100 câu trắc nghiệm Số phức nâng cao (P3)

Chọn D.

Gọi M(x; y)  là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, x, y ∈ R

Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2

Gọi B là điểm biểu diễn số phức -2

Ta có: |z – 2| + |z + 2| = 10 ⇔ MB + MA = 10.

Ta có AB = 4.

Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip với 2 tiêu điểm là A(2; 0), B( -2; 0)  tiêu cự  AB = 4 = 2c, độ dài trục lớn là 10 = 2a , độ dài trục bé là 

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z – 2| + |z + 2| = 10 là elip có phương trình 

Chọn A.

Gọi M(x; y) , F₁= ( -2; 0) và F₂( 2; 0).

Ta có |z + 2| + |z – 2| = 8 

$\iff \sqrt{{\left(x+2\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-2\right)}^2+y^2}=8$

Hay MF₁+ MF₂ = 8.

Do đó điểm M(x; y)  nằm trên elip (E ) có 2a = 8 nên a = 4

ta có F₁F₂ = 2c nên 4 = 2c  hay c = 2

Ta có b² = a² - c² = 16 - 4 = 12

Vậy tập hợp các điểm M là elip 

Chọn B.

Điều kiện: z $\ne$ 3i

Đặt . Phương trình đã cho trở thành: t² - 3t – 4 = 0

Suy ra: t = 4 hoặc t = -1

Với t = 4 thì 

Hay iz + 3 = 4( z – 3i)

$$\begin{gathered} \iff \left(-4+i\right)z=-12i-3 \\ \iff z= \frac{-12i-3}{-4+i}=3i \end{gathered}$$

Không thỏa mãn.

Với t = -1 thì 

Suy ra: iz + 3 =  -1 ( z - 3i)

( 1 + i) z = -3 + 3i hay z = 3i (không thỏa mãn)

Vậy không có z thỏa mãn.

Chọn  D.

Đặt t = z + 3 - i. Phương trình đã cho trở thành: t² - 6t + 13 = 0

Suy ra :  t = 3 + 2i hoặc t = 3 - 2i

Với t = 3+ 2i thì z + 3 – i = 3 + 2i hay z = 3i

Với t = 3- 2i thì z + 3 – i = 3 -2i hay z = - i

Chọn C.

Giả sử z = a+ bi thì  khi và chỉ khi a = b - 4  (1)

Với a ≠ 0  hoặc b ≠ 1, ta có:

Vì  là số thuần ảo nên a² - ( b - 1) ² = 0 khi và chỉ khi a = b - 1 hoặc a = 1 - b

Kết hợp (1)  ta có a = -3/2 và b = 5/2.

Nên số phức đó là

Vậy $\frac{1}{z}=-\frac{3}{17}-\frac{5}{17}i$.

Chọn D.

+ Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi 

Từ giả thiết ta có:

x² + y² + x + yi + x - yi = 0

Hay x² + y² + 2x = 0

$$\begin{gathered} \iff \left(x^2+2x+1\right)+y^2=1 \\ \iff {\left(x+1\right)}^2+y^2=1 \end{gathered}$$

⇒ Tập  hợp các số phức z thỏa mãn điều kiện đầu bài là đương tròn tâm I (-1; 0) và bán kính R = 1.

Nên diện tích cần tìm là S = πR² = π.

Chọn B.

Phương trình đã cho tương đương  với  -3z² + 2iz = 0 ( 1) hoặc 5z² - 6iz - 2 = 0 ( 2)

Giải (2): ta có 

Suy ra 

Do đó: 

Chọn D.

Giả sử z = x + yi (x, y $\in$R); từ giả thiết :

Nên ( x + yi) ³+ 12i = x - yi

Hay x³ - 3xy²+ ( 3x²y - y³ +12) i = x - yi

Ta có hệ phương trình là  x³ - 3xy² = x   (1)  và 3x²y - y³ + 12 = - y  ( 2)

Do x > 0 nên từ (1) x² = 3y²+ 1. Thế vào (2) ta được:

3( 3y² + 1) y - y³ + 12 = -y

Hay 2y³+ y + 3 = 0    (3)

Giải phương trình (3) ta được y = -1; x² = 4. Do x > 0 nên x = 2.

Vậy z = 2 - i và 

Chọn C.

Đặt t = z² + z; Phương trình đã cho trở thành

Với 

Với 

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Chọn D.

