200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P6)

+Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ là x= 1 và TCN là y= 2;  giao điểm của hai tiệm cận là

 I (1; 2) .

 Lấy điểm $M(a; b) \in \left(C\right)\Rightarrow b=\frac{2a-1}{a-1} (a>1).$

+ Phương trình tiếp tuyến của (C )  tại M là $y=-\frac{1}{{(a-1)}^2}(x-a)+\frac{2a-1}{a-1}$

+ Phương trình  đường thẳng MI  là $y=\frac{1}{{(a-1)}^2}(x-1)+2$

+ Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI  nên ta có

$-\frac{1}{{(a-1)}^2}.\frac{1}{{(a-1)}^2}=-1\iff$

Vì yêu cầu hoành độ và tung độ của M nguyên dương nên điểm cần tìm là  M( 2; 3).

Chọn D.

+ Phương trình hoành độ giao điểm của d  và (C)  là

+ Theo định lí Viet ta có  x₁+ x₂= -m ; x₁.x₂= ( -m-1) /2.

 Gọi A( x₁; y₁) ; B( x₂: y ₂)  .

+ Ta có $y\text{'}=-\frac{1}{{(2x-1)}^2}$ , nên tiếp tuyến của ( C)  tại A và B  có hệ số góc lần lượt là

$k_1=-\frac{1}{{(2x_1-1)}^2}; k_2=-\frac{1}{{(2x_2-1)}^2}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m= -1.

Vậy k₁+ k₂ đạt giá trị lớn nhất bằng - 2 khi m= -1.

Chọn B.

+ Gọi M(a; b)   là toạ độ của tiếp điểm

Đạo hàm $y\text{'}=\frac{-1}{{(2x+3)}^2}<0; \forall x$  .

+ Do tam giác OAB cân tại O  nên tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng y= -x (vì tiếp tuyến có hệ số góc âm). 

Nghĩa là 

-Với a= -1; b= 1   phương trình ∆: y- 1= -( x+ 1) hay y= -x ( loại) .

-Với a= -2; b= 0 thì ∆ : y- 0= -( x+ 2) hay y=-x-2 (nhận).

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là  y= -x- 2.

Chọn D.

Suy ra đồ thị hàm số có 2TCN là y= 2 và y= -2 .

Chọn B.

PT hoành độ giao điểm là

(3m-1) x+ 6m+ 3 = x³-3x²+ 1 hay   x³-3x² – (3m-1) x-6m-2=0  ( *)

Giả sử A( x₁; y₁) ; B( x₂; y₂); B( x₃; y₃) lần lượt là giao điểm của (C) và (d)

Vì B cách đều hai điểm A và C nên B là trung điểm của AC

Suy ra x₁+ x₃= 2x₂

Thay x₂ = 1vào , ta có 

Vậy  -1< m< 0

Chọn C.

Điều kiện x≥ 0.

Dễ thấy x = 0  không là nghiệm của phương trình.

Xét x> 0 , chia cả 2 vế của phương trình cho x  ta được 

$\frac{x^2+4}{x}-(m-1)\sqrt{\frac{{\displaystyle x^2+4}}{{\displaystyle x}}}+m+2=0 (*)$

Đặt $t=\sqrt{\frac{{\displaystyle x^2+4}}{{\displaystyle x}}}$ , khi đó phương trình ( *)  trở thành:  t²- (m - 1)t + m + 2 = 0

Vì t ≥ 2 nên t - 1 ≠ 0  nên phương trình $$\begin{gathered} (*)\iff t^2+t+2=m(t-1) \\ \iff m=\frac{t^2+t+2}{t-1} \end{gathered}$$

Xét hàm số $$\begin{gathered} f\left(t\right)=\frac{t^2+t+2}{t-1} trên [2; +\infty ) \\ f\text{'}\left(t\right)=\frac{t^2-2t-3}{{(t-1)}^2}\Rightarrow \underset{[2; +\infty )}{min}f\left(t\right)=7 \end{gathered}$$

Khi đó, để phương trình m =f( t)  có nghiệm $\iff m\ge \underset{[2; +\infty )}{min}f\left(t\right)=7$

Chọn C.

Theo bài ra, thanh sào sẽ đi qua các điểm B, M , C (hình vẽ dưới)

Suy ra độ dài thanh sào là 

Đặt ,do đó $L=\frac{24}{\sin x}+\frac{3}{\cos x}$

Yêu cầu bài toán $\iff L_{min}\iff f\left(x\right)=\frac{24}{\sin x}+\frac{3}{\cos x} min$

Ta có $$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{3 \sin x}{{\cos }^{2}x}-\frac{24 \cos x}{{\sin }^{2}x}=0\iff {\sin }^{3}x=8{\cos }^{3}x\iff \tan x=2 \\ \Rightarrow \cos x =\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^{2}x}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow \sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\frac{2}{\sqrt{5}} \end{gathered}$$

Suy ra $\underset{(0;\frac{\mathrm{\pi }}{2})}{min}f\left(x\right)=15\sqrt{5}$ . Vậy độ dài tối thiểu của thanh sào là $15\sqrt{5}$

Chọn C.

Ta có đạo hàm y’ = 3x²+ 2x+ m.

 Hàm số có cực trị khi $∆\text{'}=1-3m>0\iff m<\frac{1}{3}$

Do hàm số có a=1>0$\Rightarrow x_{CT}>x_{CD}$

Yêu cầu bài toán trở thành phương trình y’ = 0 có ít nhất 1 nghiệm dương

Do $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{2}{3}<0\\ x_1{x}_{2 }=\frac{m}{3}\end{array}\right.\Rightarrow m<0$  là giá trị cần tìm.

Vậy $\left(-5;6\right)\cap S=(-5;0)$

Mà m nguyên nên chọn -4; -3; -2; -1. Có 4 giá trị thỏa mãn.

Chọn D.

Phương trình 

Dựa vào đồ thị hàm số $y=x^3-\frac{3}{4}{x}^2-\frac{3}{2}x$ suy ra đồ thị hàm số $y=f\left(\left|x\right|\right) \left(C\right)$

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của (C) và đường thẳng $y=\frac{m^2-6m}{4}$

Vậy để (*) có 3 nghiệm phân biệt 

( học sinh tự vẽ đồ thị hàm số (C) ).

Chọn A.