35 câu Dạng 2: Đạo hàm cấp cao
35 câu hỏi
Tìm đạo hàm cấp 3 của hàm số y=cos2x.
Ta có y=cos2x=121+cos2x⇒y'=−sin2x⇒y''=−2cos2x⇒y'''=4sin2x
Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số y=3x−1x+2.
Ta có y'=7x+22⇒y''=−7x+22'x+24=−14x+23
⇒y'''=14x+23'x+26=42x+24⇒y4=−42x+24'x+28=−168x+25.
Tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số y=sin22x.
Ta có y=sin22x=121−cos4x
⇒y'=2sin4x⇒y''=8cos4x⇒y'''=−32sin4x
⇒y4=−128cos4x⇒y5=512sin4x
Tìm đạo hàm cấp của hàm số
y=sinxn∈ℕ*.
Ta có: y'=cosx=sinx+1.π2;
y''=−sinx=sinx+2.π2;
yn=sinx+nπ2,∀n∈ℕ*
Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y=3x+1x−2 .
Ta có: y'=−7x−22,y''=7.2x−23,y'''=−7.2.3x−24 .
Bằng quy nạp ta chứng minh yn=−1n.7.n!x−2n+1 . 2
Với n=1 ta thấy 2 đúng.
Giả sử 2 đúng với n=k, tức là yk=−1k.7.k!x−2k+1 .
Ta có: yk+1=−1k.7.kx−2k+1'=−−1k.7.k!.k+1x−2k+2=−1k+1.7.k+1!x−2k+2.
Do đó 2 đúng với mọi số tự nhiên n.
Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có công thức đạo hàm cấp cao của hàm số
y=3x+1x−2 là yn=−1n.7.n!x−2n+1 .
Cho hàm số y=xsinx
Chứng minh x.y''−2y'−sinx+xy=0.
Ta có
y'=xsinx'⇔y'=x'.sinx+x.sinx'
⇔y'=sinx+xcosx
y''=sinx+xcosx'=sinx'+xcosx'
=cosx+x'.cosx+x.cosx'=2cosx−xsinx.
Ta có x.y''−2y'−sinx+xy=0
⇔x2cosx−xsinx−2sinx+xcosx−sinx+x2sinx=0
⇔2xcosx−x2sinx−2xcosx+x2sinx=0
⇔0=0
(điều phải chứng minh).
Cho hàm số y=2x−x2. Chứng minh y3.y''+1=0.
Ta có: y'=2x−x2'⇔y'=122x−x2.2x−x2'=1−x2x−x2.
y''=1−x'.2x−x2−2x−x2'.1−x2x−x22
=−2x−x2−1−x2x−x2.1−x2x−x22
=−2x−x2−1−x22x−x2.2x−x22=−12x−x23.
Ta có y3.y''+1=0⇔2x−x23.−12x−x23+1=0⇔−1+1=0
(điều phải chứng minh).
Cho hàm số y=sin3x+cos3x1−sinx.cosx . Chứng minh y''+y=0.
Ta có: y=sinx+cosxsin2x+cos2x−sinxcosx1−sinxcosx
=sinxcosx1−sinxcosx1−sinxcosx=sinx+cosx
⇒y'=cosx−sinx⇒y''=−sinx−cosx.
Ta có y''+y=0⇔−sinx−cosx+sinx+cosx=0⇔0=0 (điều phải chứng minh).
Cho hàm số y=2x+4x2+4x+3. Giải phương trình y''=0.
Ta có: y=2x+4x2+4x+3=2x+2x+22−1
⇒y'=2x+2x+22−1'=2x+22−2−2x+2.2x+2x+22−12=−2x+22−2x+22−12
⇒y''=−2x+22−2x+22−12'
=−4x+2x+22−12−−2x+22−2.2x+22−12x+2x+22−14
=4x+2x+22−1−x+22+1+2x+22+2x+22−14
=4x+2x+22−1x+22+3x+22−14
y''=0⇔4x+2x+22−1x+22+3x+22−14=0
x+22−1≠0
y''=0⇔x+2=0⇔x=−2
Đạo hàm cấp hai của hàm số fx=x3−x2−4 tại điểm x=1 là
1.
