32 câu Dạng 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm

Giả sử  là số gia của đối số tại .

Ta có: Δy=f2+Δx−f2=22+Δx2+3−2.22+3

=2ΔxΔx+4.                 

Tỉ số ΔyΔx=2ΔxΔx+4Δx=2Δx+8.

limΔx→0ΔyΔx=limΔx→02Δx+8=8.

Vậy f'2=8.

Giả sử Δx  là số gia của đối số tại x0=3 .

Ta có: Δy=f3+Δx−f3=23+Δx−13+Δx+1−54=5+2Δx4+Δx−54=3Δx44+Δx;

         ΔyΔx=3ΔxΔx.44+Δx=344+Δx.  

Do đó limΔx→0ΔyΔx=limΔx→03ΔxΔx.44+Δx=limΔx→0344+Δx=316.

Vậy f'3=316.

Giả sử Δx  là số gia của đối số tại x0=1.

Ta có: Δy=f1+Δx−f1=21+Δx−1−1=2Δx2Δx+1+1;

    ΔyΔx=2ΔxΔx2Δx+1+1=22Δx+1+1;       

     limΔx→0ΔyΔx=limΔx→022Δx+1+1=1       .

Vậy f'1=1.

Giả sử Δx  là số gia của đối số x0=π3.

Ta có: Δy=fπ3+Δx−fπ3=sinπ3+Δx−sinπ3=2cosπ3+Δx2sinΔx2;

        ΔyΔx=cosπ3+Δx2sinΔx2Δx2.   

Do đó limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0cosπ3+Δx2sinΔx2Δx2.

Vì limΔx→0sinΔx2Δx2=1  nên limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0cosπ3+Δx2=cosπ3=12 .

Vậy f'π3=12.

Ta có limx→0+fx=limx→0+x−12=1;limx→0−fx=limx→0−−x2=0⇒limx→0+fx≠limx→0−fx.

Suy ra hàm số gián đoạn tại   nên không có đạo hàm tại đó.

limΔx→0f2+Δx−f2Δx=limΔx→01+Δx2−12Δx=limΔx→02+Δx=2.

Vậy hàm số y=fx  có đạo hàm tại x=2  và f'2=2.

Vì fx  là hàm số sơ cấp xác định tại x=−1   nên nó liên tục tại đó.

Ta có: f'−1+=limx→−1+fx−f−1x+1=limx→−1+2xx−1=1;

       f'−1−=limx→−1−fx−f−1x+1=limx→−1−2=2.    

Do đó f'−1+≠f'−1−  nên fx  không có đạo hàm tại x=−1 .

a, Hàm số gián đoạn tại các điểm x1,x3  vì đồ thị bị đứt tại các điểm đó. Hàm số liên tục tại x2,x4  vì đồ thị là đường liền nét khi đi qua các điểm đó.

b, Tại các điểm x1,x3  hàm số không có đạo hàm do hàm số gián đoạn tại các điểm x1,x3.

Hàm số không có đạo hàm tại x2  vì đồ thị bị gãy (không có tiếp tuyến tại đó).

Hàm số có đạo hàm tại x4  và  vì tạif'x4=0  đồ thị hàm số có tiếp tuyến và tiếp tuyến song song với trục hoành (hệ số góc của tiếp tuyến bằng 0).

Giả sử Δx là số gia của đối số .

Ta có: Δy=fx+Δx−fx=x+Δx2−x2

=2Δx.x+Δx2.

Tỉ số ΔyΔx=2Δx.x+Δx2Δx=2x+Δx.

limΔx→0ΔyΔx=limΔx→02x+Δx=2x.

Vậy f'x=2x.

Giả sử Δx  là số gia của đối số x .

Ta có  Δy=fx+Δx−fx=x+Δxx+Δx−1−xx−1=−Δxx+Δx−1x−1

ΔyΔx=−ΔxΔx.x+Δx−1x−1=−1x+Δx−1x−1.

limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0−1x+Δx−1x−1=−1x−12

Vậy f'x=−1x−12  .

