50 câu Dạng 4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Tập xác định: D=ℝ

Ta có: y'=3x2+4x⇒k=y'1=7.

Phương trình tiếp tuyến tại M1;3  là d:y=y'0x−x0+y0⇔y=7x−1+3

⇔y=7x−4.

Tập xác định D=ℝ\1.

Ta có: x0=−1⇒y0=y−1=12 và y'=−3x−12⇒k=y'−1=−34.

Phương trình tiếp tuyến tại M là y=−34x+1+12⇔y=−3x4−14 .

Tập xác định D=ℝ\5..

Tọa độ giao điểm với trục hoành y=0⇔2x+1x−5=0⇔x=−12.

Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=−12 là y=y'−12x+12+y−12=−411x+12=−411x−211.

Tập xác định D=ℝ.

Ta có y=x3−3x2+2⇒y'=3x2−6x .

Gọi  MxM;yM là một điểm thuộc C:y=x3−3x2+2, suy ra tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là y=3xM2−6xMx−xM+xM3−3xM2+2.

Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm NxN;yN (khác M) nên xM,  xN là nghiệm của phương trình:

x3−3x2+2=3xM2−6xMx−xM+xM3−3xM2+2.

⇔x3−xM3−3x2−xM2−3xM2−6xMx−xM=0

⇔x−xM2x+2xM−3=0

⇔x=xMx=−2xM+3

⇒xN=−2xM+3

Khi đó P=5xM2+xN2=5xM2+−2xM+32=9xM2−12xM+9≥9xM−232+5

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi xM=23.

Tập xác định: D=ℝ\2.

Ta có: y'=−3x−22⇒y'1=−3 .

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M1;−2 là đường thẳng Δ có dạng:

y=y'1x−1+y1=−3x−1−2⇔y=−3x+1

Suy ra Δ∩Ox=A13;0;Δ∩Oy=B0;1⇒SΔOAB=12OA.OB=12.13.1=16.

Tập xác định: D=ℝ.

Ta có:y'=3x2−3.

Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là Mx0;y0, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là

k=y'x0=9⇔3x02−3=9⇔x02=4⇔x0=±2.

+ Với x0=2 ta có y0=4, suy ra tiếp điểm .

+ Với x0=−2  ta có y0=0, suy ra tiếp điểm M2−2;0.

Phương trình tiếp tuyến tại M1  là

d1:y=9x−2+4⇒d1:y=9x−14..

Phương trình tiếp tuyến tại M2 là

d1:y=9x−2+4⇒d1:y=9x−14..

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là

d1:y=9x−14; d2:y=9x+18.

Tập xác định D=ℝ\−2

Ta có: y'=3x+22 và Δ:3x−y+2=0⇒y=3x+2.

Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là Mx0;y0.

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ  nên k=3x0+22=3⇔x0+22=1⇔x0+2=1x0+2=−1⇔x0=−1x0=−3

+ Với x0=−1 suy ra  , suy ra tiếp điểm M1−1;−1.

Phương trình tiếp tuyến tại  là: d1:y=3x+1−1⇒d1:y=3x+2.

Lúc này: d1≡Δ nên không thỏa mãn.

+ Với x0=−3⇒y0=5  ta có tiếp điểm .

Phương trình tiếp tuyến tại  là d2:y=3x+3+5⇒d2:y=3x+14.

Vậy có một tiếp tuyến cần tìm là  d2:y=3x+14.

Tập xác định D=ℝ.

Ta có: y'=3x2−6x.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M1;−2∈C là

Δ:y+2=3.12−6.1x−1⇔y=−3x+1.

Khi đó: .Δ//d⇔−3=m2−42m−1≠1⇔m=1m=−1m≠1⇔m=−1

Tập xác định D=ℝ.

Ta có: y'=4x3−4m+1x.

Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm A.

Khi đó tiếp tuyến d có hệ số góc k=y'1=4−4m+1=−4m.

Do đó: d⊥Δ⇔−4m.14=−1⇔4m=4⇔m=1.

Tập xác định:

Gọi Mx0;yo là tọa độ tiếp điểm. Ta có y'=x2−4x+5x−22.

Hệ số góc của tiếp tuyến là k=2 nên

+ Với  ta có , suy ra phương trình tiếp tuyến

y'x0=2⇔x02−4x0+5x0−22=2⇔x02−4x0+3=0⇔x0=1x0=3  .

