32 câu Dạng 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm

Giả sử  là số gia của đối số tại .

Ta có: $\Delta y=f\left(2+\Delta x\right)-f\left(2\right)=2{\left(2+\Delta x\right)}^2+3-\left({2.2}^2+3\right)$

$=2\Delta x\left(\Delta x+4\right).$                 

Tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2\Delta x\left(\Delta x+4\right)}{\Delta x}=2\Delta x+8$.

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(2\Delta x+8\right)=8.$

Giả sử $\Delta x$  là số gia của đối số tại $x_0=3$ .

Ta có: $\Delta y=f\left(3+\Delta x\right)-f\left(3\right)=\frac{2\left(3+\Delta x\right)-1}{3+\Delta x+1}-\frac{5}{4}=\frac{5+2\Delta x}{4+\Delta x}-\frac{5}{4}=\frac{3\Delta x}{4\left(4+\Delta x\right)};$

         $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3\Delta x}{\Delta x.4\left(4+\Delta x\right)}=\frac{3}{4\left(4+\Delta x\right)}.$  

Do đó $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{3\Delta x}{\Delta x.4\left(4+\Delta x\right)}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{3}{4\left(4+\Delta x\right)}=\frac{3}{16}.$

Vậy $f^{\text{'}}\left(3\right)=\frac{3}{16}.$

Giả sử $\Delta x$  là số gia của đối số tại $x_0=1.$

Ta có: $\Delta y=f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)=\sqrt{2\left(1+\Delta x\right)-1}-1=\frac{2\Delta x}{\sqrt{2\Delta x+1}+1};$

    $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2\Delta x}{\Delta x\left(\sqrt{2\Delta x+1}+1\right)}=\frac{2}{\sqrt{2\Delta x+1}+1};$       

     $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{2}{\sqrt{2\Delta x+1}+1}=1$       .

Vậy $f^{\text{'}}\left(1\right)=1.$

Giả sử $\Delta x$  là số gia của đối số $x_0=\frac{\pi }{3}.$

Ta có: $\Delta y=f\left(\frac{\pi }{3}+\Delta x\right)-f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{3}+\Delta x\right)-\sin \frac{\pi }{3}=2\cos \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin \frac{\Delta x}{2};$

        $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\cos \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\Delta x}{2}\right)\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}.$   

Do đó $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\cos \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\Delta x}{2}\right)\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}.$

Vì $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}=1$  nên $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\cos \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\Delta x}{2}\right)=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ .

Vậy $f^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}.$

Ta có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\left(x-1\right)}^2=1;\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(-x^2\right)=0\Rightarrow \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right).$

Suy ra hàm số gián đoạn tại   nên không có đạo hàm tại đó.

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(2+\Delta x\right)-f\left(2\right)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\left(1+\Delta x\right)}^2-1^2}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(2+\Delta x\right)=2.$

Vậy hàm số $y=f\left(x\right)$  có đạo hàm tại $x=2$  và $f^{\text{'}}\left(2\right)=2.$

Vì $f\left(x\right)$  là hàm số sơ cấp xác định tại $x=-1$   nên nó liên tục tại đó.

Ta có: $f^{\text{'}}\left[{\left(-1\right)}^{+}\right]=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x+1}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{2x}{x-1}=1;$

       $f^{\text{'}}\left[{\left(-1\right)}^{-}\right]=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x+1}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }2=2.$    

Do đó $f^{\text{'}}\left[{\left(-1\right)}^{+}\right]\ne f^{\text{'}}\left[{\left(-1\right)}^{-}\right]$  nên $f\left(x\right)$  không có đạo hàm tại $x=-1$ .

Giả sử $\Delta x$  là số gia của đối số x .

Ta có  $\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)=\frac{x+\Delta x}{x+\Delta x-1}-\frac{x}{x-1}=\frac{-\Delta x}{\left(x+\Delta x-1\right)\left(x-1\right)}$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-\Delta x}{\Delta x.\left(x+\Delta x-1\right)\left(x-1\right)}=\frac{-1}{\left(x+\Delta x-1\right)\left(x-1\right)}$.

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-1}{\left(x+\Delta x-1\right)\left(x-1\right)}=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}$

Vậy $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}$  .