Ta có: Δy=fx+Δx−fx=cosx+Δx−cosx=−2sinx+Δx2.sinΔx2

ΔyΔx=−2sinx+Δx2.sinΔx2Δx=−sinx+Δx2.sinΔx2Δx2

limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0−sinx+Δx2.sinΔx2Δx2=−sinx.

Vậy f'x=−sinx.

Ta có limx→1fx=limx→1x2−1x−1=2;f1=2m.

Để hàm số có đạo hàm tại  thì  phải liên tục tại x=1, suy ra limx→1fx=f1⇒2m=2⇒m=1.

Thay m=1 vào hàm số fx thỏa mãn có đạo hàm x=1.

limx→2+fx=limx→2+x2−3x=−2;limx→2−fx=limx→2−ax+b=2a+b

Để hàm số có đạo hàm tại x=2  thì hàm số liên tục tại x=2 .

Do đó 2a+b=−2⇒b=−2a−2  . Ta lại có:

limx→2+fx−f2x−2=limx→2+x2−3x+2x−2=limx→2+x−1=1;

limx→2−fx−f2x−2=limx→2−ax+b−−2x−2=limx→2−ax+b+2x−2.

Do b=−2a−2  nên limx→2−ax+b+2x−2=limx→2−ax−2a−2+2x−2=limx→2−ax−2ax−2=a

Để hàm số có đạo hàm tại x=2 thì limx→2+fx−f2x−2=limx→2−fx−f2x−2⇔a=1b=−2a−2⇔a=1b=−4

Ta có:

limx→0+fx=lim x→0+cosx=1;limx→0−fx=limx→0−−sinx=0⇒limx→0+fx≠limx→0−fx.

Suy ra hàm số gián đoạn tại x=0  nên không có đạo hàm tại đó.

Điều kiện cần

Ta có f1=13;limx→1+fx=limx→1+x33=13  và limx→1−fx=limx→1−ax+b=a+b.

Để hàm số fx   có đạo hàm tại x=1   thì fx  liên tục tại x=1 .

Do đó limx→1+fx=limx→1−fx=f1⇔a+b=13.

Điều kiện đủ: f'1+=limx→1+fx−f1x−1=limx→1+x33−13x−1=limx→1+x2+x+13=1.

f'1−=limx→1−fx−f1x−1=limx→1+fx−f1x−1=limx→1−ax+b−a+bx−1=limx→1+ax−ax−1=a.

Để hàm số fx   có đạo hàm tại x=1  thì f'1+=f'1−⇔a=1⇒b=−23.

Vậy a=1;b=−23  thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Đáp án C

Ta có Δy=f2−f1=23−13=7.

Đáp án BTa có Δy=fx+Δx−fx=x+Δx2−1−x2−1=2xΔx+Δx2;ΔyΔx=2x+Δx.

Đáp án D

Ta có Δy=2−1+Δx+1−2−1+1=2Δx⇒ΔyΔx=2. Suy ra limΔx→0ΔyΔx=limΔx→02=2.

       Vậy y'−1=2.

Đáp án D

Xét hàm số y=fx=x2−x  . Gọi Δx  là số gia của đối số tại x  .

Ta có Δy=fx0+Δx−fx0=x0+Δx2−x0+Δx−x02−x0=Δx2+2x0Δx−Δx.

Suy ra limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0Δx+2x0−1 .

Vậy f'x0=limΔx→0Δx+2x0−1.

       Đáp án B

Ta có Δy=f1+Δx−f1=1+Δx2+1+Δx−12+1=3Δx+Δx2 ; suy ra limΔx→0ΔyΔx=limΔx→03+Δx=3.

Đáp án A

Ta có Δy=12+Δx−12=−Δx2+Δx2⇒ΔyΔx=−12+Δx2.  Suy ra limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0−12+Δx2=−14.

Vậy y'2=−14  .

Đáp án C

Ta có Δy=f5+Δx−f5=9+2Δx−3  ; suy ra ΔyΔx=9+2Δx−3Δx.

Do đó limΔx→0ΔyΔx=limΔx→09+2Δx−32Δx9+2Δx+3=limΔx→029+2Δx+3=13

Vậy y'5=13.

