33 câu Dạng 3: Chứng minh đẳng thức đạo hàm, tìm giới hạn, giải phương trình và bất phương trình chứa đạo hàm.
33 câu hỏi
Cho hàm số y=−3x3+25x−20.
Giải phương trình y'=0.
Ta có: y'=−9x2+25.
y'=0⇔−9x2+25=0⇔x=±53.
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x=−53 và x=53
Tính A=limx→01−x3−1x .
Đặt fx=1−x3⇒f'x=−131−x23 và f0=1.
Suy ra A=limx→0fx−f0x−0=f'0=−13.
Cho hàm số fx=x+1+x2. Chứng minh rằng 21+x2.y'=y.
y'=x+1+x2'=12x+1+x2.x+1+x2'=12x+1+x2.1+x1+x2
=12x+1+x2.1+x2+x1+x2=1+x2+x21+x2=y21+x2⇒21+x2.y'=y.
Cho hàm số fx=x2−2x. Giải bất phương trình f'x≤fx .
Ta có f'x=x−1x2−2x. Khi đó f'x≤fx⇔x−1x2−2x≤x2−2x1
Điều kiện xác định: x∈−∞;0∪2;+∞.
1⇒x−1≤x2−2x⇔x2−3x+1≥0⇔x≥3+52x≤3−52
Kết hợp với điều kiện trên suy ra x<0 hoặc x≥3+52 .
Cho hàm số fx=x33−mx2+m+2x−7. Tìm giá trị của tham số m để f'x≥0 với mọi x∈ℝ.
Ta có f'x=x2−2mx+m+2
f'x≥0, ∀x∈ℝ⇔x2−2mx+m+2≥0, ∀x∈ℝ
⇔a=1>0Δ'=m2−m+2≤0⇔m2−m−2≤0⇔−1≤m≤2
Vậy −1≤m≤2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giải phương trình f'(x) trong các trường hợp sauf(x)= sin3x-3sinx+7
fx=sin3x−3sinx+7⇒f'x=3cos3x−3cosx
f'x=0⇔3cos3x−3cosx=0⇔cos3x=cosx
⇔3x=x+k2π3x=−x+k2π
⇔x=kπx=kπ2
⇔x=kπ2k∈ℤ
Giải phương trình trong các trường hợp sau
f(x)=cos2x+2sinx-1
f'x=0⇔−2sin2x+2cosx=0⇔cosx−2sinx+1=0
fx=cos2x+2sinx−1⇒f'x=−2sin2x+2cosx
f'x=0⇔−2sin2x+2cosx=0⇔cosx−2sinx+1=0
⇔cosx=0sinx=12
⇔x=π2+kπx=π6+k2πx=π−π6+k2π
⇔x=π2+kπx=π6+k2πx=5π6+k2πk∈ℤ
Tính giới hạn sau: A=limx→01+2x2−1+3x231−cosx
Ta có: A=limx→01+2x2−1+3x23x22sin2x2x2=limx→0fx2sin2x2x2
Mà limx→02sin2x2x2=12limx→0sinx2x22=12.
Đặt t=x2 , sử dụng phương pháp liên hợp ta có
limx→0fx=limt→01+2t−1+3t3t=0.
Vậy A=0.
Cho hàm số y=1−x3. Khẳng định nào sau đây đúng?
3y'y2+1=0 .
y'y2+1=0
3y'y2−1=0
y'y2−1=0
Đáp án A
Ta có y=1−x3⇒y3=1−x⇒3y2y'=−1⇒3y'y2+1=0
Cho hàm số fx=x3x−1 . Tập nghiệm của phương trình f'(x)=0 là
0;23.
0;−23.
0;32.
0;−32.
Đáp án C
Ta có f'x=3x2x−1−x3x−12=2x3−3x2x−12. Xét phương trình f'x=0⇒2x3−3x2=0⇔x=0x=32 (thỏa mãn)
Cho hàm số y=x+x2+1. Khẳng định nào sau đây đúng?
y1+x2−y'=0.
y'1+x2−y=0.
y1+x2+y'=0.
y'1+x2+y=0.
Đáp án B
Ta có y'=1+xx2+1=x+x2+1x2+1=yx2+1⇒y'1+x2=y⇒y'1+x2−y=0
Cho fx=m−1x3+2m−1x2+mx. Tập hợp các giá trị của m để f'x>0, ∀x∈ℝ là
1;4 .
1;4.
1;4.
1;4.
Đáp án D
Ta có f'x=3m−1x2+4m−1x+m
Với m=1:f'x=1>0,∀x∈ℝ nên m=1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với m≠1:f'x>0,∀x∈ℝ⇔a>0Δ'<0⇔m−1>0m2−5m+4<0⇔m>11<m<4⇔1<m<4
Vậy m∈1;4 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Cho hàm số fx=kx3+xk∈ℝ. Giá trị của k để f'1=32 là
k=1.
k=−3.
k=3
k=92.
