240 câu Bài tập Hàm số mũ, logarit ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (P2)

Đáp án B.

Ta có $4=2^x+2^y\ge 2\sqrt{2^x.2^y}=2\sqrt{2^{x+y}}$

$\iff 4\ge 2^{x+y}\iff x+y\le 2.$

Suy ra $xy\le {\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2=1$

Khi đó

$$\begin{gathered} P=2\left(x^3+y^3\right)+4x^2{y}^2+10xy \\ = 2\left(x+y\right)\left[{\left(x+y\right)}^2-3xy\right]+{\left(2xy\right)}^2+10xy \end{gathered}$$

$\le 4\left(4-3xy\right)+4x^2{y}^2+10xy$

$=16+2x^2{y}^2+2xy\left(xy-1\right)\le 18$

Vậy P_max = 18 khi x = y = 1.

Đáp án D.

Điều kiện x > 0. Phương trình đã cho tương đương với:

Đáp án C.

$y\text{'}=\frac{{(2x+1)}^{\text{'}}}{(2x+1)\ln 3}=\frac{2}{(2x+1)\ln 3}$

Đáp án D.

Ta có

$$\begin{gathered} {\log }_{a}c=\frac{1}{3} \\ \Rightarrow {\log }_{c}a=3,{\log }_{b}c=5 \\ \Rightarrow {\log }_{c}b=\frac{1}{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\log }_{a.b}c=\frac{1}{{\log }_{c}a.b} \\ =\frac{1}{{\log }_{c}a+{\log }_{c}b} \\ =\frac{1}{3+{\displaystyle \frac{1}{5}}} \\ =\frac{5}{16} \end{gathered}$$.

Đáp án A.

Hàm số xác định trên R

Đáp án B.

Đặt 3^x = t > 0.

Phương trình <=> t² + 2(x – 2)t + 2x – 5 = 0

Có f(x) = 3^x là hàm số đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$

g(x) = –2x + 5 là hàm số nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$

=> Phương trình (*) ó f(x) = g(x) có nhiều nhất l nghiệm

Có f(1) = g(1) => x = 1 là nghiệm của phương trình.

Đáp án A.

+ Điều kiện: x > 0

Bất phương trình

=> Bất phương trình $x\le 2^{\frac{3}{x+1}}\iff f\left(x\right)\le 0\iff 0<x\le 2 \left(2\right).$

Từ (1) và (2) => Tập nghiệm của bất phương trình là

S = $(0;2]\cup [4;+\infty )$.

Vậy có 2016 nghiệm nguyên thỏa mãn.

Đáp án C.

Do hàm $y=x^{\frac{1}{3}}$có $\alpha =\frac{1}{3}$ là mũ không nguyên nên hàm số xác định khi x > 0

Đáp án D

.

Đáp án B.

$Do \frac{\pi }{4}<1$

Đáp án D.

Do AB//Ox => A, B nằm trên đường thẳng y = m $(m\ne 0)$

Do S_ABCD = 36

.

Đáp án B.

Đáp án C.

Phương trình viết lại: $9{\log }_3^{2}x-(9m+3){\log }_{3}x+9m-2=0$

Đặt t = log₃ x => t₁ + t₂ = log₃ x₁ + log₃ x₂ = log₃ (x₁x₂ )= 1

$\iff \frac{9m+3}{9}=1\iff m=\frac{2}{3}$ thỏa mãn điều kiện có nghiệm.

Đáp án A.

Đặt log₉ x = log₁₂ y = log₁₆ (x+y) = a => x = 9^a; y = 12^a; x + y = 16^a

=> 9^a + 12^a = 16^a

Đáp án A.

$\iff 2x^2-5x-2=0$ $\Rightarrow x_1+x_2=\frac{5}{2}$

Đáp án C.

Bất phương trình

$\iff {\left(\sqrt{10}+1\right)}^{{\log }_{3}x}-{\left(\sqrt{10}-1\right)}^{{\log }_{3}x}\ge \frac{2x}{3}$

$\iff {\left(\frac{\sqrt{10}+1}{3}\right)}^{{\log }_{3}x}-{\left(\frac{\sqrt{10}-1}{3}\right)}^{{\log }_{3}x}\ge \frac{2}{3}$

$\Rightarrow t-\frac{1}{t}\ge \frac{2}{3}$

$$\begin{gathered} \iff t^2-1\ge \frac{2}{3} \\ \iff 3t^2-2t-3\ge 0 \end{gathered}$$.

Đáp án B.

