13 câu Dạng 3: Tìm thiết diện tạo bời một mặt phẳng và hình chóp. Chứng minh ba điểm thẳng hàng có đáp án

Ta có

$$\begin{gathered} \left(CIJ\right)\cap \left(ABD\right)=IJ \\ \left(CIJ\right)\cap \left(ABC\right)=IC \\ \left(CIJ\right)\cap \left(ACD\right)=CJ \end{gathered}$$

a) Trong mặt phẳng (ABCD): $\left\{O\right\}=AD\cap BC$

Ta có (SAD) và (SBC) có S chung

Lại có $\left\{\begin{array}{l}O\in AD\subset \left(SAD\right)\Rightarrow O\in \left(SAD\right)\\ O\in BC\subset \left(SBC\right)\Rightarrow O\in \left(SBC\right)\end{array}\right.\Rightarrow O\in \left(SAD\right)\cap \left(SBC\right)$

Nên $SO=\left(SAD\right)\cap \left(SBC\right)$

Trong mp (ABC) kéo dài MP và AC cắt nhau tại I.

Trong mp (ACD) kéo dài IN cắt AD tại Q

Ta có

$\begin{array}{l}\left(ABC\right)\cap \left(MNP\right)=MP\\ \left(BCD\right)\cap \left(MNP\right)=PN\\ \left(ACD\right)\cap \left(MNP\right)=NQ\\ \left(ABD\right)\cap \left(MNP\right)=QM\end{array}$

Vậy thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) là tứ giác MNPQ

 Trong mặt phẳng (ABCD) gọi $\left\{I\right\}=MN\cap AB;\left\{J\right\}=MN\cap AD$

Trong (SAD) gọi $\left\{Q\right\}=SD\cap PJ$

Trong (SAB) gọi $\left\{R\right\}=SB\cap PI$

Khi đó, dễ dàng chứng minh được M, N, Q, P, R lần lượt là giao điểm của (MNP) với các cạnh BC, CD, SD, SA, SB.

Do đó thiết diện cần tìm là ngũ giác MNQPR

Trong (ABCD) gọi $\left\{N\right\}=AB\cap CD$

Trong (SCD) gọi $\left\{E\right\}=MN\cap SC;\left\{F\right\}=MN\cap SD$

Khi đó, dễ dàng chứng minh được E, F lần lượt là giao điểm của (ABM) với SC, SD.

Do đó thiết diện cần tìm là tứ giác ABEF.

Trong (ABCD) gọi $\left\{E\right\}=d\cap BC;\left\{F\right\}=d\cap CD$

Trong (SBC) gọi $\left\{I\right\}=ME\cap SB$

Trong (SCD) gọi $\left\{N\right\}=MF\cap SD$

Khi đó, ta có tứ giác AIMN là thiết diện cần tìm.

Ta có $\left(SBD\right)\cap \left(SAC\right)=SO;\left(ADM\right)\cap \left(SBD\right)=MD$

Gọi $MD\cap SO=\left\{G\right\}\Rightarrow \left(SAC\right)\cap \left(ADM\right)=AG$

Gọi $\left\{N\right\}=AG\cap SC$

=> Thiết diện khi cắt bởi hình chóp là tứ giác ADNM

Trong mp (ABCD) gọi $\left\{E\right\}=CD\cap MN;\left\{Q\right\}=PE\cap SD$

Gọi $\left\{F\right\}=BC\cap MN;\left\{R\right\}=PF\cap SB$. Suy ra thiết diện tao bởi mặt phẳng (MNP) với hình chóp là ngũ giác MNQPR.

Gọi $\left\{O\right\}=AC\cap BD;\left\{K\right\}=SO\cap IJ;\left\{H\right\}=AK\cap SC$

Khi đó thiết diện của mặt phẳng (AIJ) với hình chóp S.ABCD là tứ giác AIHJ

Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) là tam giác MNP

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, BC suy ra $AN\cap MC=\left\{G\right\}$

(GCD) cắt đường thẳng AB tại điểm M.

Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng (GCD) và tứ diện ABCD.

∆ABD đều có M là trung điểm AB suy ra $MD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

∆ABC đều có M là trung điểm AB suy ra $MC=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Gọi H là trung điểm CD $\Rightarrow MH\perp CD\Rightarrow S_{\Delta MCD}=\frac{1}{2}.MH.CD$

Với $MH=\sqrt{M{C}^2-H{D}^2}=\sqrt{M{C}^2-\frac{C{D}^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vậy $S_{\Delta MCD}=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.a=\frac{a^2\sqrt{2}}{4}$

Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC => MN // BC

Từ E kẻ đường thẳng d song song với BC và cắt BD tại F

=> EF // BC.

Do đó MN // EF suy ra bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng và MNEF là hình thang

Vây hình thang MNEF là thiết diện cần tìm