(2023) Đề thi thử Toán THPT Chuyên Lam Sơn có đáp án
50 câu hỏi
Cho hàm số y=x4−3x2+2023 có đồ thị (C). Hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng -1 là:
-10
2
10
-2
Chọn B
Ta có: y=x4−3x2+2023⇒y'=4x3−6x⇒ hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng -1 là: y'−1=−4+6=2
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm
x = 1
x = -3
x = -1
x = 2
Chọn C
Từ bảng biến thiên ta thấy y' đổi dấu từ âm sang dương khi x qua -1 nên x = -1 là điểm cực tiểu của hàm số
Tập xác định của hàm số y=x−215 là
2;+∞
2;+∞
ℝ
ℝ\2
Chọn B
Hàm số xác định khi và chỉ khi x−2>0⇔x>2..
Suy ra tập xác định của hàm số là 2;+∞
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA=a6 và vuông góc với đáy (ABCD). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng
πa22
2πa2
8πa2
4πa2
Chọn C
Ta có: SA⊥ABCD⇒SA⊥BC. Mà AB⊥BC⇒BC⊥SAB⇒BC⊥SB.
Chứng minh tương tự DC⊥SD. Vậy SBC^=900; SDC^=900⇒ mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có đường kính SC.
SC=SA2+AC2=22a⇒R=SC2=2a.
Nên diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng 4πR2=8πa2.
Đạo hàm của hàm số y = ln(3x + 1) là
y'=33x+12
y'=33x+1
y'=ln33x+1
y'=13x+1
Chọn B
y=ln3x+1⇒y'=3x+1'3x+1=33x+1.
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 2, công bội q = 3. Hỏi u100 bằng bao nhiêu?
2.399
3.2100
3.299
2.3100
Chọn A
Ta có u100=u1.q99=2.399
Thể tích của khối trụ có chiều cao bằng 3a và bán kính đáy bằng a là
9πa3
πa3
6πa3
3πa3
Chọn D
Thể tích của khối trụ là V=πr2h=πa2.3a=3πa3
Đặt log23=a,log25=b. Khi đó log53 bằng
a−b
ab
ba
ab
Chọn D
Ta có log53=log23log25=ab
Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x2 - 1)(x - 4) với mọi x∈ℝ. Hàm số g(x) = f(-x) có bao nhiêu điểm cực đại?
3
4
1
2
Chọn C
Ta có g'x=−f'−x=−x2−1−x−4.
Khi đó g'x=0⇔−x2−1−x−4=0⇔x=1x=−1x=−4.
Bảng biến thiên
Hàm số g(x) = f(-x) có 1 điểm cực đại.
Xét a, b là các số thực dương thỏa mãn 4log2a + 2log4b = 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
a4b=2
a4b=1
a4b2=2
a4b2=4
Chọn A
Ta có 4log2a+2log4b=1⇔4log2a+log2b=1⇔log2a4+log4b=1⇔log2a4b=1⇔a4b=2
Khẳng định nào sau đây đúng?
∫sin2xdx=12cos2x+C
∫sin2xdx=−cos2x+C
∫sin2xdx=−12cos2x+C
∫sin2xdx=2cos2x+C
Chọn C
Ta có ∫sin2xdx=12∫sin2xd2x=−12cos2x+C
Biết ∫12fxdx=2, ∫12gxdx=3. Khi đó ∫12fx−2gxdx bằng
1
8
-4
-1
Chọn C
Ta có ∫12fx−2gxdx=∫12fxdx−2∫12gxdx=2−2.3=−4
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông, cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Số đo của góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng
60o
45o
30o
90o
Chọn A
Ta có góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng SAH^.
Mà SH=a2−a22=a32, AH=BC2=a2
Trong tam giác vuông SHA, tanSAH^=SHAH=a32a2=3⇒SAH^=60°
Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong trong hình dưới đây?
y=x+1x−2
y=x3−12x+1
y=x4−4x2+1
y=−x4+4x2+1
Chọn C
Đồ thị hàm số đã cho là đồ thị hàm bậc bốn trùng phương.