10
4
16.
Đáp án C
Ta có f'x=3x2−2x.
Suy ra: f''x=6x−2. Suy ra f''1=4.
Đạo hàm cấp hai của hàm số y=3x+1x+2 là
y''=10x+22.
y''=−5x+24.
y''=−5x+23.
y''=−10x+23.
Đáp án D
y=3−5x+2⇒y'=5x+22⇒y''=−10x+23
Cho fx=sin3x. Giá trị của f''−π2 bằng
-9
0.
9.
-3.
Đáp án A
Ta có f'x=3sin3x, suy ra f''x=−9sin3x.
Do đó f''−π2=−9sin−3π2=−9.
Đạo hàm cấp hai của hàm số y=cos2x là
y''=−2cos2x.
y''=−2sin2x.
y''=2cos2x.
y''=2sin2x.
Đáp án B
Ta có y'=f'x=xsinx−3'=sinx+xcosx
Vậy y''=f''x=sinx+xcosx'=2cosx−xsinx.
Cho hàm số y=f(x)=sinx . Khẳng định nào sau đây sai?
y'=sinx+π2.
y''=sinx+π.
y'''=sinx+3π2.
y4=sin2π−x
Đáp án D
Ta có
y'=cosx=sinx+π2⇒y''=sinx+π2+π2=sinx+π⇒y'''=sinx+π+π2=sinx+3π2
⇒y4=sinx+3π2+π2=sinx+2π=sinx.
Ta có sin2π−x=−sinx≠y4.
Đạo hàm cấp hai của hàm số y=sin5xcos2x là
y'=49sin7x+9sin3x.
y'=−49sin7x−9sin3x.
y'=492sin7x+92sin3x.
y'=−492sin7x−92sin3x.
Đáp án D
Ta có: y=sin5xcos2x=12sin7x+sin3x.
Do đó y'=127cos7x+3cos3x ⇒y''=12−49sin7x−9sin3x.
Cho hàm số y=sin2x. Khẳng định nào sau đây đúng?
4y−y''=0.
4y+y''=0
y=y'tan2x.
y2+y'2=4.
Đáp án B
Ta có: y'=2cos2x⇒y''=−4sin2x.
Xét đáp án A, 4y−y''=4sin2x+4sin2x.
Xét đáp án B, 4y+y''=4sin2x−4sin2x=0.
Xét đáp án C, y'tan2x=2cos2x.sin2xcos2x=2sin2x≠y.
Xét đáp án D, y2+y'2=sin22x+4cos22x≠4.
Cho hàm số y=−2x2+3x1−x. Đạo hàm cấp hai của f là
y''=2+11−x2.
y''=21−x3.
y''=−21−x3.
y''=21−x4.
Đáp án By=fx=−2x2+3x1−x=2x−1+11−x⇒y'=f'x=2+11−x2⇒y''=f''=21−x3
Cho hàm sốy=x3−3x2+x+1. Phương trình y"=0 có nghiệm là
x=2.
x=4.
x=1.
x=3.
Đáp án C
Tập xác định: D=ℝ.
Ta có y'=3x2−6x+1⇒y''=6x−6⇒y''=0⇔x=1.
Cho fx=x4−cos2x. Tìm f4x.
f4x=24x−16cos2x.
f4x=16cos2x.
f4x=24x−8sin2x.
f4x=24−16cos2x.
Đáp án D
Ta có: f'x=4x3+2sin2x, suy ra f''x=12x2+4cos2x⇒f'''x=24x−8sin2x.
Do đó: f4x=f'''x'=24−16cos2x.
Cho hàm số y=x2+1 khẳng định nào đúng?
Iy.y'=2x
IIy2.y''=y'
Chỉ I.
Chỉ II.
Cả hai đều đúng
Cả hai đều sai.
Đáp án D
Ta có: y'=xx2+1⇒y''=1x2+1x2+1.
