200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P6)

+Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ là x= 1 và TCN là y= 2;  giao điểm của hai tiệm cận là

 I (1; 2) .

 Lấy điểm $M(a; b) \in \left(C\right)\Rightarrow b=\frac{2a-1}{a-1} (a>1).$

+ Phương trình tiếp tuyến của (C )  tại M là $y=-\frac{1}{{(a-1)}^2}(x-a)+\frac{2a-1}{a-1}$

+ Phương trình  đường thẳng MI  là $y=\frac{1}{{(a-1)}^2}(x-1)+2$

+ Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI  nên ta có

$-\frac{1}{{(a-1)}^2}.\frac{1}{{(a-1)}^2}=-1\iff$

Vì yêu cầu hoành độ và tung độ của M nguyên dương nên điểm cần tìm là  M( 2; 3).

Chọn D.

+ Phương trình hoành độ giao điểm của d  và (C)  là

+ Theo định lí Viet ta có  x₁+ x₂= -m ; x₁.x₂= ( -m-1) /2.

 Gọi A( x₁; y₁) ; B( x₂: y ₂)  .

+ Ta có $y\text{'}=-\frac{1}{{(2x-1)}^2}$ , nên tiếp tuyến của ( C)  tại A và B  có hệ số góc lần lượt là

$k_1=-\frac{1}{{(2x_1-1)}^2}; k_2=-\frac{1}{{(2x_2-1)}^2}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m= -1.

Vậy k₁+ k₂ đạt giá trị lớn nhất bằng - 2 khi m= -1.

Chọn B.

+ Gọi M(a; b)   là toạ độ của tiếp điểm

Đạo hàm $y\text{'}=\frac{-1}{{(2x+3)}^2}<0; \forall x$  .

+ Do tam giác OAB cân tại O  nên tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng y= -x (vì tiếp tuyến có hệ số góc âm). 

Nghĩa là 

-Với a= -1; b= 1   phương trình ∆: y- 1= -( x+ 1) hay y= -x ( loại) .

-Với a= -2; b= 0 thì ∆ : y- 0= -( x+ 2) hay y=-x-2 (nhận).

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là  y= -x- 2.

Chọn D.

Suy ra đồ thị hàm số có 2TCN là y= 2 và y= -2 .

Chọn B.

PT hoành độ giao điểm là

(3m-1) x+ 6m+ 3 = x³-3x²+ 1 hay   x³-3x² – (3m-1) x-6m-2=0  ( *)

Giả sử A( x₁; y₁) ; B( x₂; y₂); B( x₃; y₃) lần lượt là giao điểm của (C) và (d)

Vì B cách đều hai điểm A và C nên B là trung điểm của AC

Suy ra x₁+ x₃= 2x₂

Thay x₂ = 1vào , ta có 

Vậy  -1< m< 0

Chọn C.

Điều kiện x≥ 0.

Dễ thấy x = 0  không là nghiệm của phương trình.

Xét x> 0 , chia cả 2 vế của phương trình cho x  ta được 

$\frac{x^2+4}{x}-(m-1)\sqrt{\frac{{\displaystyle x^2+4}}{{\displaystyle x}}}+m+2=0 (*)$

Đặt $t=\sqrt{\frac{{\displaystyle x^2+4}}{{\displaystyle x}}}$ , khi đó phương trình ( *)  trở thành:  t²- (m - 1)t + m + 2 = 0

Vì t ≥ 2 nên t - 1 ≠ 0  nên phương trình $$\begin{gathered} (*)\iff t^2+t+2=m(t-1) \\ \iff m=\frac{t^2+t+2}{t-1} \end{gathered}$$

Xét hàm số $$\begin{gathered} f\left(t\right)=\frac{t^2+t+2}{t-1} trên [2; +\infty ) \\ f\text{'}\left(t\right)=\frac{t^2-2t-3}{{(t-1)}^2}\Rightarrow \underset{[2; +\infty )}{min}f\left(t\right)=7 \end{gathered}$$

Khi đó, để phương trình m =f( t)  có nghiệm $\iff m\ge \underset{[2; +\infty )}{min}f\left(t\right)=7$

Chọn C.

Theo bài ra, thanh sào sẽ đi qua các điểm B, M , C (hình vẽ dưới)

Suy ra độ dài thanh sào là 

Đặt ,do đó $L=\frac{24}{\sin x}+\frac{3}{\cos x}$

Yêu cầu bài toán $\iff L_{min}\iff f\left(x\right)=\frac{24}{\sin x}+\frac{3}{\cos x} min$

Ta có $$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{3 \sin x}{{\cos }^{2}x}-\frac{24 \cos x}{{\sin }^{2}x}=0\iff {\sin }^{3}x=8{\cos }^{3}x\iff \tan x=2 \\ \Rightarrow \cos x =\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^{2}x}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow \sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\frac{2}{\sqrt{5}} \end{gathered}$$

Suy ra $\underset{(0;\frac{\mathrm{\pi }}{2})}{min}f\left(x\right)=15\sqrt{5}$ . Vậy độ dài tối thiểu của thanh sào là $15\sqrt{5}$

Chọn C.

Ta có đạo hàm y’ = 3x²+ 2x+ m.

 Hàm số có cực trị khi $∆\text{'}=1-3m>0\iff m<\frac{1}{3}$

Do hàm số có a=1>0$\Rightarrow x_{CT}>x_{CD}$

Yêu cầu bài toán trở thành phương trình y’ = 0 có ít nhất 1 nghiệm dương

Do $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{2}{3}<0\\ x_1{x}_{2 }=\frac{m}{3}\end{array}\right.\Rightarrow m<0$ là giá trị cần tìm.