Từ đồ thị ta có limx→±∞y=+∞⇒a>0. Suy ra chọn .
Cho hàm số a, b, c là các số thực dương khác 1. Hình vẽ dưới đây là đồ thị của ba hàm số y=ax, y=bx, y=cx. Khẳng định nào sau đây là đúng?
c > b > a
c > a > b
a > c > b
a > b > c
Chọn B
Đường thẳng x = 1lần lượt cắt các đường đồ thị hàm mũ tại các điểm có tung độ chính là cơ số. Từ hình ảnh đồ thị ta suy ra c > a > b.
Hàm số nào trong các hàm số sau có bảng biến thiên như hình bên
y=12x
y=log13x
y=log2x
y=2x
Chọn A
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Biết thể tích khối chóp A.BA'C' bằng 12, thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
18
72
24
36
Chọn D
Ta có: VA.BA'C'=13VABC.BA'C'⇒VABC.BA'C'=3.12=36
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R\{-1} và có bảng biến thiên như hình bên. Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
2
1
3
4
Chọn C
Ta có: limx→+∞fx=2 nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
limx→−∞fx=5 nên đường thẳng y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
limx→−1+fx=+∞ nên đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là 3.
Tập nghiệm của bất phương trình log342x+1≥log34x+2 là
−12 ; 1
1 ; +∞
−2 ; 1
−12 ; +∞
Chọn A
Ta có: log342x+1≥log34x+2⇔2x+1>02x+1≤x+2⇔x>−12x≤1⇔−12<x≤1.
Tập nghiệm của bất phương trình log342x+1≥log34x+2 là −12 ; 1
Nghiệm của phương trình 3x+1=92x là
x=1
x=−1
x=14
x=13
Chọn D
Ta có: 3x+1=92x⇔3x+1=34x⇔x+1=4x⇔x=13
Cho hàm số y = f(x) có f'(x) = 3. Đặt g(x) = f(x2 + 1), giá trị g'(1) bằng
3
6
1
12
Chọn B
Ta có gx=fx2+1⇒g'x=2x.f'x2+1.
Ta có g'1=2.1f'12+1=2.f'2=2.3=6
Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (-1,2) thì hàm số y = f(x + 2) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
(-1;2)
(-3;0)
(-2;4)
(1;4)
Chọn B
Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng −1; 2⇒f'x>0⇔x∈−1; 2.
Xét hàm số y=fx+2⇒y'=f'x+2.
Ta có y'>0⇔f'x+2>0⇔x+2∈−1; 2⇔x∈−3; 0.
Vậy hàm số y = f(x + 2) đồng biến trên khoảng (-3;0)
Thể tích của khối cầu có bán kính 2a bằng
32πa3
323πa3
43πa3
4πa3
Chọn B
Ta có V=43πR3=43π2a3=323πa3
Cho hình nón có độ dài đường sinh l = 6, bán kính đáy r = 4. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
36π
48π
12π
24π
Chọn D
Ta có Sxq=πrl=π.4.6=24π
Cho hàm số y=x−2x+1. Chọn khẳng định đúng:
Hàm số đồng biến trên R
Hàm số đồng biến trên khoảng −∞; −1
Hàm số nghịch biến trên R
Hàm số nghịch biến trên khoảng −∞; −1
Chọn B
Tập xác định D=ℝ\−1.
Ta có y=x−2x+1⇒y'=3x+12>0, ∀x∈D.
Suy ra, hàm số y=x−2x+1 đồng biến trên mỗi khoảng −∞; −1, −1; +∞
Đồ thị hàm số y=2x3−x2x2+x−2 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
3
1
4
2
Chọn B
Tập xác định của hàm số là D=−3;3\1.
Có limx→1−2x3−x2x2+x−2=−∞,limx→1+2x3−x2x2+x−2=+∞ nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng x = 1
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình bên. Hỏi phương trình (f(x))2 = 4 có bao nhiêu nghiệm thực?
4
5
2
3
Chọn A
Phương trình fx2=4⇔fx=2fx=−2
Dựa vạo đồ thị, phương trình f(x) = 2 có một nghiệm thực, phương trình f(x) = -2 có 3 nghiệm thực phân biệt, tất cả các nghiệm trên đều khác nhau nên phương trình đã cho có 4 nghiệm thực phân biệt.
