}\right)}^n$ và $\lim {\left(\frac{1}{4}\right)}^n=0$ (do$\left|\frac{1}{4}\right|<1$).

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

d) Ta có$\left|\frac{\sin \frac{n\pi }{5}}{{\left(1,01\right)}^n}\right|<\frac{1}{{\left(1,01\right)}^n}={\left(\frac{1}{1,01}\right)}^n$và  $\lim {\left(\frac{1}{1,01}\right)}^n=0.$

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

a) Ta có $\lim \frac{2^n+3^n}{4^n}=\lim {\left(\frac{2}{4}\right)}^n+\lim {\left(\frac{3}{4}\right)}^n=0+0=0$ (do $\left|\frac{2}{4}\right|<1$ và$\left|\frac{3}{4}\right|<1$).

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

a) Với mọi n ta có  $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\left(\frac{n+1}{3^{n+1}}\right):\left(\frac{n}{3^n}\right)=\frac{n+1}{3n}\le \frac{2n}{3n}=\frac{2}{3}.$

ta được điều phải chứng minh.

c) Do $0<u_n\le {\left(\frac{2}{3}\right)}^n$mà $\lim {\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0$ nên  $\lim u_n=0.$

Ta được điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải

Cách bấm máy:

Nhập vào máy tính biểu thức sau:

Sau đó bấm CALC, màn hình sẽ xuất hiện như hình bên. Ta hiểu rằng “Bạn muốn gán x bằng bao nhiêu?”

Nhập: $x=9999999999$, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Nhập vào máy tính biểu thức sau:

Sau đó bấm CALC.

Nhập $x=9999999999$, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả:$-9,{999999996.10}^{-11}$ là một giá trị rất nhỏ gần bằng 0.

Vậy  $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n}{n+5}=0.$

Nếu ta nhập $\frac{{\left(-1\right)}^n.\cos n}{n^2+1}$, sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR.

Hướng dẫn giải

Vận dụng định lí 1 nếu $\left|u_n\right|\le v_n$ với mọi n và $\lim v_n=0$ thì  $\lim u_n=0.$

Ta có đánh giá sau:$\left|\frac{{\left(-1\right)}^n.\cos n}{n^2+1}\right|<\left|\frac{\cos n}{n^2+1}\right|<\frac{1}{n^2+1}$ , ta chỉ cần ghi $\frac{1}{n^2+1}$vào máy tính là sẽ tính được.

Cách bấm máy:

Nhập vào máy tính biểu thức sau:

Sau đó bấm CALC.

Nhập:$x=9999999999$, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả: ${1.10}^{-20}$ là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0. Vậy  $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n.\cos n}{n^2+1}=0.$

   Nếu ta nhập $\frac{{\left(-1\right)}^n}{2^n+1}$ , sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR do hàm số mũ tăng rất nhanh nên sẽ không tính được trên máy tính. Trong trường hợp này ta sẽ xử lý như sau:

Hướng dẫn giải

Cách bấm máy:

Nhập vào máy tính biểu thức sau:

Bấm CALC.

Nhâp: x=100, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả:  $7,{888609052.10}^{-31}$là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0.

Vậy  $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n}{2^n+1}=0.$

Ta có $\left|\frac{4}{2+\sqrt{5}}\right|<1$ nên $\lim {\left(\frac{4}{2+\sqrt{5}}\right)}^n=0.$

Chọn đáp án C 

Ta có $0\le \left|\frac{\left(-1\right).\cos 5n}{3^n}\right|=\left|\frac{\cos 5n}{3^n}\right|<\frac{1}{3^n}={\left|\frac{1}{3}\right|}^n$  mà $\lim \frac{1}{3^n}=0$  nên $\lim \frac{{\left(-1\right)}^{n+1}}{3^n+5}=0.$

Chọn đáp án D

Ta có $0\le \left|\frac{\sin \frac{\pi n}{6}}{3n^2+1}\right|<\frac{1}{3n^2+1}<\frac{1}{3n^2}$ mà $\lim \frac{1}{3n^2}=0$ nên $\lim \frac{\sin \frac{\pi n}{6}}{3n^2+1}=0.$ 