+ Với x0=1  ta có y0=1, suy ra phương trình tiếp tuyến

y=2x−1+1⇔y=2x−1..

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=2x−1,  y=2x−5.

Tập xác  định: D=ℝ\1.

Ta có: y'=−4x−12

Gọi  Mx0;y0 là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) là

 Δ:y=−4x0−12x−x0+2x0+2x0−1

Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng ±1.

−4x0−12=±1⇔x0=−1,  x0=3.

+ Với x0=−1 ta cóy0=0⇒Δ:y=−x−1.

+ Với x0=3 ta có y0=4⇒Δ:y=−x+7.

Tập xác định D=ℝ.

Ta có: y'=−12x2+3 .

Đường thẳng d đi qua A−1;2 với hệ số góc k có phương trình d:y=kx+1+2.

Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình  −4x3+3x+1=kx+1+21k=−12x2+32 có nghiệm.

Thay k từ (2) vào (1) ta được:

−4x3+3x+1=−12x2+3x+1+2

⇔8x3+12x2−4=0

⇔x−12x+12=0

⇔x=−1x=12

+ Với x=−1 ta có k=−9.

Phương trình tiếp tuyến là y=−9x+7.

+ Với x=12 ta có k=0.

Phương trình tiếp tuyến là . y=2

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y=−9x−7; y=2

Đáp án B

Tập xác định D=ℝ\−1. Ta có y'=−1x+12 .

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=y'0.x+y0⇔y=−x+2

Đáp án D

Gọi Mx0;y0 là tọa độ tiếp điểm. Ta có x0=2⇒y0=0

y=x+12x−2=x3−3x+2⇒y'=3x2−3⇒y'2=9.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=9x−2+0⇔y=9x−18

Đáp án B

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: 2x3+3x2=5⇔x=1

Ta có: y'=6x2+6x⇒y'1=12.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=12x−1+5=12x−7⇔y=12x−7

Đáp án A

Ta có: y'=−3x2+6x+2m−1=−3x2−2x+1+2m+2=−3x−12+2m+2≤2m+2,  ∀x∈ℝ

Do đó giá trị lớn nhất của y' là 2m+2, đạt tại x0=1

Với x0=1 thì y0=4m−2

Phương trình tiếp tuyến của Cm tại M1;4m−2 là

d:y−4m−2=2m+2x−1⇔y=2m+2x+2m−4

Theo đề bài ta có Δ:x−2y−4=0 hay Δ:y=12x−2

d⊥Δ⇔2m+2=−2⇔m=−2

.

Đáp án B

A0;−1∈C:y=ax+bx−1⇒b−1=−1⇔b=1 . Ta có y'=−a−bx−12

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A là k=y'0=−a−b⇔−3=−a−b⇔a=3−b=2

Đáp án A

y'=−32x2+18x⇒y'2=30;  y2=32

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x=2 có phương trình y=30x−2+32 hay y=30x−28.

Đáp án B

Ta có: y'=3x2+6mx+m+1

Với  x0=−1 thì y0=2m−1 , gọi B−1;2m−1⇒AB→=−2;2m−4

Tiếp tuyến tại B đi qua A nên hệ số góc của tiếp tuyến là k=−m+2

Mặt khác hệ số góc của tiếp tuyến là k=y'x0⇔3x02+6m0x0+m0+1=−m0+2

.

Đáp án A

Ta có: y'=4x3−4x.

Với x0=−2 thì y0=8,  y'−2=−24.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M−2;8 là y=−24x+2+8⇔y=−24x−40.

Đáp án C

Ta có y'=3x+12 .

Vì tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng y=3x−1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k=3.

Suy ra hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: 3x+12=3⇔x=0x=−2

Trường hợp 1: x=0, suy ra tung độ của tiếp điểm là y0=−1.

Phương trình của tiếp tuyến là:y+1=3x−0⇔y=3x−1 (không thỏa mãn).

Trường hợp 2: x=−2, suy ra tung độ của tiếp điểm là y0=5

Phương trình của tiếp tuyến là:  y−5=3x+2⇔y=3x+11( thỏa mãn).

Vậy tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến là B−2;5

Đáp án A

Ta có: y'=3x2+6x;  d:x+9y=0 hay y=−19x .

Gọi d' là tiếp tuyến của (C) vuông góc với d và có tiếp điểm Mx0;y0

Do d'⊥d nên d' có hệ số góc k=9. Do đó y'x0=9⇔3x02+6x0=9⇔x0=1⇒y0=9x0=−3⇒y0=5

+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm M11;9 là: y=9x−1+9⇔y=9x.