Trên 0;9π4 phương trình sinx=15 có bao nhiêu nghiệm?
1
3
2
4
Chọn B
Biểu diễn cung x∈0;9π4 trên đường tròn lượng giác và vẽ đường thẳng y=15, ta thấy phương trình sinx=15 có 3 nghiệm trong 0;9π4.
.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số mà chỉ có chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?
840
4536
756
5040
Chọn B
Giả sử số cần lập có dạng abcda¯ a≠0,b≠c≠d.
Chọn a: Có 9 cách.
Chọn các chữ số b, c, d: Có A93 cách.
Vậy có tất cả 9.A93=4536 số thoả mãn bài toán.
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số fx=3x−1x−3 trên đoạn [0;2] bằng
−163
143
163
−143
Chọn D
Ta có f'x=−8x−32<0∀x∈[0;2]
Suy ra f(x) nghịch biến trên khoảng (0;2)max[0;2]fx=f0=13min[0;2]fx=f2=−5max[0;2]fx+min[0;2]fx=13−5=−143
Cắt hình nón bởi một hình phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a6. Thể tích của khối nón đó bằng
V=πa363
V=πa362
V=πa364
V=πa366
Chọn C
Ta có h=SO=12AB=a62, R=OA=12AB=a62V=13S.h=13πa622.a62=πa364
Biết ∫011x2+3x+2dx=aln2+bln3 với a, b là các số nguyên. Khẳng định nào dưới đây đúng?
a + 2b = 0
a + b = -2
a + 2b = 2
a + b = 2
Chọn A
Lí thuyết.
∫011x2+3x+2dx=∫011x+1−1x+2dx=lnx+1x+201=ln23−ln12=2ln2−ln3
Suy ra a=2,b=−1⇒a+2b=0
Năm 2022, một hãng công nghệ có 30 triệu người dùng phần mềm của họ. Hãng đặt kế hoạch, trong 3 năm tiếp theo, mỗi năm số lượng người dùng phần mềm tăng 8% so với năm trước và từ năm thứ 4 trở đi, số lượng người dùng phần mềm sẽ tăng 5% so với năm trước đó. Theo kế hoạch đó, hỏi bắt đầu từ năm nào số lượng người dùng phần mềm của hãng sẽ vượt quá 50 triệu người?
Năm 2029
Năm 2028
Năm 2031
Năm 2030
Chọn C
Số lượng người dùng phần mềm của công ty sau 3 năm: T1=30.1+81003=37,79136.
Số lượng người dùng phần mềm của công ty sau 50 năm tiếp theo: T2=37,79.1+5100n
Để người dùng vượt quá 50 triệu người thì 37,79136.1+5100n>50⇔n>5, n∈ℕ nên n = 6
Suy ra cần ít nhất 3 + 6 = 9 năm.
2022 + 9 = 2031
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log2(9−2x)=3−x bằng
3
0
4
-2
Chọn A
Phương trình log2(9−2x)=3−x⇔9−2x>09−2x=23−x⇔2x<922x−9.2x+8=0⇔2x<92x=12x=8⇔x=0x=3Vậy tổng các nghiệm là 3
Tìm hệ số của x5 trong khai triển x22−1xn biết n là số dương thỏa mãn: 5Cnn−1−Cn3=0
−352
3516
−3516
352
Chọn C
Ta có : 5Cnn−1−Cn3=0⇔5n−n(n−1)(n−2)6=0⇔30−(n−1(n−2)=0 (do n≥3)
⇔n2−3n−28=0⇔n=7(tm)n=−4(l)
Số hạng tổng quát trong khai triển x22−1x7 là:
C7kx227−k.−1xk=C7k.(−1)k.127−k.x14−3k(0≤k≤7)
Số hạng chứa x5 ứng với số tự nhiên k thỏa mãn: 14−3k=5⇔k=3.
Vậy hệ số của x5 là: C73.(−1)3.127−3=−3516
Phương trình logx5.log5x = 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc đoạn [-10;10]?
