22 câu Dạng 2: Tìm thiết diện nhờ quan hệ song song có đáp án
22 câu hỏi
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) song song với (SBD) và đi qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C). Tìm thiết diện của (P) và hình chóp.
Gọi O=AC∩DB.
Do SO nằm trong SBD nên SO // α.
Mặt phẳng (SAC) chứa SO và có điểm chung với α là I, do đó SAC∩α=IK với IK // SO và K∈SA.
Tương tự SAB∩α=KE với KE // SB và E∈AB.
SAD∩α=KF với KF // SD và F∈AD.
Suy ra thiết diện của (P) với hình chóp S.ABCD là tam giác KEF.
Ta có EFBD=AEAB=AFAD=AKAS=KESB=KFSD
⇒ΔSBD đồng dạng với ΔKEF.
Tam giác SBD là tam giác đều nên ΔKEF cũng là tam giác đều.
Vậy thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD là tam giác đều.
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, ACC', AB'C'. Chứng minh (IJK) // (BB'C)
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC;CC';B'C'.
Do I, J, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, ACC' nên AIAM=AJAN=23 nên IJ // MN⇒IJ // BCC'B'.
Tương tự IK // BCC'B'⇒IJK // BCC'B'.
Hay IJK // BB'C.
Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A'B'C' có hai đáy là hai tam giác vuông tại A và A' và có ABA'B'=12. Khi đó tỉ số diện tích SΔABCSΔA'B'C' bằng bao nhiêu?
Hai tam giác ABC vàA'B'C' đồng dạng ABA'B'=BCB'C'=CAC'A'=12 nên SΔABCSΔA'B'C'=12AB.AC.sinA12A'B'.A'C'.sinA'=14.
Cách khác: Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng nên SΔABCSΔA'B'C'=122=14.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 10. Gọi M là điểm trên SA sao cho SMSA=23. Một mặt phẳng α đi qua M song song với AB và CD, cắt hình chóp theo một tứ giác. Tính diện tích tứ giác đó.
Qua M dựng đường thẳng song song AB cắt SB tại N.
Qua M dựng đường thẳng song song AD cắt SD tại Q.
Qua N dựng đường thẳng song song BC cắt SC tại P.
Ta có MN // AB⇒MN // ABCDNP // BC⇒NP // ABCD⇒MNPQ // ABCD.
Ta có tỉ lệ diện tích SMNPQSABCD=MNAB2=SMSA2=49.
Lại có SABCD=10.10=100⇔SMNPQ=100.49=4009.
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, SAD là tam giác đều. Gọi M là một điểm thuộc cạnh AB, AM = x, (P) là mặt phẳng qua M song song với (SAD). Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P).
Do P đi qua M và song song với SAD nên cắt các mặt của hình chóp bằng các giao tuyến đi qua M và song song với SAD. Do ABCD là hình thoi và tam giác SAD đều. Nên thiết diện thu được là hình thang cân MNEF MN // EF;MF=EN.
Ta có MN=a, EFBC=SFSB=MAAB=xa⇒EF=x; MF=a−x.
Đường cao FH của hình thang cân bằng FH=MF2−MN−EF22=32a−x.
Khi đó diện tích hình thang cân là S=34a2−x2
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Mệnh đề nào sau đây sai?
ABB'A' // CDD'C'.
BDA' // D'B'C.
BA'D' // ADC.
ACD' // A'C'B.
Đáp án C
Ta có BA'D'≡BCD'A' và ADC≡ABCD.
Mà BCA'D'∩ABCD=BC, suy ra BA'D' // ADC sai
Mệnh đề nào sau đây sai?
(BA'C') // (ACD')
(ADD'A') // (BCC'B)
(BA'D) // (CB'D')
(ABA') // (CB'D')
Đáp án D
Ta có BA' // CD'A'C' // AC⇒BA'C' // ACD'.
AD // BCAA' // BB'⇒ADD'A' // BCC'B'.
BD // B'D'A'D // B'C⇒BA'D // CB'D'
Mặt khác B'∈ABA'∩CB'D'⇒ D sai.
Đặc điểm nào sau đây đúng với hình lăng trụ?
Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau
Đáy của hình lăng trụ là hình bình hành
Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên là hình bình hành
Hình lăng trụ có tất cả các mặt là hình bình hành
Đáp án C
Ta có thể lấy hình lăng trụ có đáy là tam giác thường sẽ thấy các câu còn lại sai.
Trong hình hộp (hoặc lăng trụ, hoặc hình chóp cụt) đoạn thẳng nối hai đỉnh mà hai đỉnh đó không cùng nằm trên một mặt nào của hình hộp (hoặc hình lăng trụ, hoặc hình chóp cụt), được gọi là đường chéo của nó. Tìm mệnh đề đúng.
