14 câu Dạng 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Ta có limΔx→01+Δx2−12Δx=limΔx→02+Δx=2.

Vậy hệ số góc là k=y'1=2 .

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y=x3  và đường thẳng y=3x−2  là

x3−3x+2=0⇔x=1x=−2.

Tại x=1  ta có limΔx→01+Δx3−13Δx=limΔx→0Δx2+3Δx+3=3.

Hệ số góc k1=y'1=3.

Tại x=−2  ta có limΔx→0−2+Δx3−−23Δx=limΔx→0Δx2−6Δx+12=12.

Hệ số góc k2=y'−2=12.

Ta có: y=27⇒x=−3  .

limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0−−3+Δx3+27Δx=limΔx→0−Δx2+9Δx−27=−27

⇒k=y'−3=−27

Phương trình tiếp tuyến y−27=−27x+3⇔y=−27x−54.

Gọi Mx0;y0 là tọa độ tiếp điểm. Ta có:

f'x0=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0−1x0+Δx−1x0−1=−1x0−12       

 f'x0=k=−19⇔−1x0−12=−19⇔x0−12=9⇔x0=4x0=−2.      

            + Với x0=4 ta có y0=43, phương trình tiếp tuyến tại 4;43 là

                                       y=−19x−4+43⇔y=−19x+169.                    

            + Với x0=−2 ta có y0=23, phương trình tiếp tuyến tại −2;23 là

y=−19x+2+23⇔y=−19x+49.

Đường thẳng  y=ax+b là tiếp tuyến của đồ thị G:y=fx  tại điểm x0;fx0  khi và chỉ khi đồng thời xảy ra

·   (d)  và  (G) cùng đi qua điểm x0;fx0  tức là

·         Hệ số góc (d) của f  bằng đạo hàm của  tại a=f(x)  , tức là

            Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Đáp án C

Đáp án A

Ta có x=−1⇒y=−1. Khi đó limΔx→0ΔyΔx=limΔx→01−1+Δx=−1⇒k=y'−1=−1.

Phương trình tiếp tuyến: y=−x−2.

Đáp án A

Ta có y0=y2=−4 . Hệ số góc của tiếp tuyến là

        y'2=limx→2fx−f2x−2=limx→2−x3+3x−2+4x−2=limx→2−x2−2x−1=−9                .

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là y=−9x+14. Vậy a=−9;b=14⇒a+b=5.

Đáp án C

Gọi Mx0;y0 là tọa độ tiếp điểm

  limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0−1x0+Δxx0=−1x02;              

f'x0=k⇔−1x02=−14⇔x02=4⇔x=±2.

Với  x0=2⇒y0=12 , phương trình tiếp tuyến tại 2;12  là y=−14x+1⇔x+4y−4=0 .

Với x0=−2⇒y0=−12 , phương trình tiếp tuyến tại −2;−12  là

y=−14x−1⇔x+4y+4=0.

Đáp án B

Ta có limΔx→012+Δx2−122Δx=limΔx→01+Δx=1.

Hệ số góc k=y'12=1.

Đáp án C

Phương trình hoành độ giao điểm: x2−3x+2=0⇔x=1x=2.

Tại x=1:limΔx→01+Δx2−12Δx=limΔx→02+Δx=2.

Hệ số góc k1=y'1=2.

Tại x=2:limΔx→02+Δx2−22Δx=limΔx→04+Δx=4.

Hệ số góc k2=y'2=4 .

Đáp án DlimΔx→0ΔyΔx=limΔx→03−3Δx+Δx2=3⇒k=y'−1=3.Phương trình tiếp tuyến: y+1=3x+1⇔y=3x+2

    Đáp án D

y=8⇒x=2        

limΔx→0ΔyΔx=limΔx→012+6Δx+Δx2=12

⇒k=y'2=12

Phương trình tiếp tuyến: y−8=12x−2⇔y=12x−16.

Đáp án A

Ta có x=−1⇒y=−1 .

limΔx→0ΔyΔx=limΔx→01−1+Δx=−1⇒k=y'−1=−1.

Phương trình tiếp tuyến: y=−x−2.