  Đáp án D

Ta có: 

limx→0+fx−f0x−0=limx→0+x+xx=limx→0+x+xx=2,limx→0−fx−f0x−0=limx→0−x+xx=limx→0−x−xx=0.           

              Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại x0=0.

       Đáp án C

Ta có: f'0=limx→0fx−f0x−0=limx→0x2+1−1x2=limx→01x2+1+1=12.

Đáp án  A

Ta có limx→0+fx=limx→0+sin2xx=limx→0+sinxx.sinx=0;limx→0−fx=limx→0−x+x2=0   nên hàm số liên tục tại x=0  .

            Ta lại có: limx→0+fx−f0x=limx→0+sin2xx2=1  và limx→0−fx−f0x=limx→0−x+x2x=1.

            Vậy f'0=1.

Đáp án B

Hàm số y=fx=2x2+x+1x−1  có tập xác định là D=ℝ\1 .

Ta có limx→−1fx=limx→−12x2+x+1x−1=−1=f−1  nên hàm số liên tục tại x=−1 .

Ta có y=fx=2x2+x+1x−1=2x+1         khi x≤−1       2x2+x+1x−1 khi x>−1,x≠1 nên

limx→−1−fx−f−1x−−1=limx→−1−2x+1−−1x+1=2 và limx→−1+fx−f−1x−−1=limx→−1−2x2+x+1x−1−−1x+1=limx→−1−2xx−1=1.

Vậy không tồn tại limx→−1fx−f−1x−−1  . Do đó hàm số không có đạo hàm tại x=−1 .

Đáp án D

Ta có limx→1+fx=limx→1+2x+3=5

limx→1−fx=limx→1−x3+2x2−7x+4x−1=limx→1−x2+3x−4=0

Suy ra limx→1+fx≠limx→1−fx hàm số không liên tục tại x=1  nên hàm số không có đạo hàm tại x0=1.

Đáp án A

Ta có limΔx→0fx+Δx−fxΔx=limΔx→0c−cΔx=limΔx→00=0⇒f'x=0.

     Đáp án D

  Ta có limΔx→0fx+Δx−fxΔx=limΔx→01x+Δx−1xΔx=limΔx→0−1x+Δxx=−1x2. Vậy f'x=−1x2.

       Đáp án B

Ta có limΔx→0fx+Δx−fxΔx=limΔx→0x+Δx−xΔx=limΔx→01x+Δx+x=12x⇒f'x=12x.

Đáp án B

Ta dễ dàng chứng minh được limx→2x2−4x−2=4.

Để hàm số liên tục tại x=2  thì limx→2fx=f2=4⇔m=4.

Mặt khác limx→2fx−f2x−2=limx→2x2−4x−2−4x−2=1.

Vậy với  thì hàm số dã cho có đạo hàm tại x=2.

Đáp án D

Để hàm số có đạo hàm tại  thi hàm số phải liên tục tại .

Do đó limx→2−x3−x2−8x+10=limx→2+x2+ax+b⇔−2=4+2a+b⇔2a+b=−6.

Hàm số có đạo hàm tại điểm x=2  nên

limx→2−fx−f2x−2=limx→2+fx−f2x−2⇔4+a=0⇔a=−4. 

Suy ra a=2 . Vậy ab=−8.

  Đáp án B

Với x≠−1  hàm số luôn có đạo hàm nên để hàm số có đạo hàm với mọi x∈ℝ  thì hàm số phải có đạo hàm tại x=−1 .

Ta có: limx→−1+x4−2x2+1x+1=0;limx→−1−ax2+ax+b=b . Để hàm số liên tục tại x=−1  thì

limx→1+fx=limx→1−fx=f−1=0⇔b=0

Với  b=0;a∈ℝ , ta có:

limx→−1+fx−f−1x−−1=limx→−1+x4−2x2+1x+1−0x+1=4;limx→−1−fx−f−1x−−1=limx→−1−ax2+ax−0x+1=−a.

Hàm số có đạo hàm tại điểm  khi và chỉ khi:

limx→−1+fx−f0x−−1=limx→−1−fx−f−1x−−1=4⇒a=−4.

Vậy a=−4,b=0⇒a+b=−4.