15 câu Dạng 3. Ứng dụng đạo hàm trong vật lý
15 câu hỏi
Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động s=12gt2, trong đó g=9,8m/s2 và t được tính bằng giây.
a, Tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t đến t+Δt trong trường hợp Δt=0,1 và t=3 .
b, Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t=5s .
vtb=st+Δt−stΔt=12gt+Δt2−12gt2Δt,
Với Δt=0,1 và t=3 thì
vtb=9,8.3+12.9,8.0,1≈28,89m/s.
limΔt→0ΔsΔt=limΔt→012g5+Δt2−12g.52Δt.
=limΔt→05g+12gΔt=49;
v5=s'5=49m/s
Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q=6t+5 (t được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb). Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t=10
Vì Q't=6 nên cường độ dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t=10 là I10=Q'10=6.
Một chất điểm có phương trình chuyển động là s=ft=t2+t+6 ( t được tính bằng giây, được tính bằng mét). Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t=2 .
Ta có: limt→t0ft−ft0t−t0=limt→t0t3+t+6−t02+t0+6t−t0=limt→t0t+t0+1=2t0+1.
Vậy f't0=2t0+1.
Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t=2 là
vtt=f'2=2.2+1=5m/s.
Cho chuyển động xác định bởi phương trình S=t3−3t2−9t+1, trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu.
Ta có
vt0=limt→t0ft−ft0t−t0=limt→t0t3−3t2−9t+6−t03−3t02−9t0+6t−t0=3t02−6t0−9;
at0=limt→t0vt−vt0t−t0=limt→t03t2−6t−9−3t02−6t0−9t−t0=6t0−6.
Do đó a=v'=−6t0+6.
Khi vận tốc triệt tiêu ta có vt=0⇔3t2−6t−9=0⇔t=3.
Khi đó gia tốc là a3=6.3−6=12m/s2.
Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q=3t2+8t+2 ( t được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb). Tính thời điểm cường độ của dòng điện trong dây dẫn I=50A.
Ta có:
limt→t0ft−ft0t−t0=limt→t03t2+8t+2−3t02+8t0+2t−t0=limt→t03t+3t0+8=6t0+8.
Vậy Q't=6t+8 . Do đó ta có phương trình
I=Q't=6.t+8=50 A⇒t=7 s
.
Một chuyển động có phương trình st=t2−2t+4 (trong đó s tính bằng mét, t tính bằng giây).Vận tốc tức thời của chuyển động tại t=1,5 (giây) là
6m/s.
1m/s.
8m/s.
2m/s.
Đáp án B
Bằng định nghĩa tính được s't=2t−2. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t=1,5(giây) là v1,5=s'1,5=2.1,5−2=1m/s .
Xét chuyển động có phương trình st=6sin3t+π4 trong đó t được tính bằng giây, và s được tính bằng mét. Vận tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là
vt=18cos3t+π4.
vt=−18cos3t+π4
vt=6cos3t+π4.
vt=−6cos3t+π4.
Đáp án A
Bằng định nghĩa tính được s't=18cos3t+π4.
Vận tốc tức thời tại thời điểm của chuyển động là vt=s't=18cos3t+π4.
Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình st=14t4−t3+52t2+10t , trong đó t>0 với t được tính bằng giây (s) và s được tính bằng mét (m). Hỏi tại thời điểm gia tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì vận tốc của vật bằng bao nhiêu?
1m/s.
3m/s.
16m/s.
13m/s.
Đáp án D
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm của một quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được vt=t3−3t2+5t+10.
Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được at=3t2−6t+5
Ta có at=3t2−6t+5=3t−12+2≥2 với mọi t . Dấu “=” xảy ra khi t=1 .
Khi đó, vận tốc của chuyển động là v1=13m/s .
Một chất điểm chuyển động có phương trình st=t3+92t2−6t , trong đó t được tính bằng giây, s được tính bằng mét. Gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc bằng 24m/s là
20 m/s2.
12 m/s2
39 m/s2.
21 m/s2.
Đáp án D
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được vt=s't=3t2+9t−6=24⇒t=2s .
Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính đượcat=s''t=6t+9⇒a2=21m/s2 .
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S=−t3+3t2+9t , trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu.
11m/s.
0m/s.
12m/s.
6m/s.
Đáp án C
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được v=S'=−3t2+6t+9 .
Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được a=v'=S''=−6t+6
Gia tốc triệt tiêu khi S''=0⇔t=1.
Khi đó vận tốc của chuyển động là S'1=12 m/s.
Một chất điểm chuyển động theo quy luật st=−t3+6t2 với t là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động , st là quãng đường đi được trong khoảng thời gian t . Thời điểm t tại đó đạt giá trị lớn nhất bằng
t=3.
t=4.
t=1
t=2
Đáp án D
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được vt=s't=−3t2+12t=−3t−22+12≤12 .
Dấu bằng xảy ra khi t=2. Vậy vtmax⇔t=2.
Một vật giao động điều hòa có phương trình quãng đường phụ thuộc thời gian , s=Asinωt+φ trong đó A, w, φ là hằng số, t là thời gian. Khi đó biểu thức vận tốc của vật là
v=Acosωt+φ.
v=−Aωcosωt+φ.
v=Aωcosωt+φ.
v=−Acosωt+φ.
Đáp án C
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được v=s'=Asinωt+φ'=Aωt+φ'cosωt+φ=Aωcosωt+φ.
Cho biết điện lượng của một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q=3t2+6t+5 ( được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb). Cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t=2 bằng
16 A.
18 A.
7 A.
4 A.
Đáp án B
Bằng định nghĩa tính được Q't=6t+6.
Cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời điểm t=1 là I=Q'2=6.2+6=18A .
Tomahawk là tên lửa hành trình có khả năng mang đầu đạn hạt nhân, được phóng đi từ các hệ thống phóng mặt đất. Giả sử rằng Tomahawk (không gắn với động cơ) được bắn lên cao theo phương trình st=196t−4,9t2 trong đó t là thời gian ( t>0, đơn vị giây) và s(t) là khoảng cách của tên lửa so với mặt đất được tính bằng kilomet. Khoảng cách của tên lửa so với mặt đất tại thời điểm vận tốc bằng 0 bằng bao nhiêu?
1069.
1960.
1690.
1906.
Đáp án B
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được vt=s't=196−9,8t⇒vt=0⇔t=20s.
s20=196.20−4,9.202=1960.
Một chất điểm chuyển động có phương trình S=2t4+6t2−3t+1 với t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). Hỏi gia tốc của chuyển động tại thời điểm (s) bằng bao nhiêu?
228 m/s2.
64 m/s2.
88 m/s2.
76 m/s2.
Đáp án A
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được vt=St'=8t3+12t−3.
Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp 2 của quãng đường:
Bằng định nghĩa tính được at=S''t=24t2+12⇒a3=24.32+12=228m/s2.
Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm t=3s là 228m/s2 .