Đáp án C
Ta có fx=kx3+x⇒f'x=kx3+x'=kx3'+x'
Đặt y=x3⇒y3=x⇒3y2y'=1⇒y'=13y2=13x32
f'x=kx3'+x'=k3x32+12x. Vậy để f'1=32 thì k3+12=32⇔k=3.
Cho hàm số y=2x−x2. Khi đó y.y' bằng
12.
2−2x.
1−x.
2x−x22.
Đáp án C
Ta có y'=3x2−6x−9 . Xét phương trình y'=0⇔3x2−6x−9=0⇔x=−1;x=3
Cho hàm số fx=2x3+3x2−36x−1. Để f'(x) thì x có giá trị thuộc tập hợp
−3;2.
3;−2.
−6;4.
4;−6.
Đáp án A
Ta có f'x=2x3+3x2−36x−1'=6x2+6x−36
Suy ra f'x=0⇔6x2+6x−36=0⇔x2+x−6=0⇔x=2x=−3
Cho hàm số fx=x3+2x2−7x+3. Để f'x≤0 thì x có giá trị thuộc tập hợp
. −73;1
−1;73
−73;1
−73;1
Đáp án A
Ta có f'x=x3+2x2−7x+3'=3x2+4x−7, suy ra f'x≤0⇔3x2+4x−7≤0⇔−73≤x≤1
Cho hàm sốy=−2x2+x−7x2+3 . Tập nghiệm của phương trình y'=0 là
−1;3.
1;3 .
−3;1.
−3;−1
Đáp án B
Ta có y'=−x2+2x+3x2+32. Do đó y'=0⇒−x2+2x+3=0⇔x=−1x=3
Cho hàm số y=x2+3x+3x+1. Tất cả các nghiệm của phương trình y'=0 là
x=0.
x=2.
x=−2.
x=0; x=−2.
Đáp án D
Ta có: y'=x2+3x+3x+1'=x2+3x+3'x+1−x2+3x+3x+1'x+12=2x+3x+1−x2+3x+3x+12=x2+2xx+12
Suy ra y'=0⇔x2+2x=0x+1≠0⇔x=0x=−2x≠−1⇔x=0x=−2.
Cho hàm số fx=x2−1x2+1 . Đạo hàm của hàm số fx nhận giá trị âm khi x thuộc tập hợp nào dưới đây?
−∞;0.
0;+∞.
−∞;1∪1;+∞.
−1;1.
Đáp án A
Ta có f'x=4xx2+12 . Khi đó f'x<0⇔4x<0⇔x<0.
Cho hàm số fx=x3−x2−x+5. Với giá trị nào của x thì âm?
−1<x<13.
13<x<1.
−13<x<1.
−23<x<2.
Đáp án C
Ta có f'x=3x2−2x−1. Khi đó f'x<0⇔3x2−2x−1<0⇔−13<x<1.
Cho hàm số fx=2cos24x+1+2π−2020 . Giá trị nhỏ nhất của f'x là bao nhiêu?
minf'x=−8
minf'x=8
minf'x=4
minf'x=−4
Đáp án A
Ta có f'x=−8sin8x+2≥−8, ∀x∈ℝ
Cho hàm số y=3sinx+cosx−2x+2019 . Số nghiệm của phương trình y'=0 trên đoạn 0;2020π là
2019.
2020.
1011.
1010.
Đáp án D
Ta có: y'=3sinx+cosx−2x+2020'=3cosx−sinx−2
y'=0⇔3cosx−sinx−2=0⇔3cosx−sinx=2⇔32cosx−12sinx=1
⇔cosx+π6=1⇔x+π6=k2π⇔x=−π6+k2π, k∈ℤ
x∈0;2020π⇔0≤−π6+k2π≤2020π⇔112≤k≤1212112
Mà k∈ℤ nên k∈1;2;..;1010. Vậy có 1010 nghiệm thỏa mãn yêu cầu
Cho hàm số fx=sin2x . Hỏi có bao nhiêu điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình 3fx+2f'x=5?
0.
1.
2.
4
Đáp án C
Ta có f'x=2cos2x, suy ra 3fx+2f'x=5⇔3sin2x+4cos2x=5⇔sin2x+α=1
⇔x=π2−α2+k.πk∈ℤ, với là một cung thỏa mãn cosα=35sinα=45.
Vậy có hai điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cho các nghiệm của 3fx+2f'x=5
Cho fx=x3−12x2−4x . Tìm x sao cho f'(x)<0 .
x>43 hoặc x<−1.
−1<x<43.
x≥43hoặc x≤−1.
−1≤x≤43 .