Xét y.y'=x2+1.xx2+1=x, do đó khẳng định (I) sai.
Xét y2.y''=x2+1.1x2+1x2+1=1x2+1≠y', do đó khẳng định (II) sai.
Cho hàm số y=1+3x−x2. Khẳng định nào dưới đây đúng?
y'2+y.y''=−1.
y'2+2y.y''=1
y.y''−y'2=1
y'2+y.y''=1
Đáp án A
Ta có
y=1+3x−x2⇒y2=1+3x−x2⇒2y.y'=3−2x⇒2.y'2+2y.y''=−2⇒y'2+y.y''=−1.
Cho hàm số fx=2x−1.Giá trị của f'''1 bằng
3.
-3.
32.
0.
Đáp án A
Ta có:
fx=2x−1⇒f'x=2x−1'22x−1=12x−1⇒f''x=−2x−1'2x−1=−12x−12x−1=−12x−13.
⇒f'''x=2x−13'2x−13=32x−122x−132x−13=32x−15.
Vậy f'''1=3.
Cho hàm số fx=cos2x. Tính P=f''π.
P=4.
P=0.
P=−4.
P=−1.
Đáp án C
Ta có: f'x=−2sin2x⇒f''x=−4cos2x.
Do đó: f''π=−4.
Xét hàm số y=cos2x−π3. Nghiệm x∈0;π2của phương trình f4x=−8 là
x=π2.
x=0,x=π6.
x=0,x=π3.
x=0,x=π2.
Đáp án A
Ta có: f'x=−2sin2x−π3
⇒f''x=−4cos2x−π3
⇒f'''x=8sin2x−π3
⇒f4x=16cos2x−π3.
Xét phương trình
f4x=−8⇔cos2x−π3=−12⇔2x−π3=2π3+k2π2x−π3=−2π3+k2π⇔x=π2+kπx=−π6+kπ.
Mà x∈0;π2 nên chỉ có giá trị x=π2 thỏa mãn.
Cho hàm số y=1x. Khẳng định nào dưới đây đúng?
y''y3+2=0.
y''y3=2.
y''y+2y'2=0.
y''y=2y'2
Đáp án D
Ta có y'=−1x2⇒y''=2x3.
Xét đáp án A, y''y3+2=0⇔2x3.1x3+2=0⇔2x6+2=0 (vô lí).
Xét đáp án B, y''y+2y'2=0⇔2x3.1x+2−1x22=0⇔4x4=0 (vô lí).
Xét đáp án C, y''y3=2⇔2x3.1x3=2⇔2x6=2 (vô lí).
Xét đáp án D, y''y=2y'2⇔2x3.1x=2−1x22⇔2x4=2x4 (đúng).
Cho hàm số y=sin22x. Giá trị của biểu thức y3+y''+16y'+16y−8 là
-8.
0.
8.
16sin4x.
Đáp án B
Ta có: y=sin22x⇒y=1−cos4x2⇒y'=2sin4x⇒y''=8cos4x⇒y3=−32sin4x.
Khi đó y3+y''+16y'+16y−8=−32sin4x+8cos4x+32sin4x+81−cos4x−8=0.
Đạo hàm cấp n của hàm số y=cos2x là
yn=−1ncos2x+nπ2.
yn=2ncos2x+π2.
yn=2n+1cos2x+nπ2.
yn=2ncos2x+nπ2.
Đáp án D
Ta có y'=2cos2x+π2;y''=22cos2x+2π2;y'''=23cos2x+3π2.
Bằng quy nạp ta chứng minh được yn=2ncos2x+nπ2.
Đạo hàm cấp n của hàm số y=2x+1 là
yn=−1n+1.3.5...3n−12x+12n−1.
yn=−1n−1.3.5...2n−12x+12n−1.
yn=−1n+1.3.5...2n−12x+12n+1.
yn=−1n+1.3.5...2n−32x+12n−1.
Đáp án D
Ta có y'=12x+1,y''=−12x+13,y'''=32x+15.
