200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit nâng cao (P7)

Chọn C.

Điều kiện: 

Đặt 

Nhận thấy t = 1 là một nghiệm của phương trình (2).

Xét hàm số  trên R

 nghịch biến trên R và f(t) = f(1)  khi và chỉ khi t = 1.

Thay t = 1 vào (1) suy ra x = 5.

Chọn D.

Chọn D.

Chọn B.

Chọn C.

Điều kiện: . Phương trình 

Tương đương: log₄x + 2log_x2 . log₄x.log₄( 10 - x) = 2

Hay log₄x + log_x2.log₂x.log₄(10 - x) = 2

Suy ra: log₄x + log₄(10-x) = 2 nên log₄x [x(10 - x) ] = 2

Do đó; x(10 - x) = 16

Suy ra x = 2 hoặc x = 8 ( thỏa mãn)

Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là 10.

Chọn C.

Điều kiện x > 0.

Phương trình đã cho trở thành 

Mà x₀ được biểu diễn dưới dạng  suy ra 

Chọn C.

Chọn B.

Điều kiện:  x>4

Đặt $t={\log }_{\frac{1}{2}}\left(x-4\right)$, phương trình có dạng: $m{t}^2-2\left(m^2+1\right)t+m^3+m+2\left(1\right)$

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $4<x_1<x_2<6$

$$\begin{gathered} \Rightarrow 0<x_1-4<x_2-4<2 \\ \Rightarrow {\log }_{\frac{1}{2}}(x_1-4)>{\log }_{\frac{1}{2}}(x_2-4)>{\log }_{\frac{1}{2}}2 \\ \Rightarrow t_1>t_2>-1 \end{gathered}$$

Với $m\ne 0$ ta có: $∆\text{'}={\left(m^2+1\right)}^2-m\left(m^3+m+2\right)=m^2-2m+1={(m-1)}^2\ge 0\forall m$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $t_1=\frac{m^2+2m+2}{m}, t_2=m+1$

Chọn D.

Phương trình 

Mà x₀ là nghiệm của phương trình  log₃( x + 7a) = 2log₂x nên suy ra

log₃( x + 7a) = 2log₂x tương đương log₃( x +7a) = 2

do đó; 7a + 2 = 3²

suy ra a = 1.

Chọn C.

Điều kiện x > 0

Phương trình tương đương:

log₂x( log₃x - 1) + x( log₃x - 1) - 3(log₃x - 1) = 0

Hay ( log₃x - 1) ( log₂ x + x - 3) = 0

Ta có  đồng biến với x > 0

Suy ra (1) có nghiệm thì là nghiệm duy nhất, dễ thấy (1) có nghiệm x = 2

Suy ra 

Chọn C.

Điều kiện:

.

Đặt t = log₃(2x + 1)  suy ra

Khi đó, phương trình đã cho trở thành

Với t = -1 ta có log₃( 2x + 1) = -1 hay 2x + 1 = 3^-1  nên x = -1/3

Với t = 2 ta có  log₃(2x + 1) = 2 hay 2x + 1 = 3² nên x = 4

Vậy giá trị biểu thức 

Chọn D.

Điều kiện : x> 0

Ta có

 và đặt t = log₂₇x

Khi đó, phương trình đã cho trở thành

Với t = 3, ta được log₂₇x = 3 nên x = 3⁹

Với t = 1/3 , ta được

Theo đề bài ra, ta có 

Chọn B.

Chọn C.

Điều kiện: 5^x – 1 > 0 hay x > 0

Phương trình  đã cho tương đương:

log₂( 5^x - 1) [log₂( 5^x - 1) + 1] = 2

Đặt t = log₂(5^x - 1), khi đó phuơng trình trở thành: t(t + 1) = 2

Suy ra t = 1 hoặc t = -2

Với t =1 ta có log₂(5^x - 1) = 1 nên 5^x – 1 = 2; x = log₅3

Với t = -2ta có log₂(5^x - 1) = - 2 nên 5^x – 1 = 2^-2; x = log₅(5/4)

Mặt khác x₁ >   x₂  suy ra 

Chọn C.