Vậy $\left(-5;6\right)\cap S=(-5;0)$

Mà m nguyên nên chọn -4; -3; -2; -1. Có 4 giá trị thỏa mãn.

Chọn D.

Phương trình 

Dựa vào đồ thị hàm số $y=x^3-\frac{3}{4}{x}^2-\frac{3}{2}x$ suy ra đồ thị hàm số $y=f\left(\left|x\right|\right) \left(C\right)$

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của (C) và đường thẳng $y=\frac{m^2-6m}{4}$

Vậy để (*) có 3 nghiệm phân biệt 

( học sinh tự vẽ đồ thị hàm số (C) ).

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm của ( C) và d là 

Để (C) cắt (d) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi f( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt 

Gọi  A(x₁; y₁) ; B(x₂; y₂) là giao điểm của (C) và d

Theo hệ thức Viet, ta được

mà

Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số ta  thấy:

Đồ thị hàm số có TCĐ và TCN là 

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ  ( -2; 0) nên a= -2

Suy ra A= a+ b+ c= -2+ 1+ ( -2) = -3

Chọn B.

Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm
 

Khi đó

Suy ra  

Xét hàm số: 

Chọn D.

Ta có:

+ Với x< - 3 ta có:  f’ (x)< x + 1  suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng ( -∞; -3)

+ Xét hàm số g( x) ; ta cần so sánh g(-3) và g( 3)

Ta có g(x) = 2f(x) – ( x + 1) ² nên g’(x) = 2f’(x) - 2(x + 1)

Phương trình  (Dựa vào đồ thị hàm số y= f’ (x)) .

Bảng xét dấu của g’(x)

Dựa vào bảng xét dấu, ta được $\underset{[-3;3]}{max}g\left(x\right)=g\left(1\right).$

Dựa vào hình vẽ lại có 

Do đó g( 1) – g( -3) > g( 1) – g( 3) hay g( 3) > g( -3) .

Suy ra GTNN của hàm số trên đoạn [- 3; 3] là  g( -3) .

Chọn B.

Hệ số góc của đường thẳng IM là:

Mặt khác tiếp tuyến tại M có hệ số góc $k=y\text{'}\left(a\right)=\frac{-1}{{(a-1)}^2}$

Giả thiết bài toán

Chọn C.

Đạo hàm : $y\text{'}=3+m(\cos x-\sin x)=3+m\sqrt{2}\cos (x+\frac{\mathrm{\pi }}{4})$

Hàm số đồng biến trên R  khi  y’ ≥ 0 với mọi x

$$\begin{gathered} \iff \underset{\mathrm{ℝ}}{Min} y\text{'}\ge 0\iff 3-\left|m\sqrt{2}\right|\ge 0 \\ \iff m\le \frac{3}{\sqrt{2}}\stackrel{m\in \mathrm{\mathbb{Z}}}{\to }m=0; m=\pm 1; m=\pm 2. \end{gathered}$$

Vậy có 2 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn đầu bài.

Chọn D.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau  nên hệ  số góc của chúng bằng nhau g=hay $y\text{'}\left(x_M\right)=y\text{'}\left(x_N\right)$

$y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}(x\ne 1)\Rightarrow y\text{'}=\frac{-2}{{(x-1)}^2}$

Gọi $M(x_M; 1+\frac{2}{x_M-1}); M(x_N;1+\frac{2}{x_N-1})$  là hai điểm thuộc đồ thị hàm số.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau 

Gọi I là trung điểm của MN ta có: I (1; 1)

Dễ  thấy đồ  thị  hàm số  có TCN là y = 1và tiệm cận đứng x = 1 nên I (1; 1) là giao điểm của hai đường tiệm cận => C đúng.

TCN y = 1 và tiệm cận đứng x = 1 rõ ràng đi qua trung điểm I của đoạn MN => B, D đúng.

Chọn A.

Ta có: f' (x - 2) = f' (x).(x-2)' = f'(x) 

Do đó; đồ thị hàm số y= f’ (x) có hình dạng tương tự như trên.

Xét phương trình f'(x-2) = 0 có 3 nghiệm x = -1; x = 0; x = 1

nhưng f'(x - 2) chỉ đổi dấu qua 2 nghiệm x = -1 và x = 0 nên hàm số y= f( x-2)  có 2 điểm cực trị.

Suy ra hàm số y = f(x) cũng có 2 điểm cực trị.

Chọn B.

Ta có: $y=\frac{cotx -2 }{cotx-m}$

Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)\iff y\text{'}<0; \forall x\in \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right) (*)$

Mà 

Vậy là giá trị cần tìm.

Chọn B.

Hàm số đơn điệu trên đoạn nên giá trị nhỏ nhất – lớn nhất sẽ đạt tại đầu mút của đoạn

Ta có f’ (x) = -x²-1< 0 với  a< x< b ; suy ra hàm số  y= f( x) là hàm số nghịch biến trên [ a; b].

Mà  a< b nên f(a) > f( b)

Vậy $\underset{[a;b]}{min} f\left(x\right)=f\left(b\right)$

Chọn C.

Do đó hàm số f(|x|)  có 3 điểm cực trị  tại x= 2; x= -2 và  x= 0

Chọn B.