10
8
9
21
Chọn C
Điều kiện: x>0;x≠1.
Với điều kiện trên ta có: logx5=1log5x⇒logx5.log5x=1.
Vậy Phương trình logx5.log5x=1 có 9 nghiệm nguyên thuộc đoạn [-10;10]
Diện tích tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x4 - 2x2 + 3 bằng
12
1
2
4
Chọn B
Ta có: y'=4x3−4x=0⇔x=0x=1x=−1.
Khi đó 3 điểm cực trị là: A(0;3);B(1;2);C(−1;2)
Khoảng cách từ A(0;3) đến BC: y = 2 là hA = 1
Do đó: SΔABC=12hA.BC=12.1.2=1
Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (SCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
tanφ=6
tanφ=2
tanφ=22
tanφ=32
Chọn B
Ta có AC⊥BDAC⊥SO⇒AC⊥SBD⇒AC⊥SD.
Do đó kẻ OM⊥SD⇒SD⊥MOC⇒SBD,SDC=MC,MO=COM=φ.
Vì AC⊥SBD⇒AC⊥OM⇒ΔMOC vuông ở O.
SB=SD=a; BD=a2⇒ΔSBD vuông cân tại S.
Suy ra M là trung điểm của SD⇒OM=a2tanφ=OCOM=a22a2=2
Cho hàm số f(x) xác định trên ℝ\12, thỏa mãn f'x=22x−1, f(0)=1 và f(1)=3. Giá trị của biểu thức f(-1) + f(4) bằng
5+ln21
5+ln12
4+ln12
4+ln21
Chọn D
f'x=22x−1⇒f(x)=∫22x−1dx=ln2x−1+C1, khi x>12 ln1−2x+C2, khi x<12 f(0)=ln1+C2=1⇒C2=1f(1)=ln1+C1=3⇒C1=3
Suy ra f(x)=∫22x−1dx=ln2x−1+3, khi x>12 ln1−2x+1, khi x<12 .
Do đó f(−1)+f(4)=ln3+1+ln7+3=4+ln21
Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng hai số nguyên b thỏa mãn (b - 2)(b - 6 + log2a) < 0?
67
64
65
66
Chọn A
TH1: b<2b−6+log2a>0⇔b<2b>log264a⇔log264a<b<2.
Để có đúng hai số nguyên b thỏa mãn thì −1≤log264a<0⇔12≤64a<1⇔64<a≤128.
Có 128 - 63 + 1 = 66 số.
TH2: b>2b−6+log2a<0⇔b>2b<log264a⇔2<b<log264a.
Để có đúng hai số nguyên b thỏa mãn thì 5≤log264a<6⇔32≤64a<64⇔1<a≤2⇒a=2.
Vậy có 67 số thỏa mãn.
Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên. Hỏi hàm số g(x) = f(3 - x2) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
(1;2)
(-3;-2)
(-1;0)
(2;3)
Chọn D
Ta có g'x=−2x.f'3−x2.
Phương trình g'x=0⇔x=0f'3−x2=0⇔x=03−x2=−63−x2=−13−x2=2⇔x=0x=±3x=±2x=±1.
Lập bảng xét dấu đạo hàm của hàm số g(x)
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, ta thấy hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (2;3)
Cho hàm số f(x) = ax3 - 4(a + 2)x + 1 với a là tham số. Nếu max−∞;0fx=f−2 thì max0;3fx bằng
4
1
-8
=9
Chọn B
TXĐ D=ℝ,f'x=3ax2−4a+2
max−∞;0fx=f−2⇒f'−2=0⇔12a−4a+2=0⇔a=1.
Suy ra fx=x3−12x+1
f'x=3x2−12; f'x=0⇔x=±2.