Hình lăng trụ tứ giác có các đường chéo đồng quy
Hình lăng trụ có các đường chéo đường chéo đồng quy
Hình chóp cụt có các đường chéo đồng quy
Hình hộp có các đường chéo đồng quy
Đáp án D
Vì trong hình hộp cứ hai đường chéo đồng phẳng tạo nên hình bình hành, nên chúng luôn cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Mệnh đề nào sau đây đúng?
IJK // BCD.
SA // IKL.
IK⊂SBC.
JL // SC.
Đáp án A
Ta có: IK // ACIJ // AB⇒IJK // BCD.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (các đỉnh lấy theo thứ tự đó), AC cắt BD tại O còn A'C' cắt B'D' tại O'. Khi đó (AB'D') sẽ song song với mặt phẳng nào dưới đây?
A'OC'.
BDA'.
BDC'.
BCD.
Đáp án C
Ta có: BD // B'D'⊂AB'D'DC' // AB'⊂AB'D'BD∩DC'=D nên AB'D' // BDC'.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. gọi I là trung điểm của A'B'. Mặt phẳng (IBD) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?
Hình chữ nhật
Hình thang
Hình bình hành
Tam giác
Đáp án B
Gọi J=A'D'∩IBD.
Ta có thiết diện của mặt phẳng IBD và hình hộp là tứ giác IJDB.
Mặt khác ABCD // A'B'C'D'IBD∩A'B'C'D'=IJ⇒IJ // BDIBD∩ABCD=BD
=> IJDB là hình thang.
Cho hình hộp ABCD.EFGH, gọi I, J lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và EFGH. Khẳng định nào sau đây là sai?
ABCD // EFGH.
ABFE // DCGH.
ACGE // BDHF.
ABJ // GHI.
Đáp án C
Ta có AC∩BD=I và EG∩HF=J nên ACGE∩BDHF=IJ.
Nên C sai.
Phát biểu nào dưới đây là định lý Ta-lét trong không gian?
Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng bằng nhau.
Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song các đoạn thẳng tương ứng bằng nhau.
Đáp án C
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C', gọi M, N theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C'. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hình lăng trụ đã cho là
hình bình hành
hình tam giác vuông
hình thang
hình tam giác cân
Đáp án A
Ta có N∈A'I' và M∈AI (A'I' là trung tuyến của ΔA'B'C' và AI là trung tuyến của ΔABC)
Do đó mp (AMN) cũng chính là mp (A'I'IA)
Ta có AA'I'I∩A'B'C'=A'I';AA'I'I∩ABC=AI;
AA'I'I∩BCC'B'=II'.
Vậy thiết diện tạo với mp (A'I'IA) và hình lăng trụ là tứ giác AA'I'I
Mặt khác II' // CC' (đường trung bình trong hình bình hành CC'B'B) và CC' // AA' (tính chất hình lăng trụ).
Do đó II' // AA'
II' = CC' (đường trung bình trong hình bình hành CC'B'B )
và CC' = AA' (tính chất lăng trụ). Do đó II' = AA'
Vậy tứ giác AA'I'I là hình bình hành.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D', gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, B'C', DD' Khẳng định nào sau đây sai?
mp MNP không song song với mp BDC'
mp MNP cắt lập phương theo thiết diện là một lục giác ABCD.A'B'C'D'
mp MNP đi qua tâm của hình lập phương
mp MNP đi qua trung điểm của cạnh BB'
Đáp án A
Gọi S, R, Q lần lượt là trung điểm của AD, C'D',BB'.
Dễ thấy, MS // NR;
PS // QN;
MQ // PR.
=> M, S, P, R, N, Q đồng phẳng.
Lại có MS // BD⇒MS // BDC';
PS // NQ // BC'⇒PS // BDC'.
Vậy MNP // BDC'.
Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là điểm di động trên đoạn AB. Mặt phẳng α đi qua M song song với SBC cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là
hình bình hành
hình vuông
hình tam giác
hình thang
Đáp án D
Gọi MN=α∩ABCD với N∈CD, ta có
α // SBCSBC∩ABCD=BC⇒MN // BC.
Gọi NK=α∩SCD với K∈SD, ta có
α // SBCSBC∩SCD=SC⇒KN // SC.
Do MN // BC // AD nên MN // SAD.
Gọi KQ=α∩SAB với Q∈SA, ta có KQ // AD.
Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng α là hình thang MNKQ có đáy MN và QK.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC thỏa mãn AB = AC = 4, BAC^=30°. Mặt phẳng (P) song song với (ABC) cắt SA tại M sao cho SM = 2MA. Diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
169.