Ta có: $\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)=\cos \left(x+\Delta x\right)-\cos x=-2\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right).sin\frac{\Delta x}{2}$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-2\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right).sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}=-\frac{\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right).sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}$

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }-\frac{\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right).sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}=-\sin x.$

Vậy $f^{\text{'}}\left(x\right)=-\sin x.$

Ta có $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=2;f\left(1\right)=2m.$

Để hàm số có đạo hàm tại  thì  phải liên tục tại $x=1$, suy ra $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)\Rightarrow 2m=2\Rightarrow m=1.$

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x^2-3x\right)=-2;\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(ax+b\right)=2\text{a}+b$

Để hàm số có đạo hàm tại $x=2$  thì hàm số liên tục tại $x=2$ .

Do đó $2\text{a}+b=-2\Rightarrow b=-2\text{a}-2$  . Ta lại có:

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x-2}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x-1\right)=1;$

Do $b=-2\text{a}-2$  nên $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{ax+b+2}{x-2}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{ax-2\text{a}-2+2}{x-2}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{ax-2\text{a}}{x-2}=a$

Để hàm số có đạo hàm tại $x=2$ thì $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\text{a}-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-4\end{array}\right.$

Ta có:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }cosx=1;\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(-\sin x\right)=0\Rightarrow \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$.

Suy ra hàm số gián đoạn tại $x=0$  nên không có đạo hàm tại đó.

Điều kiện cần

Ta có $f\left(1\right)=\frac{1}{3};\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(\frac{x^3}{3}\right)=\frac{1}{3}$  và $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(ax+b\right)=a+b.$

Để hàm số $f\left(x\right)$   có đạo hàm tại $x=1$   thì $f\left(x\right)$  liên tục tại $x=1$ .

Do đó $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)\iff a+b=\frac{1}{3}.$

Điều kiện đủ: $f^{\text{'}}\left(1^{+}\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2+x+1}{3}=1.$

$f^{\text{'}}\left(1^{-}\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{ax+b-\left(a+b\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{ax-a}{x-1}=a.$

Để hàm số $f\left(x\right)$   có đạo hàm tại $x=1$  thì $f^{\text{'}}\left(1^{+}\right)=f^{\text{'}}\left(1^{-}\right)\iff a=1\Rightarrow b=-\frac{2}{3}.$

Đáp án C

Ta có $\Delta y=f\left(2\right)-f\left(1\right)=2^3-1^3=7.$

Đáp án D

Ta có $\Delta y=2\left(-1+\Delta x\right)+1-\left(2\left(-1\right)+1\right)=2\Delta x\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=2.$ Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }2=2.$

       Vậy $y^{\text{'}}\left(-1\right)=2.$

Đáp án D

Xét hàm số $y=f\left(x\right)=x^2-x$  . Gọi $\Delta x$  là số gia của đối số tại x  .

Ta có $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)=\left[{\left(x_0+\Delta x\right)}^2-\left(x_0+\Delta x\right)\right]-\left[{x_0}^2-x_0\right]={\left(\Delta x\right)}^2+2x_0\Delta x-\Delta x.$

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(\Delta x+2x_0-1\right)$ .

Vậy $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(\Delta x+2x_0-1\right).$

       Đáp án B

Ta có $\Delta y=f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)={\left(1+\Delta x\right)}^2+\left(1+\Delta x\right)-\left(1^2+1\right)=3\Delta x+\Delta x^2$ ; suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(3+\Delta x\right)=3.$

Đáp án A

Ta có $\Delta y=\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}=\frac{-\Delta x}{\left(2+\Delta x\right)2}\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-1}{\left(2+\Delta x\right)2}.$  Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-1}{\left(2+\Delta x\right)2}=-\frac{1}{4}.$

Vậy $y^{\text{'}}\left(2\right)=-\frac{1}{4}$  .

