14 câu Dạng 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Ta có $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\left(1+\Delta x\right)}^2-{\left(1\right)}^2}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(2+\Delta x\right)=2.$

Vậy hệ số góc là $k=y^{\text{'}}\left(1\right)=2$ .

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3$  và đường thẳng $y=3x-2$  là

$x^3-3x+2=0\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}\right.$.

Tại $x=1$  ta có $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\left(1+\Delta x\right)}^3-{\left(1\right)}^3}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left({\left(\Delta x\right)}^2+3\Delta x+3\right)=3.$

Hệ số góc $k_1=y^{\text{'}}\left(1\right)=3.$

Tại $x=-2$  ta có $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\left(-2+\Delta x\right)}^3-{\left(-2\right)}^3}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left({\left(\Delta x\right)}^2-6\Delta x+12\right)=12.$

Hệ số góc $k_2=y^{\text{'}}\left(-2\right)=12.$

Ta có: $y=27\Rightarrow x=-3$  .

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-{\left(-3+\Delta x\right)}^3+27}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(-{\left(\Delta x\right)}^2+9\Delta x-27\right)=-27$

$\Rightarrow k=y^{\text{'}}\left(-3\right)=-27$

Phương trình tiếp tuyến $y-27=-27\left(x+3\right)\iff y=-27x-54.$

Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$ là tọa độ tiếp điểm. Ta có:

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-1}{\left(x_0+\Delta x-1\right)\left(x_0-1\right)}=\frac{-1}{{\left(x_0-1\right)}^2}$       

 $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=k=-\frac{1}{9}\iff -\frac{1}{{\left(x_0-1\right)}^2}=-\frac{1}{9}\iff {\left(x_0-1\right)}^2=9\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=4\\ x_0=-2\end{array}\right..$      

            + Với $x_0=4$ ta có $y_0=\frac{4}{3}$, phương trình tiếp tuyến tại $\left(4;\frac{4}{3}\right)$ là

                                       $y=-\frac{1}{9}\left(x-4\right)+\frac{4}{3}\iff y=-\frac{1}{9}x+\frac{16}{9}.$                    

            + Với $x_0=-2$ ta có $y_0=\frac{2}{3}$, phương trình tiếp tuyến tại $\left(-2;\frac{2}{3}\right)$ là

$y=-\frac{1}{9}\left(x+2\right)+\frac{2}{3}\iff y=-\frac{1}{9}x+\frac{4}{9}.$

Đường thẳng  $y=ax+b$ là tiếp tuyến của đồ thị $\left(G\right):y=f\left(x\right)$  tại điểm $\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$  khi và chỉ khi đồng thời xảy ra

·   (d)  và  (G) cùng đi qua điểm $\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$  tức là

·         Hệ số góc (d) của f  bằng đạo hàm của  tại a=f(x)  , tức là

            Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Ta có $x=-1\Rightarrow y=-1$. Khi đó $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{-1+\Delta x}=-1\Rightarrow k=y^{\text{'}}\left(-1\right)=-1.$

Phương trình tiếp tuyến: $y=-x-2.$

Ta có $y_0=y\left(2\right)=-4$ . Hệ số góc của tiếp tuyến là

        $y^{\text{'}}\left(2\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{-x^3+3x-2+4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\left(-x^2-2x-1\right)=-9$                .

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là $y=-9x+14$. Vậy $a=-9;b=14\Rightarrow a+b=5.$

Đáp án C

Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$ là tọa độ tiếp điểm

  $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-1}{\left(x_0+\Delta x\right)x_0}=-\frac{1}{{x_0}^2};$              

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=k\iff -\frac{1}{{x_0}^2}=-\frac{1}{4}\iff {x_0}^2=4\iff x=\pm 2$.

Với  $x_0=2\Rightarrow y_0=\frac{1}{2}$ , phương trình tiếp tuyến tại $\left(2;\frac{1}{2}\right)$  là $y=-\frac{1}{4}x+1\iff x+4y-4=0$ .

Với $x_0=-2\Rightarrow y_0=-\frac{1}{2}$ , phương trình tiếp tuyến tại $\left(-2;-\frac{1}{2}\right)$  là

Ta có $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\left(\frac{1}{2}+\Delta x\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(1+\Delta x\right)=1.$

Hệ số góc $k=y^{\text{'}}\left(\frac{1}{2}\right)=1.$

Đáp án C

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-3x+2=0\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ x=2\end{array}\right..$

Tại $x=1:\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\left(1+\Delta x\right)}^2-{\left(1\right)}^2}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(2+\Delta x\right)=2.$

Hệ số góc $k_1=y^{\text{'}}\left(1\right)=2.$

Tại $x=2:\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\left(2+\Delta x\right)}^2-{\left(2\right)}^2}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(4+\Delta x\right)=4.$

Hệ số góc $k_2=y^{\text{'}}\left(2\right)=4$ .

    Đáp án D

$y=8\Rightarrow x=2$        

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(12+6\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2\right)=12$

$\Rightarrow k=y^{\text{'}}\left(2\right)=12$

Phương trình tiếp tuyến: $y-8=12\left(x-2\right)\iff y=12x-16.$

Ta có $x=-1\Rightarrow y=-1$ .

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{-1+\Delta x}=-1\Rightarrow k=y^{\text{'}}\left(-1\right)=-1.$

Phương trình tiếp tuyến: $y=-x-2.$