![Cho hàm số f(x) = ax3 - 4(a + 2)x + 1 với a là tham số. Nếu max f(x) = f(-2) [âm vô cùng; 0] thì max f(x) [0;3] bằng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/04/blobid8-1682439496.png)
Vậy với a = 1 thì hàm số đạt max−∞;0fx=f−2 và khi đó max0;3fx=1
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và f'(x) = (x - 1)(x + 2) với mọi x. Số các giá trị nguyên m sao cho hàm số y=f2x3+3x2−12x−m có 11 điểm cực trị là
23
27
24
26
Chọn C
Ta có:
y=f2x3+3x2−12x−m⇒y'=2x3+3x2−12x−m6x2+6x−122x3+3x2−12x−m.f'2x3+3x2−12x−m
f'x=x−1x+2=0⇔x=1x=−2
Ta có: y'=0⇔6x2+6x−12=02x3+3x2−12x−m=1 và y' không xác định 2x3+3x2−12x−m=0.
6x2+6x−12=0⇔x=1x=−2
Theo yêu cầu bài toán thì phương trình 2x3+3x2−12x−m=0 và 2x3+3x2−12x−m=1 phải có 9 nghiệm phân biệt.
Khảo sát hàm số y=2x3+3x2−12x ta có được bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên: 2x3+3x2−12x=m2x3+3x2−12x=m+12x3+3x2−12x=m−1 có 9 nghiệm: m+1<20m−1>−7⇔−6<m<19
Vậy có 24 giá trị nguyên m thỏa mãn.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân tại A, AB = a, AA' = a2. Gọi M là trung điểm BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C bằng
22a
a2
3a4
2a
Chọn A
Hạ MH⊥B'C. Ta có: AM⊥BCAM⊥BB'⇒AM⊥BCC'B'⇔AM⊥MH
Nên: AM⊥MHB'C⊥MH⇒dAM,B'C=MH
Có: ΔABC vuông cân tại A nên AM=CM=BC2=a22
Và: CB'=BB'2+BC2=2a
Do ΔCMH đồng dạng ΔCB'B nên: MHBB'=CMCB'⇒MH=CM.BB'CB'=a22.a22a=a2
Vậy: dAM,B'C=a2.
Cho hình trụ có chiều cao bằng a2. Trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ lấy hai điểm A, B; trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ lấy hai điểm C, D sao cho ABCD là hình vuông và mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy của hình trụ góc 45o. Thể tích khối trụ đã cho bằng:
32πa32
62πa3
32πa3
32πa38
Chọn A
Giả sử tâm của đáy thứ nhất và đáy thứ hai của hình trụ lần lượt là O và O'.
Gọi H là hình chiếu của A trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ.
Ta có: CD⊥AD, AH⇒CD⊥DH, tức là CH là đường kính đáy thứ hai của hình trụ.
CD⊥ADH; ADH∩ABCD=AD; ADH∩CDH=DH
⇒ABCD, CDH^=ADH^=45o
⇒ΔADH vuông cân tại H có AH=DH=OO'=a2,AD=AH2=OO'2=2a=> CD = 2a⇒CH=CD2+DH2=a6.
Vậy thể tích khối trụ bằng: πCH22.OO'=3πa322
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 4f(x2 - 4x) = m có ít nhất ba nghiệm dương phân biệt?
19
21
20
18
Chọn C
Ta có: 4fx2−4x=m⇔4fux=m, với ux=x2−4x.
Đặt gx=4fux.
Phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm dương phân biệt khi đô thị hàm số y = g(x) trên khoảng 0 ; +∞ và đường thẳng y = m có ít nhất ba điểm chung phân biệt.
Vậy phương trình 4fx2−4x=m có ít nhất ba nghiệm dương phân biệt khi −12<m≤8, mà m nguyên nên m = -11, -10, ..., 8.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A và AB=3, AC=7, SA = 1. Hai mặt bên (SAB) và (SAC) lần lượt tạo với mặt đáy các góc bằng 45o và 60o. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
12
32
76
776
Chọn A
Gọi H là hình chiếu của S trên ABC⇒SH⊥ABC. Kẻ HE⊥AB,E∈AB và HF⊥AC,F∈AC.
Ta có AB=SAB∩ABCSH⊥ABHE⊥AB⇒SE⊥AB⇒SAB,ABC=EH,ES=HES^=45°SHE^=90°
⇒ΔSHE vuông cân ⇒EH=SH.
