25 câu Dạng 2: Tính chẵn- lẻ của hàm số lượng giác có đáp án

Hàm số có nghĩa khi  $\left\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \mathrm{s}\text{inx}\ne 0\end{array}\right.$  $\left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne l\pi \end{array}\right.$ ( với ).

Tập xác định là $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,l\pi |k,l\in \mathbb{Z}\right\}$tập đối xứng.

Do đó $\forall x\in D$ thì $-x\in D$.

Ta có $f\left(-x\right)=\tan \left(-x\right)+\cot \left(-x\right)=-\tan x-\cot x=-\left(\tan x+\cot x\right)=-f\left(x\right).$

Vậy f(x) là hàm số lẻ. Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Hàm số có nghĩa khi $x^2-4\ge 0\iff x\in \left(-\infty ;-2]\cup \text{[}2;+\infty \right).$

Tập xác định $D=\left(-\infty ;-2]\cup \text{[}2;+\infty \right)$là tập đối xứng.

Do đó $\forall x\in D$ thì $-x\in D$

Ta có $f\left(-x\right)=\sin \sqrt{{\left(-x\right)}^2-4}=\sin \sqrt{x^2-4}=f\left(x\right).$

Vậy là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Tập xác định $D=ℝ$ là tập đối xứng.

Do đó $\forall x\in D$ thì  $-x\in D$.

Ta có $f=\left(-x\right)={\sin }^{2018}\left(-2x\right)+\cos \left(-2019x\right)={\sin }^{2018}2x+\cos 2019x=f\left(x\right).$

Vậy f(x) là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Tập xác định $D=ℝ$ là tập đối xứng.

Do đó $\forall x\in D$ thì $-x\in D.$

Ta có $f\left(x\right)=\sin \left(5x+\frac{2017\pi }{2}\right)=\sin \left(5x+\frac{\pi }{2}+1008\pi \right)=\sin \left(5x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos 5x.$

Lại có $f\left(-x\right)=\cos \left(-5x\right)=\cos 5x=f\left(x\right).$

Vậy f(x) là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Ta có $y=f\left(x\right)={\sin }^3\left(4x+9\pi \right)+\cot \left(11x-2018\pi \right)=-{\sin }^{3}4x+\cot 11x$.

Hàm số có nghĩa khi $\sin 11x\ne 0\iff 11x\ne k\pi \iff x\ne \frac{k\pi }{11},k\in \mathbb{Z}$.

Tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{\frac{k\pi }{11},k\in \mathbb{Z}\right\}$là tập đối xứng.

Do đó $\forall x\in D$ thì  $-x\in D$.

Lại có $f\left(-x\right)=-{\sin }^3\left(-4x\right)+\cot \left(-11x\right)={\sin }^{3}4x-\cot 11x$

$=-\left(-{\sin }^{3}4x+\cot 11x\right)=-f\left(x\right)$

 Vậy $f\left(x\right)$ là hàm số lẻ. Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ $O\left(0;0\right)$ làm tâm đối xứng.

Đáp án D

Hàm số $y=\sin x.\cos x$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$.

Ta có $f\left(-x\right)=\sin \left(-x\right).\cos \left(-x\right)=-\sin x.\cos x=-f\left(x\right)$.

Vậy hàm số $y=\sin x.\cos x$  là hàm số lẻ.

Đáp án A

Hàm số $y=\sin x+\tan 2x$ có nghĩa $\iff \cos 2x\ne 0\iff 2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\iff D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\right\}$.

Ta có $f\left(-x\right)=\sin \left(-x\right)+\tan \left(-2x\right)=-\sin x-\tan 2x=-\left(\sin x+\tan 2x\right)=-f\left(x\right)$.

Vậy hàm số $y=\sin x+\tan 2x$ là hàm số lẻ.

Đáp án D

Hàm số $y=\sin x+\cos x$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$ .

Ta có $f\left(-x\right)=\sin \left(-x\right)+\cos \left(-x\right)=-\sin x+\cos x\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}f\left(-x\right)\ne f\left(x\right)\\ f\left(-x\right)\ne -f\left(x\right)\end{array}\right.$

Vậy hàm số $y=\sin x+\cos x$ là hàm số không chẵn, không lẻ.

Đáp án D

Hàm số $y=2x-\sin 3x$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$

Ta có $f\left(-x\right)=-2x-\sin \left(-3x\right)=-2x+\sin 3x=-\left(2x-\sin 3x\right)=-f\left(x\right)$.

Vậy hàm số  $y=2x-\sin 3x$ là hàm số lẻ.

Đáp án B

Hàm số $y=1+2x^2-\cos 3x$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$.

