16 câu Dạng 2: Dựng thiết diện song song với một đường thẳng có đáp án

Ta có M∈α và M∈SAB.

Mặt khác CD // α suy ra α∩SAB=Mx trong đó Mx // CD và Mx∩SA=N.

Ta lại có MO là đường trung bình của tam giác SBD nên MO // SD⇒O∈α.

Suy ra α∩ABCD=Oy, Oy // CD và Oy cắt AD và BC lần lượt tại P, Q.

Vậy MNPQ là thiết diện của mặt phẳng α với hình chóp S.ABCD.

Ta có MN là đường trung bình của tam giác BCD nên MN // BD

Do P∈AD nên MNP∩ABD=Px sao cho Px // BD và Px∩AB=Q.

Khi đó thiết diện của mặt phẳng (MNP) với tứ diện ABCD là tứ giác MNPQ.

a) Ta có S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

Kéo dài BC cắt AD tại I. Khi đó I là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

Suy ra SI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

 

b) Trong mặt phẳng (SBC) kéo dài MN cắt SI tại E.

Gọi F là giao điểm của AE và SD

Ta có F∈SD và F∈AEmà AE⊂AMNnên F=SD∩AMN

c) Ta có MN // BC nên BC // AMN

Thiết diện (AMN) với hình chóp S.ABCD là tứ giác AMNF.

Ta có HK là đường trung bình của tam giác BCD nên HK // BD

Gọi E=AH∩BD; nối SE cắt MH tại F. Do HK // BD nên giao tuyến của (MHK) với mặt phẳng (SBD) là đường thẳng đi qua F và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại N, I.

Suy ra thiết diện của (MHK) với hình chóp S.ABCD là ngũ giác MNHKI

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD.

Do K, J lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ACD nên AKAM=AJAN=23.

Áp dụng định lý Ta-lét suy ra KJ // MN

Suy ra KIJ∩BCD=Ix, trong đó Ix // MN.

Giả sử Ix cắt BC, CD lần lượt tại P và Q. Vậy thiết diện của mặt phẳng (KIJ) với tứ diện ABCD là tứ giác KPQJ.

a) Qua M dựng đường thẳng song song với AB cắt AD tại N.

Qua M, N dựng các đường thẳng song song với CD cắt BC, AC lần lượt tại Q, P. Tứ giác MNPQ là thiết diện tạo bởi mặt phẳng α với tứ diện ABCD.

b) Theo cách dựng trên ta có NP // MQ

Mặt khác AB // (MNPQ) mà AB và PQ cùng nằm trên mặt phẳng (ABC) nên AB // PQ.

Suy ra PQ // MN hay tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Ta lại có CD⊥AB⇒MN⊥NP. Vậy MNPQ là hình chữ nhật.

Xét tam giác BCD, có CD=BD.cosBDC^=a.cos30°=a32.

Do MQ // CD suy ra BMBD=MQCD⇒MQ=BMBD.CD=xa.a32=x32.

Ta cũng có DMDB=MNAB⇒MN=DMDB.AB=DM=a−x.

Vậy diện tích của thiết diện MNPQ là S=MN.MQ=a−xx32.

c) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a−x và x.

Ta có a=a−x+x≥2a−xx⇒a−xx≤a24.

Suy ra S≤a24.32=a238. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a−x=x⇔x=a2 hay M là trung điểm của BD.

Vậy diện tích của thiết diện lớn nhất khi M là trung điểm của BD.

Đáp án A

α và ABC có M chung, αsong song với AB, AB⊂ABC

⇒α∩ABC=Mx, Mx // ABgọi Mx∩BC=N.

α và  có M chung, α song song với AD, AD⊂ACD

⇒α∩ACD=My, My // AD và My∩CD=P.

Ta có α∩ABC=MN; α∩ACD=MP; α∩BCD=NP.

Thiết diện của αvới tứ diện ABCD là tam giác MNP

Đáp án B

α qua G, song song với CD ⇒α∩BCD=HI (giao tuyến đi qua G và song song CD, H∈BC, I∈CD).

Tương tự ta được α∩ABD=IJ sao cho IJ // AB.

α∩ACD=JNsao cho JN // CD.

α∩ABC=HN.

Vậy α là HNJI

Vì G là trọng tâm tam giác BCD mà IG // CDnên BGBM=BIBC=23.

Mặt khác IJ song song AB nên BIBC=AJAD=23.

Lại có JK song song DM (vì K∈AM, M∈CD) nên AKAM=AJAD=23.

Vậy AK=23AM.

Đáp án D

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD => I là trung điểm của AC và BD.

P // SABD⊂P⇒P∩SAC=OI.

Khi đó OI // SAvà I là trung điểm của SC. P∩SBC=BI và P∩SCD=ID.

Vậy thiết diện là tam giác BDI. 

Đáp án B

α song song với SB nên α cắt SABtheo giao tuyến MN với N là trung điểm SA.

α song song với AD nên α cắt ABCD và SAD theo giao tuyến MQ và NP với P, Q là trung điểm của SD và MQ // AD.

Ta được thiết diện là hình thang MNPQ.

Đáp án B

BC // SAD nên giao tuyến của IBC và SAD là IJ (J là trung điểm SD).

Khi đó thiết diện là hình thang IJCB.

Đáp án D

Ta có M là một điểm thuộc đoạn SB với M khác S và B.

Suy ra M∈ADM∩SBCAD⊂ADMBC⊂SBCAD // BC

⇒ADM∩SBC=Mx sao cho Mx // BC // AD.

Gọi N=Mx∩SC thì ADMcắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác AMND. Vì MN // ADvà MN với AD không bằng nhau nên tứ giác AMND là hình thang.