Điều kiện $x>\frac{1+\sqrt{33}}{2}$

Đặt t = log₃x <=> x = 3^t

Ta có bất phương trình: 9^t < 4.4^t + $3^t$ + 8

$\iff 4.{\left(\frac{4}{9}\right)}^t+{\left(\frac{1}{3}\right)}^t+8{\left(\frac{1}{9}\right)}^t>1$

Hàm số $f\left(t\right)=4.{\left(\frac{4}{9}\right)}^t+{\left(\frac{1}{3}\right)}^t+8{\left(\frac{1}{9}\right)}^t$  nghịch biến và f(2) = 1 nên ta có t < 2 tìm được tập nghiệm là $\left(\frac{1+\sqrt{33}}{2};9\right)$ có độ dài trên trục số là $9-\frac{1+\sqrt{33}}{2}=\frac{17-\sqrt{33}}{2}$.

Đáp án C.

Hàm số $y={(1+\sqrt{2})}^x$ đồng biến do cơ số $a=1+\sqrt{2}>1$

$\Rightarrow {(1+\sqrt{2})}^{2018}<{(1+\sqrt{2})}^{2019}$ nên C sai.

Đáp án D.

Điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất là m$\le -1$

Do thay x bởi –x thì phương trình không đổi nên điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất là x = 0 => m = –1

Thử lại với m = –1 thỏa mãn nên D đúng.

Đáp án C.

Đặt log x = t, bất phương trình

=> a + b + c =110.

Đáp án A.

Ta có

Đáp án A.

Bất phương trình

$0<x-1\le 4\iff 1<x\le 5$.

Đáp án C

Đặt 2^a = 3^b = 18^c = t

=> a = log₂t, b = log₃t, c = log₁₈t

$$\begin{gathered} \Rightarrow T=\frac{b}{c}-\frac{b}{a} \\ =\frac{{\log }_{3}t}{{\log }_{18}t}-\frac{{\log }_{3}t}{{\log }_{2}t} \\ =\frac{{\log }_{3}t}{{\displaystyle \frac{{\log }_{3}t}{{\log }_{3}18}}}-\frac{{\log }_{3}t}{{\displaystyle \frac{{\log }_{3}t}{{\log }_{3}2}}} \\ ={\log }_{3}18-{\log }_{3}2 \\ ={\log }_{3}9=2 \end{gathered}$$

Đáp án D

Tính đạo hàm và tìm tấp xác định của 3 hàm số trong đáp án A, B, C đều sai.

Ta có $y={\log }_2(2^x+1) có y^{\text{'}}=\frac{2^x}{2^x+1}>0\forall x\in \mathrm{ℝ}$.

Đáp án D.

Ta có

 $$\begin{gathered} \frac{1}{2}{\log }_c^2{\left(\frac{b}{a}\right)}^2=\frac{1}{2}{\left[{\log }_c{\left(\frac{b}{a}\right)}^2\right]}^2 \\ =\frac{1}{2}{\left(2{\log }_c\frac{b}{a}\right)}^2 \\ =2{\left({\log }_{c}b-{\log }_{c}a\right)}^2 \end{gathered}$$

=> D sai.

Đáp án D

$$\begin{gathered} \frac{1}{{\log }_2 n!}+\frac{1}{{\log }_3 n!}+...+\frac{1}{{\log }_n n!} \\ ={\log }_{n!} 2+{\log }_{n!} 3+...+{\log }_{n!} n \end{gathered}$$

= log_n! (2.3....n) = log_n! n! = 1.

Đáp án C

$$\begin{gathered} {(17-12\sqrt{2})}^x\le {(3+\sqrt{8})}^{x^2} \\ \iff {(3-\sqrt{8})}^{2x}\le {(3+\sqrt{8})}^{x^2} \end{gathered}$$

$\iff {(3+\sqrt{8})}^{-2x}\le {(3+\sqrt{8})}^{x^2}$

$\iff x^2\ge -2x\iff x^2+2x\ge 0$

Đáp án A.

Ta có (3^x + 3^–x)² = 9^x + 9^–x + 2= 23 + 2 = 25

=> 3^x + 3^–x = 5 vì 3^x + 3^–x > 0.

Đáp án A.

Ta có x² + 9y² = 6xy  <=> (x – 3y)² = 0 <=> x = 3y.

$\Rightarrow M=\frac{1+{\log }_{12} x+{\log }_{12} y}{2.{\log }_{12} 6y}=\frac{{\log }_{12} 12+{\log }_{12} 3y^2}{{\log }_{12} 36y^2}$

$=\frac{{\log }_{12} 36y^2}{{\log }_{12} 36y^2}=1$.

Đáp án C.

log₂ (x – 1) = 2 $\iff \left\{\begin{array}{l}x>1\\ x-1=4\end{array}\right.\iff x=5$