Ta có $f\left(-x\right)=1+2{\left(-x\right)}^2-\cos \left(-3x\right)=1+2x^2-\cos \left(3x\right)=f\left(x\right)$ .

Vậy hàm số  $y=1+2x^2-\cos 3x$ là hàm số chẵn.

Hàm số $y=\frac{\cot x}{\cos x}$ có nghĩa $\iff \left\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ \sin x\ne 0\iff x\ne k\pi \end{array}\right.\iff x\ne \frac{k\pi }{2}\iff D=ℝ\backslash \left\{\frac{k\pi }{2}\right\}$.

Ta có $f\left(-x\right)=\frac{\cot \left(-x\right)}{\cos \left(-x\right)}=\frac{-\cot x}{\cos x}=-f\left(x\right)$.

Vậy hàm số $y=\frac{\cot x}{\cos x}$ là hàm số lẻ.

Đáp án C

Hàm số $y=\left|x\right|\cos 2x$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$ .

Ta có $f\left(-x\right)=\left|-x\right|\cos \left(-2x\right)=\left|x\right|\cos 2x=f\left(x\right)$.

Vậy hàm số $y=\left|x\right|\cos 2x$ là hàm số chẵn.

Đáp án A

Hàm số $y=\sin x.\cos 3x$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$.

Ta có $f\left(-x\right)=\sin \left(-x\right).\cos \left(-3x\right)=-\sin x.\cos 3x=-f\left(x\right)$.

Vậy hàm số $y=\sin x.\cos 3x$ là hàm số lẻ.

Đáp án C

Hàm số  $y=\frac{2\sin x-4\tan x}{5+\cos x}$ có nghĩa $\iff \cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Ta có $f\left(-x\right)=\frac{2\sin \left(-x\right)-4\tan \left(-x\right)}{5+\cos \left(-x\right)}=\frac{-2\sin x+4\tan x}{5+\cos x}=-f\left(x\right)$.

Vậy hàm số $y=\frac{2\sin x-4\tan x}{5+\cos x}$ là hàm số lẻ.

Đáp án A

+ Hàm số $y=\tan x+\cos x$ có nghĩa $\iff \cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Ta có $f\left(-x\right)=\tan \left(-x\right)+\cos \left(-x\right)=-\tan x+\cos x=\left\{\begin{array}{l}f\left(-x\right)\ne f\left(x\right)\\ f\left(-x\right)\ne -f\left(x\right)\end{array}\right.$.

Vậy hàm số $y=\tan x+\cos x$ là hàm số không chẵn, không lẻ.

+ Hàm số $y=\tan x+\sin x$ có nghĩa $\iff \cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Ta có $f\left(-x\right)=\tan \left(-x\right)+\sin \left(-x\right)=-\tan x-\sin x=-f\left(x\right)$.

Vậy hàm số  $y=\tan x+\sin x$ là hàm số lẻ.

Đáp án D

Hàm số $y=\sin x{\cos }^{2}x+\tan x$ có nghĩa $\iff \cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Ta có $f\left(-x\right)=\sin \left(-x\right){\cos }^2\left(-x\right)+\tan \left(-x\right)=-\sin x{\cos }^{2}x-\tan x=-f\left(x\right)$.

Vậy hàm số $y=\sin x{\cos }^{2}x+\tan x$ là hàm số lẻ.

Đáp án D

Hàm số $y=x^2\tan 2x-\cot x$ có nghĩa

$\iff \left\{\begin{array}{l}\cos 2x\ne 0\iff 2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ \sin x\ne 0\iff x\ne k\pi \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\ x\ne k\pi \end{array}\right.\iff D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\pi \right\}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Ta có $f\left(-x\right)={\left(-x\right)}^2\tan \left(-2x\right)-\cot \left(-x\right)=-x^2\tan 2x+\cot x=-f\left(x\right)$.

Vậy hàm số  $y=x^2\tan 2x-\cot x$ là hàm số lẻ.

Đáp án C

Hàm số $y=2-\sin x\cos \left(\frac{5\pi }{2}-2x\right)$ có nghĩa .

Ta có $f\left(-x\right)=2-\sin \left(-x\right)\cos \left(\frac{5\pi }{2}+2x\right)=2-\sin x\cos \left(\pi -\frac{5\pi }{2}-2x\right)$

$=2-\sin x\cos \left(-\frac{3\pi }{2}-2x\right)=2-\sin x\cos \left(-\frac{3\pi }{2}-2x+4\pi \right)=2-\sin x\cos \left(\frac{5\pi }{2}-2x\right)=f\left(x\right)$.

Vậy hàm số $y=2-\sin x\cos \left(\frac{5\pi }{2}-2x\right)$ là hàm số chẵn.

Đáp án B

+ Hàm số $f\left(x\right)=\sin 2x$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$.