259.
149.
1.
Đáp án A
Đường thẳng qua M song song với AB cắt SB tại N.
Đường thẳng qua N song song với BC cắt SC tại P.
Ta có MN // AB⇒MN // ABCMP // AC⇒MP // ABC⇒MNP // ABC.
Gọi h1 là đường cao của ΔMNP ứng với đáy MN.
Gọi h2 là đường cao của ΔABC ứng với đáy AB.
Dễ thấy ΔMNP đồng dạng ΔABC ta có MNAB=h1h2=SMSA=23.
Ta có SΔMNPSΔABC=12h1.MN12h2.AB=23.23=49.
Lại có SΔABC=12AB.AC.sinBAC^=12.4.4.sin30°=4
⇒SΔMNP=SΔABC.49=4.49=169.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy C là hình thang cân với cạnh bên BC=2, hai đáy AB=6,CD=4. Mặt phẳng P song song với ABCD và cắt cạnh SA tại M sao cho SA=3SM. Diện tích thiết diện của P và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?
233.
739.
2.
539.
Đáp án D
Trong mặt phẳng SAD kẻ MN // AD, SDC kẻ NP // DC, SBC kẻ PQ // BC.
Suy ra thiết diện của P và hình chóp S.ABCD là tứ giác MNPQ.
Gọi CH là đường cao trong hình thang ABCD ta có CH=22−12=3.
Suy ra SABCD=AB+DC2CH=4+62.3=53.
Do MNPQ đồng dạng với ABCD theo tỷ số k=13 nên SMNPQ=5332=539.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, AB = 8, SA = SB = 6. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua O và song song với (SAB). Tính diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD.
12.
65.
55.
13.
Đáp án B
Qua O dựng đường thẳng PQ // AB
Vậy P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC.
Qua P dựng đường thẳng PN // SA
Vậy N là trung điểm của SD.
Qua Q dựng đường thẳng QM // SB
Vậy M là trung điểm của SC. Nối M và N
=> thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD là tứ giác MNPQ.
Vì PQ // CD; MN // CD⇒PQ // MN.
Vậy tứ giác MNPQ là hình thang.
Ta có PQ=AB=8; MN=12AB=4; MQ=NP=12SA=3.
Vậy MNPQ là hình thang cân.
Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh M của hình thang MNPQ.
Khi đó ta có HQ=14PQ=2⇒MH=MQ2−HQ2=5.
Vậy diện tích của thiết diện cần tìm là S=MN+PQ.MH2=65.
Cho hình chóp S.ABC có M là điểm di động trên cạnh SA sao cho SMSA=kk∈ℝ,0<k<1. Gọi α là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng ABC. Tìm k để mặt phẳng α cắt hình chóp S.ABC theo một thiết diện có diện tích bằng một nửa diện tích tam giác ABC.
k=22.
k=13.
k=32.
k=12.
Đáp án A
Gọi N, P là hai điểm lần lượt thuộc SB, SC thỏa mãn MN // AB, MP // AC.
Ta có MN // AB⇒MN // ABCMP // AC⇒MP // ABC⇒MNP // ABC.
Gọi h1 là đường cao của ΔMNP ứng với đáy MN.
Gọi h2 là đường cao của ΔABC ứng với đáy AB.
Dễ thấy ΔMNP đồng dạng ΔABC ta có MNAB=h1h2=k.
Vậy để thỏa mãn yêu cầu bài toán
SΔMNPSΔABC=12h1.MN12h2.AB=12⇔k.k=12⇔k=22.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Các điểm M, N lần lượt trên AD', BD sao cho AM=DN=x0<x<a2. Khi đó với mọi giá trị x thì đường thẳng MN song song với mặt phẳng nào sau đây?
AD'C'B.
A'DC'B.
A'D'CB.
ADC'B'.
Đáp án C
Do tất cả các mặt bên đều là hình vuông cạnh a nên theo tính chất hình hộp ta có ABCD cũng là hình vuông cạnh a. Suy ra BD=AD'=a2.
Qua N kẻ NK // ADvới K∈AB. Qua M kẻ MI // A'D' với I∈AA'.
Ta có BKBA=BNBD⇔BA−KABA=BD−NDBD⇔KABA=NDBD.
Mà NDBD=AMAD'=AIAA'. Do đó AIAA'=AKAB⇒IK // A'B.
Ta có I∈MNK do IM // KN // AD. Suy ra MN⊂MNIK // A'D'CB.
Vậy MN song song với mặt phẳng A'D'CB với mọi 0<x<a2.