Bằng quy nạp ta chứng minh được yn=−1n+1.3.5...2n−32x+12n−1.
Đạo hàm cấp n của hàm số y=2x+1x2−3x+2là
yn=5.−1n.n!x−2n+1+3.−1n.n!x−1n+1.
yn=5.−1n.n!x+2n+1−3.−1n.n!x−1n+1.
yn=5.−1n.n!x−2n+1:3.−1n.n!x−1n+1.
yn=5.−1n.n!x−2n+1−3.−1n.n!x−1n+1.
Đáp án D
Ta có: y=5x−2−3x−1.
Bằng quy nạp ta chứng minh được yn=5.−1n.n!x−2n+1−3.−1n.n!x−1n+1.
Đạo hàm cấp n của hàm số y=xx2+5x+6 là
yn=−1n.3.n!x+3n+1+−1n.2.n!x+2n+1.
yn=−1n.3.n!x+3n−−1n.2.n!x+2n.
yn=−1n.3.n!x+3n−1−−1n.2.n!x+2n−1.
yn=−1n.3.n!x+3n+1−−1n.2.n!x+2n+1.
Đáp án D
Ta có: x=3x+2−2x+3;x2+5x+6=x+2x+3.
Suy ra y=3x+3−2x+2.
Mà 1x+2n=−1n.1n.n!x+2n+1=−1n.n!x+2n+1,1x+3n=−1n.n!x+3n+1
nên ta có yn=−1n.3.n!x+3n+1−−1n.2.n!x+2n+1.
Đạo hàm cấp 2021 của hàm số f(x)=cos(x+a) là
f2021x=−cosx+a+π2.
f2021x=−sinx+a+π2.
f2021x=cosx+a+π2.
f2021x=sinx+a+π2.
Đáp án C
Ta có f'x=−sinx+a=cosx+a+π2;
f''x=−sinx+a+π2=cosx+a+2π2;
…
f2021x=cosx+a+2021π2=cosx+a+π2.
Đạo hàm cấp n của hàm số y=sin2x là
yn=2n+1sin2x+nπ2.
yn=2n−1sin2x+nπ2.
yn=2nsin2x+π2.
yn=2nsin2x+nπ2.
Đáp án D
Ta có: y'=2sin2x+π2,y''=22sin2x+2π2,y'''=23sin2x+3π2;...
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được yn=2nsin2x+nπ2.
Cho hàm số y=sin3x.cosx-sin2x . Giá trị của y10π3 gần nhất với số nào dưới đây?
454492.
2454493.
454491.
454490.
Đáp án D
Ta có y=sin3x.cosx−sin2x=12sin4x+sin2x−sin2x=12sin4x−sin2x.
Mặt khác theo quy nạp ta chứng minh được sinaxn=−1n−1ansinnπ2−ax.
Do đó y10x=12−19410.sin5π−4x−−19.210.sin5π−2x=12−410.sin4x+210sin2x
⇒y10π3≈454490,13
Cho hàm số y=sinx2. Đạo hàm yn là
12nsinx2+nπ2.
sinx2+nπ2.
2nsinx2+nπ2.
12nsinx2+nπ.
Đáp án A
Cho hàm số fx=3x2−2x−19 . Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm x=0.
f60=−60480
f60=−34560
f60=60480
f60=34560
Đáp án A
Giả sử fx=a0+a1x+a2x2+...+a18x18.
Khi đó f6x=6!.a6+b7x+b8x2+...+b18x12⇒f60=720a6.
Ta có 3x2−2x−19=−1+2x−3x29=−∑k=09C9k2x−3x2k
=−∑k=09C9k∑i=0kCki2xk−i−3x2i=−∑k=09∑i=0kC9kCki2k−i−3ixk+i
Số hạng chứa x6 ứng với k,i thỏa mãn 0≤i≤k≤9k+i=6⇒k;i∈6;0,5;1,4;2,3;3
⇒a6=−C96C6026−30+C95C5124−3+C94C4222−32+C93C3320−33=−84⇒f60=720.−64=−60480.
