33 câu Dạng 3: Chứng minh đẳng thức đạo hàm, tìm giới hạn, giải phương trình và bất phương trình chứa đạo hàm.

Ta có: $y^{\text{'}}=-9x^2+25.$

$y^{\text{'}}=0\iff -9x^2+25=0\iff x=\pm \frac{5}{3}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt  $x=-\frac{5}{3}$ và $x=\frac{5}{3}$

Đặt $f\left(x\right)=\sqrt[3]{1-x}\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{-1}{3\sqrt[3]{{\left(1-x\right)}^2}}$ và $f\left(0\right)=1$.

Suy ra $A=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=f^{\text{'}}\left(0\right)=-\frac{1}{3}$.

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}$. Khi đó $f^{\text{'}}\left(x\right)\le f\left(x\right)\iff \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}\le \sqrt{x^2-2x}\left(1\right)$

Điều kiện xác định: $x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(2;+\infty \right)$.

$\left(1\right)\Rightarrow x-1\le x^2-2x\iff x^2-3x+1\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}x\ge \frac{3+\sqrt{5}}{2}\\ x\le \frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện trên suy ra $x<0$ hoặc $x\ge \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ .

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=x^2-2mx+m+2$

$f^{\text{'}}\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in ℝ\iff x^2-2mx+m+2\ge \mathrm{0,}\forall x\in ℝ$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ {\Delta }^{\text{'}}=m^2-\left(m+2\right)\le 0\end{array}\right.\iff m^2-m-2\le 0\iff -1\le m\le 2$

Vậy $-1\le m\le 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có: $A=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sqrt{1+2x^2}-\sqrt[3]{1+3x^2}}{x^2}}{\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{x^2}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{x^2}}$

Mà $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)}^2=\frac{1}{2}$.

Đặt $t=x^2$ , sử dụng phương pháp liên hợp ta có

$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+2t}-\sqrt[3]{1+3t}}{t}=0$.

Vậy $A=0.$

Đáp án A

Ta có $y=\sqrt[3]{1-x}\Rightarrow y^3=1-x\Rightarrow 3y^2{y}^{\text{'}}=-1\Rightarrow 3y^{\text{'}}{y}^2+1=0$

Đáp án C

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{3x^2\left(x-1\right)-x^3}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{2x^3-3x^2}{{\left(x-1\right)}^2}$. Xét phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\Rightarrow 2x^3-3x^2=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{3}{2}\end{array}\right.$ (thỏa mãn)

Đáp án B

Ta có $y^{\text{'}}=1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{y}{\sqrt{x^2+1}}\Rightarrow y^{\text{'}}\sqrt{1+x^2}=y\Rightarrow y^{\text{'}}\sqrt{1+x^2}-y=0$

Đáp án D

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=3\left(m-1\right)x^2+4\left(m-1\right)x+m$

Với $m=1:f^{\text{'}}\left(x\right)=1>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$ nên $m=1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với $m\ne 1:f^{\text{'}}\left(x\right)>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ {\Delta }^{\text{'}}<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m-1>0\\ m^2-5m+4<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>1\\ 1<m<4\end{array}\right.\iff 1<m<4$

Vậy $m\in \left[1;4\right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án C

Ta có $f\left(x\right)=k\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(k\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}=k{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\text{'}}+{\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}$

Đặt $y=\sqrt[3]{x}\Rightarrow y^3=x\Rightarrow 3y^2{y}^{\text{'}}=1\Rightarrow y^{\text{'}}=\frac{1}{3y^2}=\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=k{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\text{'}}+{\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}=\frac{k}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Vậy để $$$f^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{3}{2}$ thì  $\frac{k}{3}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\iff k=3$.

Đáp án C

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2-6x-9$ . Xét phương trình $y^{\text{'}}=0\iff 3x^2-6x-9=0\iff x=-1;x=3$

Đáp án A

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(2x^3+3x^2-36x-1\right)}^{\text{'}}=6x^2+6x-36$

Suy ra $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff 6x^2+6x-36=0\iff x^2+x-6=0\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-3\end{array}\right.$

Đáp án A

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x^3+2x^2-7x+3\right)}^{\text{'}}=3x^2+4x-7$, suy ra $f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0\iff 3x^2+4x-7\le 0\iff -\frac{7}{3}\le x\le 1$

Đáp án B

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{-x^2+2x+3}{{\left(x^2+3\right)}^2}$. Do đó $y^{\text{'}}=0\Rightarrow -x^2+2x+3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=3\end{array}\right.$

Đáp án D

Ta có: $y^{\text{'}}={\left(\frac{x^2+3x+3}{x+1}\right)}^{\text{'}}=\frac{{\left(x^2+3x+3\right)}^{\text{'}}\left(x+1\right)-\left(x^2+3x+3\right){\left(x+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{\left(2x+3\right)\left(x+1\right)-\left(x^2+3x+3\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{x^2+2x}{{\left(x+1\right)}^2}$

Suy ra $y^{\text{'}}=0\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+2x=0\\ x+1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}\right.\\ x\ne -1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}\right.$.

Đáp án A

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{4x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$ . Khi đó $f^{\text{'}}\left(x\right)<0\iff 4x<0\iff x<0$.

Đáp án C

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-2x-1$. Khi đó $f^{\text{'}}\left(x\right)<0\iff 3x^2-2x-1<0\iff -\frac{1}{3}<x<1$.

