13 câu Dạng 3: Tìm thiết diện tạo bời một mặt phẳng và hình chóp. Chứng minh ba điểm thẳng hàng có đáp án
13 câu hỏi
Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là các điểm nằm trên AB, AD sao cho BD và IJ không song song. Tìm thiết diện tạo bởi (CU) và hình chóp
Ta có
CIJ∩ABD=IJCIJ∩ABC=ICCIJ∩ACD=CJ
Vậy thiết diện cần tìm là ∆CIJ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
a) Trong mặt phẳng (ABCD): O=AD∩BC
Ta có (SAD) và (SBC) có S chung
Lại có O∈AD⊂SAD⇒O∈SADO∈BC⊂SBC⇒O∈SBC⇒O∈SAD∩SBC
Nên SO=SAD∩SBC
b) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AMN)
b) Trong mặt phẳng (SOB) có P=SO∩MN và trong (SOA) gọi Q=AP∩SD
Khi đó ta có
SBC∩AMN=MNSCD∩AMN=QNSAD∩AMN=AQSAB∩AMN=AM
Vậy thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (AMN) là tứ giác AMNQ
Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD và P là một điểm thuộc cạnh BC (P không trùng trung điểm cạnh BC). Tìm thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Trong mp (ABC) kéo dài MP và AC cắt nhau tại I.
Trong mp (ACD) kéo dài IN cắt AD tại Q
Ta có
ABC∩MNP=MPBCD∩MNP=PNACD∩MNP=NQABD∩MNP=QM
Vậy thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) là tứ giác MNPQ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P là các điểm lần lượt trên các cạnh CB, CD, SA. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP)
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I=MN∩AB; J=MN∩AD
Trong (SAD) gọi Q=SD∩PJ
Trong (SAB) gọi R=SB∩PI
Khi đó, dễ dàng chứng minh được M, N, Q, P, R lần lượt là giao điểm của (MNP) với các cạnh BC, CD, SD, SA, SB.
Do đó thiết diện cần tìm là ngũ giác MNQPR
Cho hình chóp S.ABCD (AB và CD không song song) và M là điểm nằm trong ∆SCD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (ABM)
Trong (ABCD) gọi N=AB∩CD
Trong (SCD) gọi E=MN∩SC; F=MN∩SD
Khi đó, dễ dàng chứng minh được E, F lần lượt là giao điểm của (ABM) với SC, SD.
Do đó thiết diện cần tìm là tứ giác ABEF.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trong mặt phẳng (ABCD) vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành. Trên cạnh SC lấy điểm M. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (M,d).
Trong (ABCD) gọi E=d∩BC; F=d∩CD
Trong (SBC) gọi I=ME∩SB
Trong (SCD) gọi N=MF∩SD
Khi đó, ta có tứ giác AIMN là thiết diện cần tìm.
Cho hình chóp S.ABCD. M là điểm thuộc cạnh SB (không trùng với S và B). Thiết diện tạo bởi (AMD) và hình chóp S.ABCD là
ngũ giác
tứ giác
tam giác
không có
Đáp án B
Ta có SBD∩SAC=SO; ADM∩SBD=MD
Gọi MD∩SO=G⇒SAC∩ADM=AG
Gọi N=AG∩SC
=> Thiết diện khi cắt bởi hình chóp là tứ giác ADNM
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, cắt hình chóp bằng mặt phẳng (MNP), trong đó M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD, SC. Thiết diện nhận được là
ngũ giác
tứ giác
tam giác
không có
Đáp án A
Trong mp (ABCD) gọi E=CD∩MN; Q=PE∩SD
Gọi F=BC∩MN; R=PF∩SB. Suy ra thiết diện tao bởi mặt phẳng (MNP) với hình chóp là ngũ giác MNQPR.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SB và SD. Thiết diện của mặt phẳng (AIJ) với hình chóp là
tam giác
ngũ giác
tứ giác
lục giác
Đáp án C
Gọi O=AC∩BD; K=SO∩IJ; H=AK∩SC
Khi đó thiết diện của mặt phẳng (AIJ) với hình chóp S.ABCD là tứ giác AIHJ
Cho tứ diện ABCD và ba điểm M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC, AD (không trùng với các đỉnh). Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) là
một đoạn thẳng
một tứ giác
một tam giác đều
một tam giác
Đáp án D
Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) là tam giác MNP
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (GCD) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích
a232
a224
a226
a234
Đáp án B
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, BC suy ra AN∩MC=G
(GCD) cắt đường thẳng AB tại điểm M.
Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng (GCD) và tứ diện ABCD.
∆ABD đều có M là trung điểm AB suy ra MD=a32
∆ABC đều có M là trung điểm AB suy ra MC=a32
Gọi H là trung điểm CD ⇒MH⊥CD⇒SΔMCD=12.MH.CD
Với MH=MC2−HD2=MC2−CD24=a22
Vậy SΔMCD=12.a22.a=a224
Cho tứ diện ABCD; gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC, E là điểm trên cạnh CD với ED = 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNE) và tứ diện ABCD
tam giác MNE
tứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD
hình bình hành MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF // BC
hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF // BC
Đáp án D
Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC => MN // BC
Từ E kẻ đường thẳng d song song với BC và cắt BD tại F
=> EF // BC.
Do đó MN // EF suy ra bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng và MNEF là hình thang
Vây hình thang MNEF là thiết diện cần tìm