+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm  M2−3;5 là: y=9x+3+5⇔y=9x+32.

Đáp án A

Đáp án C

Ta có: y'=−4x3−2x

Gọi d là tiếp tuyến của (C) vuông góc với Δ:y=16x−1  và có tiếp điểm là M0x0;y0

Do d⊥Δ  nên d có hệ số góc k=−6

Khi đó k=−6⇔y'x0=−6⇔−4x03−2x0=−6⇔x0=1⇒y0=4

Phương trình tiếp tuyến tại M1;4 là: y=−6x−1+4⇔y=−6x+10

Đáp án A

Đáp án B

y=x3−mx2−2mx+2018⇒y'=3x2−2mx−2mHệ số góc của mỗi tiếp tuyến không âm khi và chỉ khi y'=3x2−2mx−2m≥0⇔a=3>0Δ'y'=m2+6m≤0⇔m∈−6;0

Đáp án D

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ m là y=−2m−12x−m+m+1m−1⇔2x+m−12y−m2−2m+1=0

Do đó dI,d=2.1+m−12.1−m2−2m+122+m−14=4m−14+m−14≤4m−124m−14=2

Dấu bằng xảy ra khi m−14=4⇔m=1±2

Đáp án A

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=m là y=−5m+22x−m+3−mm+2

Để tiếp tuyến đó cách đều 2 điểm A−1;−2,  B1;0 thì có 2 khả năng

+) Tiếp tuyến đó song song với AB ⇒kTT=kAB⇔−5m+22=0−−21−−1 (vô nghiệm).

+) Tiếp tuyến đó đi qua trung điểm của AB ⇒−2+02=−5m+22−1+12−m+3−mm+2⇔m=−1

Vậy tiếp tuyến cần tìm là y=−5x−1

Đáp án C

Ta có: y'=mx2+2m−1x+4−3m

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình y'.−12=−1 có đúng hai nghiệm dương phân biệt hay phương trình mx2+2m−1x+4−3m=2⇔mx2+2m−1x+2−3m=0 có hai nghiệm dương phân biệt. m≠0Δ'=4m2−4m+1>0S=21−mm>0P=2−3mm>0⇔0<m<1212<m<23

Vậy 0;12∪12;23 là những giá trị cần tìm.

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm: −x+12x−1=x+m⇔2x2+2mx−1−m=0. Theo Vi – ét   x1+x2=−mx1x2=−1−m2

y'=−12x−12⇒k1k2=12x1−122x2−12=14x1x2−2x1+x2+12=1−2−2m+2m+12=1

Đáp án C

Đáp án C

Ta có y'=x2.f4x−3'=2x.f4x−3+x2.4.f'4x−3

Vì Δ1,Δ2 vuông góc nhau nên f'1.2f1+4f'1=−1⇔4f'12+2.f1.f'1+1=0

Để tồn tại f'1⇔Δ'=f21−4≥0⇔f1≥2

Đáp án A

Đáp án A y'=3x2−4x+m−1=3x−232+m−73≥m−73⇒y'≥m−73⇒y'=m−73 khi x=23.

Theo bài toán ta có: y'−1=−1⇔m−73−1=−1⇔m=103

Đáp án B

Ta có y'=fxfx2'=fx2.f'x−fx.2x.f'x2f2x2=Tx

Từ giả thiết ta có f'1=−10 và T1=−3, fx>0,∀x∈ℝ

Do đó 10f1=−3f21⇔f1=−103

Đáp án A

Đáp án C

Giả sử Aa;2aa+2. Ta có y'=4x+22

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A: 4a+22x−y−4aa+22+2aa+2=0⇒dA,d=8a+2a+24+16

Do tính đối xứng nên A, B thuộc hai nhánh khác nhau, không mất tính tổng quát giả sử xA=a>−2

Đặt t=a+2⇒t>0 . Khi đó dA,d=8tt4+16

Xét ft=8tt4+16t>0, từ bảng biến thiên ta có maxt>0ft=f2

Vậy khoảng cách từ I đến tiếp tuyến tại A lớn nhất khi a=0  hay A0;0

Do tính đối xứng nên B−4;4.

Vậy AB=42.

Đáp án A

Đặt hx=fx+3gx+3. Giả sử f'1=g'1=h'1=k.

