100 câu trắc nghiệm Số phức nâng cao (P4)

Chọn D.

Gọi z = x + yi thì $\overline{z}=x-yi$

Phương trình đã cho trở thành:

x² - y² + 2xyi + 2( x - yi) = 0

Suy ra: x² - y² + 2x + ( 2xy - 2y)i = 0

Với y = 0  thay vào phương trình (*) ta được: x² + 2x = 0 

Với x = 1 thay vào phương trình (*) ta được:  y² = 3 

Vậy  Suy ra: |z₁ + z₂| = 2.

Chọn D.

Đặt z = x + yi.  Phương trình z² - |z|² + 1 = 0 trở thành:

x² - y² + 2xyi - ( x² + y²) + 1 = 0

Suy ra: -2y² + 1+ 2xyi = 0

Vậy số phức z cần tìm là:  .Suy ra 

Chọn A.

Đặt z = x + yi . Phương trình  trở thành

( x - yi)² = i(x + yi)  hay x² - y² - 2xyi = -y + xi

Vậy số phức z cần tìm là: z = 0 ; z = i;   

Suy ra | z₁| + | z₂| + | z₃| + | z₄| = 3.

Chọn  C.

Ta có: 

Chọn  A.

Ta có:

, mặt khác ta có:

|z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|.

Do đó:

Đặt  lúc đó ta được: a³ - 6a – 9 ≤ 0 hay ( a - 3) ( a² + 3a + 3) ≤ 0

Suy ra: a ≤ 3.

Chọn  D.

Gọi z₁;  z₂ là hai nghiệm của phương trình đã cho

Theo Viet, ta có: 

Theo bài cho, tổng bình phương hai nghiệm bằng 5. Ta có:

Suy ra: m² = 5 - 12i

Do đó: m = ± ( 3 - 2i)

Vậy a = 3 ; b = -2 và a + 2b = -1

Chọn  B.

Ta có : 11z¹⁰ + 10iz⁹ + 10iz - 11 = 0.

Hay z⁹( 11z + 10i) = 11 - 10iz

Hay: 

Đặt z = x + yi.  Từ (*) suy ra:

Xét các  trường hợp:

+ Nếu |z| > 1 thì x² + y²> 1 nên: g( x; y) =11²( x² + y²) + 10² + 220y = 10²( x² + y²) + 21( x² + y²) + 10² + 220y > 10²( x² + y²) + 11² + 220y = f( x; y)

Do đó |z⁹ | < 1 ⇒ z < 1 (mâu thuẫn).

+ Nếu |z| < 1 thì  x² + y²  < 1 nên:

G( x; y) = 11²( x² + y²) + 10²+220y = 10²( x²+ y²) + 21( x² + y²) + 10²+ 220y <  10²( x² + y²) + 11²+ 220y = f( x; y)

Suy ra |z⁹| > 1 ⇒ |z| > 1 (mâu thuẫn).

+ Nếu |z| = 1 thì g( x; y) = f( x; y) (thỏa mãn)

Vậy |z| = 1.

Chọn A.

Gọi z₁; z₂ là hai nghiệm của phương trình.

Theo Viet, ta có: 

Ta có: m² - 2i = - 4i khi và chỉ khi m² = -2i hay m = ±( 1 - i)

Chọn C.

$\iff z=-1\pm \sqrt{7}i\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{z}_1=-1+\sqrt{7}i\\ z_2=-1-\sqrt{7}i\end{array}\right.$

= $\left[2\left(-1+\sqrt{7}i\right)-1-\sqrt{7}i\right]\left(-1-\sqrt{7}i\right)$

$=\left(-3+\sqrt{7}i\right)\left(-1-\sqrt{7}i\right)=10+2\sqrt{7}i$

Chọn  C.

Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của phương trình là:

z₁= 1; z₂= - 2; z₃= 1+ i và z₄ = 1 - i 

Thay vào biểu thức 

Chọn C.

PT

S= i²⁰¹⁴+ ( -i) ²⁰¹⁴+ ( 1-i) ²⁰¹⁴+ (1+ i) ²⁰¹⁴

= ( i²) ¹⁰⁰⁷+ [(-i)²]¹⁰⁰⁷+ (-2i) ¹⁰⁰⁷+ (2i) ¹⁰⁰⁷= -1-1+( -2) ¹⁰⁰⁷. i¹⁰⁰⁷+ 2¹⁰⁰⁷. i¹⁰⁰⁷= - 2

Ta có: 

Chọn C.

Ta có: 

$=2\left(2{\cos }^2\frac{5\pi }{12}+2i\sin \frac{5\pi }{12}\cos \frac{5\pi }{12}\right)=4\cos \frac{5\pi }{12}\left(\cos \frac{5\pi }{12}+i\sin \frac{5\pi }{12}\right)$

Chọn D.

Chọn D.

Chọn B.

Ta có: ; 

Do đó 

Số đó là số thực khi và chỉ khi 

Mà k nguyên nên  số nguyên dương bé nhất cần tìm là n = 12.

Chọn C.

Ta có:

C = ${\left(1+i\sqrt{3}\right)}^6{\left(1-i\right)}^5+{\left(1+i\right)}^5{\left(1-i\sqrt{3}\right)}^6$

Chọn A.

$=\frac{2^5{\left(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)}^5}{2^2{\left(\cos \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)+i\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)\right)}^4}+\frac{2^5{\left(\cos {\displaystyle \left(-\frac{\pi }{3}\right)}+i\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)\right)}^5}{2^2{\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)}^4}$

$$\begin{gathered} =8\frac{\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{3}}}{\cos \left(-\pi \right)+i\sin \left(-\pi \right)}+8\frac{\cos {\displaystyle \left(-\frac{5\pi }{3}\right)}+i\sin {\displaystyle \left(-\frac{5\pi }{3}\right)}}{\cos \pi +i\sin \pi } \\ = \frac{8\left({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{i\sqrt{3}}{2}}\right)}{-1}+\frac{8\left({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{i\sqrt{3}}{2}}\right)}{-1}=-8 \end{gathered}$$

Chọn B.

Chọn  A.

Ta có:

Số phức trên có modul là 1.

Chọn C.

Ta có

Vậy modul của số phức trên là 1.

Chọn C.

Vì Δ = -3 nên phương trình có hai nghiệm phức:  (do z₁ có phần ảo dương)

Ta có: 

Do đó: 

Vậy phần thực bằng 1, phần ảo bằng 0.

Chọn D.

Ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình:

Do đó: 

Suy ra: 

Vậy số phức w = (1 + i )z⁵ có phần thực là  và phần ảo là 

Tổng của phần thực và phần ảo là 32.

Chọn C.

Ta có 

Áp dụng công thức Moa-vrơ:

Phần thực của w là -1, phần ảo là 0.

Chọn B.

Ta có z = 0; z = 2 không thỏa mãn phương trình nên 

 nên đặt 

Nên 

Vậy z luôn có phần thực là 1.

Chọn B.

Từ giả thiết suy ra z₁; z₂ không phải là số thực.

Do đó Δ’ < 0, hay  4( a + 1)² - 8(4a + 1) < 0

Hay a² - 6a -1 < 0    (*)

Suy ra , 

Ta có z₁/ z₂ là số ảo khi và chỉ khi  là số ảo

Tương đương: (a + 1)² - (-(a² - 6a - 1)) = 0 hay a² - 2a = 0

Vậy a = 0 hoặc a = 2.

Đối chiếu với điều kiện (*) ta có giá trị của a là a = 0 hoặc a = 2.

Vậy tổng các giá trị của a là: 0 + 2 = 2