Ta có $f\left(-x\right)=\sin \left(-2x\right)=-\sin 2x=-f\left(x\right)$.

Vậy hàm số $f\left(x\right)=\sin 2x$  là hàm số lẻ.

+ Hàm số $g\left(x\right)={\tan }^{2}x$  có nghĩa $\iff \cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Ta có $g\left(-x\right)={\tan }^2\left(-x\right)={\tan }^{2}x=g\left(x\right)$.

Vậy hàm số  $g\left(x\right)={\tan }^{2}x$ là hàm số chẵn.

Đáp án A

Hàm số $y=\frac{\left|x\right|\sin 2x}{{\cos }^{3}2x}$ có nghĩa $\iff \cos 2x\ne 0\iff 2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\iff D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\right\}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Ta có $f\left(-x\right)=\frac{\left|-x\right|\sin \left(-2x\right)}{{\cos }^3\left(-2x\right)}=\frac{-\left|x\right|\sin 2x}{{\cos }^{3}2x}=-f\left(x\right)$.

Vậy hàm số $y=\frac{\left|x\right|\sin 2x}{{\cos }^{3}2x}$ là hàm số lẻ.

Đáp án C

Hàm số $y=x^2\tan 2x-\cot x$ có nghĩa

$\iff \left\{\begin{array}{l}\cos 2x\ne 0\iff 2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ \sin x\ne 0\iff x\ne k\pi \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\ x\ne k\pi \end{array}\right.\iff D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\pi \right\}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Ta có $f\left(-x\right)={\left(-x\right)}^2\tan \left(-2x\right)-\cot \left(-x\right)=-x^2\tan 2x+\cot x=-f\left(x\right)$.

Vậy hàm số$y=x^2\tan 2x-\cot x$ là hàm số lẻ.

Đáp án D

Hàm số $y=\tan x-2\cos 3x$ có nghĩa $\iff \cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}.$

Ta có $f\left(-x\right)=\tan \left(-x\right)-2\cos \left(-3x\right)=-\tan x-2\cos 3x\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}f\left(-x\right)\ne f\left(x\right)\\ f\left(-x\right)\ne -f\left(x\right)\end{array}\right.$.

Vậy hàm số $y=\tan x-2\cos 3x$ là hàm số không chẵn, không lẻ.

Đáp án B

Hàm số $y=1+\cos x\sin \left(\frac{3\pi }{2}-3x\right)$ có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$ .

Ta có $f\left(-x\right)=1+\cos \left(-x\right)\sin \left(\frac{3\pi }{2}-3\left(-x\right)\right)=1+\cos x\sin \left(\frac{3\pi }{2}+3x\right)=1+\cos x\sin \left(\pi -\frac{3\pi }{2}-3x\right)$

$=1+\cos x\sin \left(-\frac{\pi }{2}-3x+2\pi \right)=1+\cos x\sin \left(\frac{3\pi }{2}-3x\right)=f\left(x\right)$.

Vậy hàm số $y=1+\cos x\sin \left(\frac{3\pi }{2}-3x\right)$ là hàm số chẵn.

Đáp án B

+ Hàm số $f\left(x\right)=\frac{\cos 2x}{1+{\sin }^{2}3x}$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$.

Ta có $f\left(-x\right)=\frac{\cos \left(-2x\right)}{1+{\sin }^2\left(-3x\right)}=\frac{\cos 2x}{1+{\sin }^{2}3x}=f\left(x\right)$.

Vậy hàm số  $f\left(x\right)=\frac{\cos 2x}{1+{\sin }^{2}3x}$ là hàm số chẵn.

+ Hàm số $g\left(x\right)=\frac{\left|\sin 2x\right|-\cos 3x}{2+{\tan }^{2}x}$  có nghĩa $\iff \cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}.$

Ta có $g\left(-x\right)=\frac{\left|\sin \left(-2x\right)\right|-\cos \left(-3x\right)}{2+{\tan }^2\left(-x\right)}=\frac{\left|\sin 2x\right|-\cos 3x}{2+{\tan }^{2}x}=g\left(x\right)$.

Vậy hàm số  $g\left(x\right)=\frac{\left|\sin 2x\right|-\cos 3x}{2+{\tan }^{2}x}$ là hàm số chẵn.

Đáp án B

Hàm số $y=x^{2017}+\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$ có nghĩa  $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$.

Ta có $f\left(-x\right)={\left(-x\right)}^{2017}+\cos \left(-x-\frac{\pi }{2}\right)=-x^{2017}+\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$

$=-x^{2017}+\cos \left(x-\frac{\pi }{2}+\pi \right)=-x^{2017}-\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-f\left(x\right)$.

Vậy hàm số $y=x^{2017}+\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$ là hàm số lẻ.