Ta có: h'x=f'xgx+3−g'xfx+3gx+32⇒k=kg1−f1g1+32⇒g1−f1g1+32=1

⇒g21+5g1+f1+9=0. Tồn tại g1⇒Δ=−11−4f1≥0⇒f1≤−114

Đáp án C

Phương trình tiếp tuyến tại điểm x0 là y=y'x0x−x0+yx0=−1x0−12x−x0+1x0−1

Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ là A2x0−1;0,  B0;2x0−1x0−12

Suy ra SOAB=12.2x0−12x0−12=2⇔x0=34⇒34;−4

Đáp án Dd:2x−y−3=0⇔y=2x−3⇒kd=2,y=2m−1x4−m+54⇒y'=42m−1x3Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y=2m−1x4−m+54 tại điểm có hoành độ x=−1 là ktt=y'−1=42m−1−13=−42m−1

Ta có ktt.kd=−1⇔−82m−1=−1⇔m=916

Đáp án D

Đáp án A

Phương trình tiếp tuyến của C1 tại A là y=f'2x−2+f2=3x+4⇒f'2=3f2=10

Phương trình tiếp tuyến của C1 tại B là y=f'2.f'f2x−2+ff2=f'2.f'10x−2+f10=6x+13⇒f'10=2f10=25

Phương trình tiếp tuyến của C3 tại C là y=12.f'10.x−2+f10=24.x−2+25=24x−23.

Đáp án A

Đáp án C

Đáp an B

Gọi Ax1;x13−3x12+1,  Bx2;x23−3x22+1 với x1≠x2

Do tiếp tuyến tại A, B song song với nhau nên chúng có cùng hệ số góc k.

Khi đó phương trình 3x2−6x−k=0 có hai nghiệm phân biệt ⇔Δ'=9+3k>0⇔k>−3*

AB2=x2−x12+x23−x13−3x22−x122=x2−x121+x12+x1x2+x22−3x1−3x22

⇔32=x1+x22−4x1x21+x1+x22−x1x2−3x1+x221

Với x1+x2=2 và x1x2=−k3 nên 1⇔32=4k+33.9+k−629⇔k−9k2+9=0⇒k=9 (thỏa mãn (*))

Khi đó 3x2−6x−9=0⇔x=−1⇒A−1;−3x=3⇒B3;1⇒AB:x−y−2=0

Do đó đường thẳng AB đi qua điểm N4;2.

Đáp án A

Phương trình tiếp tuyến của elip tại điểm x0;y0 là y=y'x0.x−x0+y01

Từ phương trình elip x2a2+y2b2=1 , đạo hàm hai vế ta được 2xa2+2y.y'b2=0⇒y'=−b2xa2y

⇒y'x0=−b2x0a2y0*

Khi đó thế (*) vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến như sau:

y=−b2x0a2y0x−x0+y0⇒a2y02+b2x02−b2x.x0=a2y.y0⇒x.x0a2+y.y0b2=x02a2+y02b2⇒x.x0a2+y.y0b2=1

Do x0;y0 thuộc elip nên x02a2+y02b2=1

Đáp án B

Dễ thấy đồ thị hàm số (P) có hệ số a=1>0 và (P) cắt Ox tại các điểm có hoành độ

x1=m−1<m+2=x2

Do đó yêu cầu đề bài ⇔3≤m−1⇔m≥4 .

Đáp án A

Đáp án D

Ta có M0;1−m là giao điểm của Cm với trục tung y'=3x2−m⇒y'0=−m

Phương trình tiếp tuyến với Cm tại điểm M là y=−mx+1−m

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoành và trục tung, ta có tọa độ A1−mm;0 và B0;1−m.

Nếu m=0 thì tiếp tuyến song song với Ox nên loại khả năng này.

Nếu m≠0 ta có: SOAB=8⇔12OA.OB=8⇔121−mm1−m=8⇔1−m2m=16⇔m=9±45m=−7±43

Vậy có 4 giá trị cần tìm.

Đáp án A

Giả sử tiếp tuyến (d) của (C) tại Mx0;y0∈C cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho

Do  ΔOAB vuông tại O nên tanA=OBOA=14⇒ Hệ số góc của (d) bằng 14 hoặc −14

Hệ số góc của (d) là y'x0=−1x0−12<0⇒−1x0−12=−14⇔x0=−1y0=32x0=3 y0=52

Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: y=−14x+1+32y=−14x−3+52⇔y=−14x+54y=−14x+134