Ta có AC=SAC∩ABCSH⊥ACHF⊥AC⇒SF⊥AC⇒SAC,ABC=SF,FS=HFS^=60°SHF^=90°
ΔSHF vuông nên HF=HStanSHF^=HStan60°=HS3.
Mà tứ giác HEAF là hình chữ nhật AH=EF2=HE2+HF2=2SH33.
Ta có tam giác SHA vuông tại H SA2=SH2+HA2=73SH2⇒SH=217SA=217.
Vậy VS.ABC=13SH.SABC=16SH.AB.AC=1621737=12.
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên.
Có bao giá trị nguyên của tham số m∈0;2023 để hàm số y=mfx+100fx+m có đúng 5 điểm cực trị?
1974
1923
1973
2013
Chọn A
Xét hàm số gx=mfx+100fx+m
Ta có g'x=m2−100fx+m2f'x
Với m=±10 thì hàm số g(x) là hàm hằng nên y=gx là hàm hằng nên loại m=±10.
Với m≠±10, ta có g'x=0⇔f'x=0⇔x=1x=−1.
Do đó g(x) có hai điểm cực trị. Nên để hàm số y=gx có đúng 5 điểm cực trị thì phương trình g(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt <=> mf(x) + 10 = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Với m = 0, phương trình vô nghiệm nên loại m = 0.
Với m≠0, phương trình ⇔fx=−100m.
Để fx=−100m có ba nghiệm ⇔−2<−100m<2, mà m∈0;2023 nên m > 50.
⇒m∈51;52;...;2023.
Kí hiệu S là tập tất cả số nguyên m sao cho phương trình 3x2+mx+1=3+mx39x có nghiệm thuộc khoảng (1;9). Số phần tử của S là?
11
3
9
12
Chọn A
3x2+mx+1=3+mx39x⇔3x2+mx+1−9x−3+mx=01
Để phương trình có nghiệm 3+mx>0 (do 3x2+mx+1−9x>0,∀x∈ℝ)
Khi đó, 3+mx>0⇔m>−3x⇔m>−3 (do 1<x<9)
Xét hàm số fx=3x2+mx+1−9x−3+mx
Đạo hàm: f'x=ln3.2x+m−93x2+mx+1−9x−m
Đạo hàm cấp 2: f''x=ln3.2.3x2+mx+1−9x+ln3.2x+m−923x2+mx+1−9x>0
Do đó f'(x)đồng biến trên R => f'(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm => f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm.
Mặt khác x = 0 là một nghiệm của phương trình (1) nên để phương trình này có nghiệm x∈1;9 thì (1) phải có đúng một nghiệm x∈1;9
⇒f1.f9<0⇔3m−7−3−m31+m−3−9m<0
Giải ra ta được m∈−2;−1;1;....;9 có 11 giá trị.
Xét tất cả các cặp số nguyên dương (a;b), ở đó a≥b sao cho ứng với mỗi cặp số như vậy có đúng 50 số nguyên dương x thỏa mãn lna−lnx<lnb. Hỏi tổng a + b nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
22
36
11
50
Chọn A
Khi b=1⇒ bất phương trình vô nghiệm ⇒b≥2
Ta có lna−lnx<lnb⇔−lnb<lna−lnx<lnb⇔lna−lnb<lnx<lna+lnb
⇔lnab<lnx<lnab⇔ab<x<ab.
Nhận xét: Nghiệm nguyên dương lớn nhất của bất phương trình là x = ab - 1 khi đó yêu cầu bài toán trở thành nghiệm nguyên dương bé nhất của bất phương trình là x = ab - 50 hay
ab<ab−50ab≥ab−51⇔a<ab2−50ba≥ab2−51b⇔50b<ab2−151b≥ab2−1
Do a≥1⇒51b≥b2−1⇒2≤b≤50 (1)
Khi đó a>50b2−1a≤51b2−1
Lại có a≥b⇒51bb2−1≥b⇒b≤7
Kết hợp với 1⇒2≤b≤7 thử trực tiếp ta tìm được với b = 3, a = 19 thì a + b = 22 và là nhỏ nhất.