Đáp án C

Ta có $\Delta y=f\left(5+\Delta x\right)-f\left(5\right)=\sqrt{9+2\Delta x}-3$  ; suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\sqrt{9+2\Delta x}-3}{\Delta x}.$

Do đó $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{9+2\Delta x-3^2}{\Delta x\left(\sqrt{9+2\Delta x}+3\right)}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{2}{\sqrt{9+2\Delta x}+3}=\frac{1}{3}$

Vậy $y^{\text{'}}\left(5\right)=\frac{1}{3}.$

  Đáp án D

Ta có: 

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x+\left|x\right|}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x+x}{x}=\mathrm{2,}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x+\left|x\right|}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x-x}{x}=0.$           

              Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại $x_0=0.$

       Đáp án C

Ta có: $f^{\text{'}}\left(0\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+1}=\frac{1}{2}.$

Đáp án  A

Ta có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\sin }^{2}x}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{\sin x}{x}.sinx\right)=0;\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x+x^2\right)=0$   nên hàm số liên tục tại $x=0$  .

            Ta lại có: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}=1$  và $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x+x^2}{x}=1.$

            Vậy $f^{\text{'}}\left(0\right)=1.$

Đáp án B

Hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x^2+\left|x+1\right|}{x-1}$  có tập xác định là $D=ℝ\backslash \left\{1\right\}$ .

Ta có $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{2x^2+\left|x+1\right|}{x-1}=-1=f\left(-1\right)$  nên hàm số liên tục tại $x=-1$ .

Ta có $y=f\left(x\right)=\frac{2x^2+\left|x+1\right|}{x-1}=\left\{\begin{array}{l}2x+1\text{ khi }x\le -1\\ \frac{2x^2+x+1}{x-1}\text{ khi }x>-\mathrm{1,}x\ne 1\end{array}\right.$ nên

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x-\left(-1\right)}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x+1-\left(-1\right)}{x+1}=2$ và $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x-\left(-1\right)}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{\frac{2x^2+x+1}{x-1}-\left(-1\right)}{x+1}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x}{x-1}=1.$

Vậy không tồn tại $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x-\left(-1\right)}$  . Do đó hàm số không có đạo hàm tại $x=-1$ .

Đáp án D

Ta có $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(2x+3\right)=5$

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^3+2x^2-7x+4}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x^2+3x-4\right)=0$

Suy ra $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ hàm số không liên tục tại $x=1$  nên hàm số không có đạo hàm tại $x_0=1$.

Đáp án A

Ta có $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{c-c}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }0=0\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=0.$

     Đáp án D

  Ta có $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-1}{\left(x+\Delta x\right)x}=-\frac{1}{x^2}.$ Vậy $f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}.$

       Đáp án B

Ta có $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$

Đáp án B

Ta dễ dàng chứng minh được $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=4.$

Để hàm số liên tục tại $x=2$  thì $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)=4\iff m=4.$

Mặt khác $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\frac{x^2-4}{x-2}-4}{x-2}=1.$

Vậy với  thì hàm số dã cho có đạo hàm tại $x=2$.

Đáp án D

Để hàm số có đạo hàm tại  thi hàm số phải liên tục tại .

Do đó $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^3-x^2-8x+10\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x^2+ax+b\right)\iff -2=4+2a+b\iff 2a+b=-6.$

Hàm số có đạo hàm tại điểm $x=2$  nên

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}\iff 4+a=0\iff a=-4.$ 

Suy ra $a=2$ . Vậy $ab=-8.$

  Đáp án B

Với $x\ne -1$  hàm số luôn có đạo hàm nên để hàm số có đạo hàm với mọi $x\in ℝ$  thì hàm số phải có đạo hàm tại $x=-1$ .

Ta có: $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{x^4-2x^2+1}{x+1}=0;\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left(a{x}^2+ax+b\right)=b$ . Để hàm số liên tục tại $x=-1$  thì

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(-1\right)=0\iff b=0$

Với  $b=0;a\in ℝ$ , ta có:

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x-\left(-1\right)}=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{\frac{x^4-2x^2+1}{x+1}-0}{x+1}=4;\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x-\left(-1\right)}=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{a{x}^2+ax-0}{x+1}=-a.$

Hàm số có đạo hàm tại điểm  khi và chỉ khi:

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-\left(-1\right)}=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x-\left(-1\right)}=4\Rightarrow a=-4.$

Vậy $a=-\mathrm{4,}b=0\Rightarrow a+b=-4.$