200 Bài tập nguyên hàm tích phân cơ bản, nâng cao (P2)

Biết ${\int }_0^1\frac{x^2-2}{x^2+1}dx=\frac{-1}{m}+n\ln 2$, với m,n là các số nguyên. Tính m+n.

Biết ${\int }_{-\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}\frac{{\cos }^{2}x}{1+3^{-x}}dx=m$. Tính giá trị của ${\int }_{-\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}\frac{{\cos }^{2}x}{1+3^{-x}}dx$

Tính tích phân ${\int }_1^{2^{100}}\frac{\ln x}{{(x+1)}^2}dx$, 

Cho hàm số y=f(x)=$a{x}^3+b{x}^2+cx+d,(a,b,c,d \in R,$a khác 0) có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số y=$f\text{'}\left(x\right)$ cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng H giời hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành xung quanh trục hoành Ox

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2+\frac{3}{x}-2\sqrt{x} (x>0)$ là

Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=4x^3-\frac{1}{x^2}+3x$ và thỏa mãn 5F(1)+F(2)=43. Tính F(2).

Cho hàm số f(x) có nguyên hàm là F(x) trên đoạn [1;2], biết F(2) = 1 và ${\int }_1^{2}F\left(x\right)dx=5$. Tính I=${\int }_1^2(x-1)f\left(x\right)dx$

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật (H) có một cạnh nằm trên trục hoành, và có hai đỉnh trên một đường chéo là A (-1; 0) và $C(m;\sqrt{m})$, với m > 0. Biết rằng đồ thị hàm số y=$\sqrt{x}$ chia hình (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau, tìm m .

Biết $I={\int }_1^5\frac{2x-1}{2x+3\sqrt{2x-1}+1}dx=a+b\ln 2+c\ln \frac{3}{5} (a,b,c Z)$. Khi đó, giá trị P=$a^2-ab+2c$ là

Cho hàm số f(x) là hàm số lẻ, liên tục trên [-4;4]. Biết rằng ${\int }_{-2}^{0}f(-x)dx=2$ và ${\int }_1^{2}f(-2x)dx=4$. Tính tích phân I=${\int }_0^{4}f\left(x\right)dx$

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=\cos x\sqrt{\sin x+1}$ 

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{1+\sin 2x}$ với $x\in R\setminus \{\frac{-\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi }, \mathrm{k}\in \mathrm{ℝ}\}$. Biết F(0)=1,F($\mathrm{\pi }$)=0, tính giá trị biểu thức $P=F\left(\frac{-\mathrm{\pi }}{12}\right)-F\left(\frac{11\mathrm{\pi }}{12}\right)$

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn  và ${\int }_1^{2}f(x-1)dx=3$ và f(1)=4. Tích phân ${\int }_0^1{x}^{3}f\text{'}\left(x^2\right)dx$ bằng

Cho hàm số y=f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [-1;1] và thỏa mãn ${\int }_0^{\frac{1}{2}}f\left(x\right)dx=3, {\int }_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}f\left(2x\right)dx=1$. Tính I=${\int }_{\frac{-\mathrm{\pi }}{2}}^0\cos xf\left(\sin x\right)dx$ 

Cho  hàm  số  f(x)= tanx(2cotx-$\sqrt{2}\cos x+2{\cos }^{2}x$) có nguyên hàm là  F(x) và F($\frac{\mathrm{\pi }}{4}$)=$\frac{\mathrm{\pi }}{2}$. Giả sử F(x)= ax+$\sqrt{b}\cos x-\frac{\cos cx}{2}-d$. chọn phát biểu đúng.

Tính tích phân I=${\int }_1^{2^{100}}\frac{\ln x}{{(x+1)}^2}dx$, ta được kết quả

Tính tích phân $I={\int }_0^1\frac{{(x-3)}^8}{{(2x+1)}^{10}}dx$ ta được

Cho vật thể H nằm giữa hai mặt phẳng x=0;x=1. Biết rằng thiết diện của vật thể H cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x($0\le x\le 1$) là một tam giác đều có cạnh là 4$\sqrt{\ln (1+x)}$ Giả sử thể tích V của vật thể có kết quả là $V=a\sqrt{b}(c\ln 2-1)$ với a, b, c là các số nguyên. Tính tổng S=$a^2-ab+c$