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=-8\sin \left(8x+2\right)\ge -\mathrm{8,}\forall x\in ℝ$

Đáp án D

Ta có: $y^{\text{'}}={\left(\sqrt{3}\sin x+\cos x-2x+2020\right)}^{\text{'}}=\sqrt{3}\cos x-\sin x-2$

$y^{\text{'}}=0\iff \sqrt{3}\cos x-\sin x-2=0\iff \sqrt{3}\cos x-\sin x=2\iff \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x=1$

$\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=1\iff x+\frac{\pi }{6}=k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$x\in \left[0;2020\pi \right]\iff 0\le -\frac{\pi }{6}+k2\pi \le 2020\pi \iff \frac{1}{12}\le k\le \frac{12121}{12}$

Đáp án C

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=2\cos 2x$, suy ra $3f\left(x\right)+2f^{\text{'}}\left(x\right)=5\iff 3\sin 2x+4\cos 2x=5\iff \sin \left(2x+\alpha \right)=1$

$\iff x=\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2}+k.\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$, với  là một cung thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{3}{5}\\ \sin \alpha =\frac{4}{5}\end{array}\right.$.

Vậy có hai điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cho các nghiệm của $3f\left(x\right)+2f^{\text{'}}\left(x\right)=5$

Đáp án B

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^3-x-4$, suy ra $f^{\text{'}}\left(x\right)<0\iff 3x^3-x-4<0\iff -1<x<\frac{4}{3}$

Đáp án C

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=m{x}^2-mx+\left(3-m\right)$

+ Nếu $m=0$  thì $f^{\text{'}}\left(x\right)=3>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$  (thỏa mãn).

+ Nếu $m\ne 0$  thì  $f^{\text{'}}\left(x\right)=m{x}^2-mx+\left(3-m\right)$ là tam thức bậc hai.

$f^{\text{'}}\left(x\right)>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ\iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ \Delta =m^2-4m\left(3-m\right)<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ 5m^2-12m<0\end{array}\right.\iff 0<m<\frac{12}{5}$

. Vậy $0\le m<\frac{12}{5}$

Đáp án B

$f\left(x\right)=-x^3+3m{x}^2-12x+3\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=-3x^2+6mx-12$.

 $f^{\text{'}}\left(x\right)\le \mathrm{0,}\forall x\in ℝ\iff -3x^2+6mx-12\le 0$ với $\forall x\in ℝ\iff \left\{\begin{array}{l}a<0\\ {\Delta }^{\text{'}}\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-3<0\\ 9m^2-36\le 0\end{array}\right.\iff -2\le m\le 2$

Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{-2;-1;0;1;2\right\}$. Vậy có 5 giá trị nguyên m thỏa mãn.

Đáp án D

Đặt $f\left(x\right)=\left(1+x\right)\left(1+2x\right)\left(1+3x\right)\mathrm{...}\left(1+2018x\right)$

$f\left(x\right)$ là hàm số đa thức nên nó liên tục và có đạo hàm trên tập số thực .

Ta có  $f\left(0\right)=1$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)=1.\left(1+2x\right)\mathrm{...}\left(1+2018x\right)+2\left(1+x\right)\mathrm{...}\left(1+2018x\right)+\mathrm{...}+2018\left(1+x\right)\mathrm{...}\left(1+2017x\right)$

$\Rightarrow f^{\text{'}}\left(0\right)=1+2+3+\mathrm{...}+2018=2018.\frac{2018+1}{2}=1009.2019$.

Khi đó ta có: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(1+x\right)\left(1+2x\right)\left(1+3x\right)\mathrm{...}\left(1+2018x\right)-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=f^{\text{'}}\left(0\right)$.

Đáp án A

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=6\left[x^2+\left(a+2\right)x+a^2\right]$ nên $f^{\text{'}}\left(x\right)>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ\iff x^2+\left(a+2\right)x+a^2>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$

$\iff {\left(a+2\right)}^2-4a^2<0\iff \left[\begin{array}{l}a>2\\ a<-\frac{2}{3}\end{array}\right.$.

Mặt khác $f^{\text{'}}\left(-1\right)=6\iff 6\left[{\left(-1\right)}^2+\left(a+2\right)\left(-1\right)+a^2\right]=6\iff \left[\begin{array}{l}a=-1\\ a=2\end{array}\right.$ . Vậy $a=-1$ .

Đáp án A

Ta có  $g^{\text{'}}\left(x\right)=-3x^2.f^{\text{'}}\left(4-x^3\right)$.

Ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)>0\iff -3x^2.f^{\text{'}}\left(4-x^3\right)>0\iff x^2.f^{\text{'}}\left(4-x^3\right)<0\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ f^{\text{'}}\left(4-x^3\right)<0\end{array}\right.$

Do hàm số$y=f\left(x\right)$  có đạo hàm tại điểm $x_0=2$  suy ra $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=f^{\text{'}}\left(2\right)$ .

Ta có $I=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2f\left(x\right)-xf\left(2\right)}{x-2}\iff I=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2f\left(x\right)-2f\left(2\right)+2f\left(2\right)-xf\left(2\right)}{x-2}\iff I=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2\left(f\left(x\right)-f\left(2\right)\right)}{x-2}-\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(2\right)\left(x-2\right)}{x-2}$

$\iff I=2f^{\text{'}}\left(2\right)-f\left(2\right)$.

Đáp án B

Đặt $f\left(x\right)=\sqrt[n]{1+3x}\Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[n]{1+3x}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}=f^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{3}{n}$ .