Chọn A.

Điều kiện x > 0.

Đặt t = log₂x , phương trình trở thành : t² + (x - 1) t + 2x – 6 = 0

Hay t² – t – 6 + x(t + 2) = 0

(t + 2) (t - 3) + x(t + 2) = 0

Xét hàm số f(x) = log₂x + x - 3  với x > 0, có 

Suy ra f(x)  là hàm đồng biến trên khoảng 

Khi đó phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng 

Mà f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (*)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 9/4.

Chọn B.

Điều kiện: 

Đặt  $x^2-\sqrt{2}x=t$, khi đó phương trình trở thành 

Đặt  suy ra 

+Với t = 3^a ta có

Xét hàm số , có 

Suy ra f(x)  là hàm số nghịch biến trên R.

Khi đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất $a=1\iff t=3\iff x^2-\sqrt{2}x=3\iff x^2-\sqrt{2}x-3=0$có hai nghiệm phân biệt.

+Với t = -3^a  ta có -3^a + 2 = 5^a hay 5^a + 3^a – 2 = 0    (2)

Xét hàm số g(a) = 5^a + 3^a - 2  có g’(a) = 5^aln5 + 3^aln3 > 0 mọi a.

Suy ra f(a)  là hàm số đồng biến trên  R.

Khi đó phương trình (2) có nghiệm duy nhất $a=0\iff t=-1\iff x^2-\sqrt{2}x=-1\iff x^2-\sqrt{2}x+1=0$  vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Chọn A.

Dễ thấy u_n là  cấp số nhân với q = 10 Ta có: u₈= 10⁷. U₁; u₁₀= 10⁹. U₁

Do đó 

Điều kiện log$u_1$$\ge -18$

Phương trình trên $\iff -16-\log u_1={(\log u_1+18)}^2\iff {\log }^2{u}_1+37\log u_1+340=0$

$\left[\begin{array}{c}\log u_1=-17(thỏa mãn)\\ \log u_1=-20\left(loại\right)\end{array}\right.$

log u₁ = -17 nên u₁ = 10 ^-17

Nên u₂₀₁₈ = 10²⁰⁰⁰

Chọn C.

Đặt t = ${\log }_2\cos x\Rightarrow \cos x=2^t\Rightarrow co{t}^{2}x=\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x}{1-{\cos }^{2}x}=\frac{4^t}{1-4^t}$

$f\text{'}\left(t\right)={\left(\frac{4}{3}\right)}^t\ln \left(\frac{4}{3}\right)+4^t\ln 4>0$

Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định, nên phương trình f(t) = 0 có một nghiệm duy nhất

Mà f(-1)=0

Nên t = - 1 là nghiệm của phương trình f(t) = 0

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\log }_2\cos x=-1 \\ \iff \cos x=\frac{1}{2} \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}+k2\mathrm{\pi }\\ x=-\frac{\mathrm{\pi }}{3}+k2\mathrm{\pi }\end{array}\right.,k\in Z \end{gathered}$$

Chọn B.

Chọn D.

Đặt  khi đó phương trình tương đương với: t² - 6t + m – 3 = 0 (*)

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi (*) có 2 nghiệm dương phân biệt lớn hơn 1.

Chọn A.

Chọn B.

Điều kiện: 

+TH1:  Với 

+ TH2: 

Kết hợp hai trường hợp, suy ta tập nghiệm của bất phương trình là S = (1; 2).

Chọn C.

Bất phương trình

Đặt , khi đó bất phương trình trở thành x²-2tx-2t+3> 0     (*)

Bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi x  khi và chỉ khi  

$\left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ ∆\text{'}=t^2-\left(-2t+3\right)<0\end{array}\right.\iff t^2-\left(-2t+3\right)<0\iff t^2+2t-3<0\iff -3<t<1$

$\Rightarrow -3 < {\log }_{\frac{1}{2}}a<1\iff \frac{1}{2}<a<8$

Mà $a\in Z\Rightarrow a\in \left\{1;2;3;4;5;6;7\right\}$

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của  a  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.