Ta có $0\le \left|\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}}{3^n+5}\right|=\left|\frac{{\left(-1\right)}^n}{3^n+5}\right|<\frac{1}{3^n+5}<\frac{1}{3^n}$ mà $\lim \frac{1}{3^n}=0$  nên $\lim \frac{{\left(-1\right)}^{n+1}}{3^n+5}=0.$ 

Chọn đáp án D

Ta có $\left(2+\frac{{\left(-1\right)}^n}{n+2}\right)-2=\frac{{\left(-1\right)}^n}{n+2}$ mà $\left|\frac{{\left(-1\right)}^n}{n+2}\right|<\frac{1}{n},\forall n$ và $\lim \frac{1}{n}=0.$ 

Ta có $\frac{n^2-n+3}{n^3+2n}=\frac{n^2\left(1-\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}\right)}{n^3\left(1+\frac{2}{n^2}\right)}=\frac{1}{n}.\frac{1-\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}}$ mà $\lim \frac{1}{n}=0;\lim \frac{1-\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}}=1.$ 

Suy ra $\lim \frac{n^2-n+3}{n^3+2n}=0.$ 

Chọn đáp án B

Dễ dàng nhận thấy các các phương án (1); (2); (3); (5) đều có giới hạn là 0, bạn đọc có thể tự chứng minh.

Ta xét phương án:

(4): $\frac{n^2+2}{n\left(n+1\right)}=\frac{n^2+2}{n^2+1}=\frac{n^2\left(1+\frac{2}{n^2}\right)}{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}=\frac{1+\frac{2}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}},$ mà $\lim \frac{1+\frac{2}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}=1.$ 

Vậy phương án (4) không thỏa mãn.

Chọn đáp án C

Dễ dàng nhận thấy phương án (1) hoàn toàn chính xác do: $\left|\frac{1}{3}\right|<1$ nên $\lim {\left(\frac{1}{3}\right)}^n=0.$ 

Phương án (2) là sai, vì $\lim \frac{1}{n^k}=0$  khi k là số nguyên dương $\left(k\in {\mathbb{Z}}^{+}\right)$. Vậy phương án (2) sai.

Ta có $2^n{u}_{n+1}=\left|2^n.u_n-1\right|\iff u_{n+1}=\left|u_n-\frac{1}{2^n}\right|.$ 

Chứng minh: $u_n\ge 2^{1-n}$ (bằng quy nạp).

* Với n=1  ta có $u_1=m\ge 1=2^0.$ 

* Giả sử $u_k>2^{1-k}$ (với k>1)

* Cần chứng minh: $u_{k+1}>2^{-k}.$ 

Ta có $u_{k+1}=\left|u_k-2^{-k}\right|>\left|2^{1-k}-2^{-k}\right|=2^{-k}$ . Suy ra điều phải chứng minh.

Từ đó suy ra $u_n-2^{-n}>0$ với mọi $n\Rightarrow u_{n+1}=u_n-\frac{1}{2^n}.$ 

Ta có $u_2=u_1-\frac{1}{2};u_3=u_2-\frac{1}{2^2};u_4=u_3-\frac{1}{2^3};\mathrm{...};u_n=u_{n-1}-\frac{1}{2^{n-1}}$

$\Rightarrow u_n=u_1-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^{n-1}}\right).$ 

Công thức tổng quát $u_n=m-\frac{1}{2}.\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}}{\frac{1}{2}}=m-1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ 

$\Rightarrow \lim u_n=0\iff \lim \left(m-1\right)+\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=0$ 

Dễ dàng chứng minh được các đáp án A, B và D có giới hạn là 0, bạn đọc có thể tự chứng minh.

Ta xét phương án C:

$\frac{2n+1}{n}=\frac{n\left(2+\frac{1}{n}\right)}{n}=2+\frac{1}{n}$, mà $\lim \left(2+\frac{1}{n}\right)=2\ne 0$. Vậy phương án C không thỏa mãn.