Đáp án B
Ta có: f'x=3x3−x−4, suy ra f'x<0⇔3x3−x−4<0⇔−1<x<43
Cho hàm số fx=13x3−22x2+8x−1. Để f'x=0 thì x có giá trị bằng
−22 .
22.
2.
Không tồn tại.
Đáp án BTa có f'x=13x3−22x2+8x−1'=x2−42x+8⇒f'x=0⇔x2−42x+8=0⇔x=22.
Cho hàm số fx=mx33−mx22+3−mx−2. Tìm m để f'x>0, ∀x∈ℝ.
0≤m≤125 .
0<m<125
0≤m<125
0<m≤125
Đáp án C
Ta có f'x=mx2−mx+3−m
+ Nếu m=0 thì f'x=3>0, ∀x∈ℝ (thỏa mãn).
+ Nếu m≠0 thì f'x=mx2−mx+3−m là tam thức bậc hai.
f'x>0, ∀x∈ℝ⇔m>0Δ=m2−4m3−m<0⇔m>05m2−12m<0⇔0<m<125
. Vậy 0≤m<125
Cho hàm số fx=−x3+3mx2−12x+3 với m là tham số thực, số giá trị nguyên của m để f'x≤0 với ∀x∈ℝ là
1.
5.
4.
3.
Đáp án B
fx=−x3+3mx2−12x+3⇒f'x=−3x2+6mx−12.
f'x≤0, ∀x∈ℝ⇔−3x2+6mx−12≤0 với ∀x∈ℝ⇔a<0Δ'≤0⇔−3<09m2−36≤0⇔−2≤m≤2
Vì m∈ℤ nên m∈−2;−1;0;1;2. Vậy có 5 giá trị nguyên m thỏa mãn.
Giá trị của limx→01+x1+2x1+3x...1+2018x−1x bằng
2018.2019.
2019
2018.
1009.2019.
Đáp án D
Đặt fx=1+x1+2x1+3x...1+2018x
fx là hàm số đa thức nên nó liên tục và có đạo hàm trên tập số thực .
Ta có f0=1 và f'x=1.1+2x...1+2018x+21+x...1+2018x+...+20181+x...1+2017x
⇒f'0=1+2+3+...+2018=2018.2018+12=1009.2019.
Khi đó ta có: limx→01+x1+2x1+3x...1+2018x−1x=limx→0fx−f0x−0=f'0.
Cho fx=2x3+3a+2x2+6a2x. Biết f'x>0 luôn đúng với mọi x và f'−1=6 . Tìm a
a=−1.
a=2.
a=1.
a=3.
Đáp án A
Ta có f'x=6x2+a+2x+a2 nên f'x>0,∀x∈ℝ⇔x2+a+2x+a2>0, ∀x∈ℝ
⇔a+22−4a2<0⇔a>2a<−23.
Mặt khác f'−1=6⇔6−12+a+2−1+a2=6⇔a=−1a=2 . Vậy a=−1 .
Cho hàm số y=fx có đạo hàm y'=f'xliên tục trên R và hàm số y=g(x) với gx=f4−x3 . Biết rằng tập các giá trị của x để f'(x)<0 là (-4;3) . Tập các giá trị của x đểg'x>0 là
1;2.
8;+∞.
−∞;8.
1;8.
Đáp án A
Ta có g'x=−3x2.f'4−x3.
Ta có: g'x>0⇔−3x2.f'4−x3>0⇔x2.f'4−x3<0⇔x≠0f'4−x3<0
⇔x≠0−4<4−x3<3⇔x≠0−8<−x3<−1⇔x≠01<x3<8⇔x≠01<x<2⇔1<x<2.
Cho hàm số fx=ax khi 0<x<x0x2+12 khi x≥x0 . Biết rằng ta luôn tìm được một số dương x0 và một số thực a để hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng 0;x0∪x0;+∞. Tính giá trị S=x0+a .
S=23−22 .
S=21+42.
S=23−42
S=23+22
Đáp án B
Cho hàm số y=fx có đạo hàm tại điểm x0=2 . Tìm limx→22fx−xf2x−2.
0.
f'2.
2f'2−f2.
f2−2f'2
Đáp án C
Do hàm sốy=fx có đạo hàm tại điểm x0=2 suy ra limx→2fx−f2x−2=f'2 .
Ta có I=limx→22fx−xf2x−2⇔I=limx→22fx−2f2+2f2−xf2x−2⇔I=limx→22fx−f2x−2−limx→2f2x−2x−2
⇔I=2f'2−f2.
Giá trị của limx→01+3xn−1x bằng
n3.
3n.
1n.
3n.
Đáp án B
Đặt fx=1+3xn⇒limx→01+3xn−1x=limx→0fx−f0x=f'0=3n .