Ta có: ( z² + 3z + 6) ² + 2z( z² + 3z + 6) - 3z² = 0

Hay ( z² + 3z + 6) ² + 2z( z² + 3z + 6) + z² – 4z²  = 0

$\iff$[(z² + 3z + 6) + z]² - ( 2z)² = 0

$\iff$[z² + 4z + 6 ]² - ( 2z)² = 0

Suy ra: (z² + 4z + 6 - 2z) (z² + 4z + 6 + 2z) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là: 

Chọn D.

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

z( z + 2) ( z - 1) ( z + 3) = 10

Hay ( z² + 2z) ( z² + 2z - 3) = 10

Đặt t = z² + 2z. Khi đó phương trình trở thành: t² - 3t – 10 = 0.

Vậy phương trình có các nghiệm: 

Tổng tất cả  các phần thực của các nghiệm phương trình đã cho là:

-1+ ( -1) + (-1) + ( -1) = -4.

Chọn B.

Ta có A(1 ;2) ; B(-2 ; 5),C(2 ;4).

Gọi D(x ; y).

Ta có 

Để ABCD là hình bình hành thì 

Vậy z = 5 + i.

Chọn B.

Vì  z₁+ z₂= 0  nên z₁ ; z₂ là hai số phức đối nhau, do đó hai điểm A: B đối xứng qua gốc O ( tức O là trung điểm của đoạn thẳng AB).

Lại có | z₁| = | z₂| = | z₃|

Vậy tam giác ABC có độ dài đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền nên vuông tại C.

Chọn D.

Giả sử z = x + yi  có điểm biểu diễn là M(x; y).

Số phức z - 1 có điểm biểu diễn A(x - 1; y) và z - i có điểm biểu diễn là B(x; y - 1).

Ta có

Mà 2OA + 3OB = 2OA + 2OB + OB ≥ 2 AB + OB    (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2AB + OB ≤ 2AB khi và chỉ khi B và O trùng nhau

Khi đó: x = 0 và y = 1.

Khi đó z = i ⇒ |z| = 1.

Chọn B.

Ta có

Suy ra: 

Chọn B.

Đặt z = a + bi 

Theo giả thiết  ⇔ 2|a + (b – 1)i| = |2(b + 1)i|

Hay a² + ( b - 1) ² = ( b + 1)²

Suy ra: a² = 4b

Quỹ tích các số phức z là một đường Parabol.

Chọn B.

Gọi M(x; y)  là điểm biểu diễn số phức z.

Ta có: 

 Diện tích cần tìm: $S={\int }_{-3}^{-1}\left|x^2+4x+3\right|dx=\frac{4}{3}$

Chọn A.

Gọi số phức z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x; y)  trên mặt phẳng tọa độ:

Theo đề bài ta có:

⇔ |3(x + yi) + 3i| = |2(x – yi) – (x + yi) + 3i|

⇔ |3x + (3y + 3)i| = |x + (3 – 3y)i|

Hay 9x² + ( 3y + 3) ² = x² + ( 3 - 3y) ²

Suy ra: 8x² + 36y = 0 hay y = -2/9 x²

Vậy tập hợp các điểm M(x; y)  biểu diễn số phức z theo yêu cầu của đề bài là parabol 

Chọn D.

Gọi M(x; y)  là điểm biểu diễn số phức z = x + yi 

Ta có: 

Chọn C.

Đặt z = x + yi

Ta có: 

Mặt khác: z² = ( x + yi) ² = x² - y² + 2xyi  là số thuần ảo nên x² - y² = 0

Ta có hệ: 

Vậy các số phức cần tìm là: z = 1+ i; z = 1 - i; z = -1 + i và z = -1 - i.

Chọn A.

Gọi số phức cần tìm là z = x + yi.

Ta có:

 hay x² + y² = 25     (*)

Mặt khác: Số phức có phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo nên x = 2y

thay vào phương trình (*) ta được: 5y² = 25 hay  

Vậy số phức cần tìm là: 

Do đó tổng các phần ảo là: $\sqrt{5}+\left(-\sqrt{5}\right)=0$

Chọn B.

Gọi số phức cần tìm là z = a + bi.

Ta có ( 1 - 3i) z = ( 1 - 3i) ( a + bi)

= a + 3b - 3ai + bi = a + 3b + ( b - 3a) i

+ Do ( 1 - 3i) z là số thực nên b - 3a = 0  hay b = 3a

+ ta có  ⇔|a – 2 + (-b + 5)i| = 1

Hay ( a - 2) ² + ( 5 - 3a) ² = 1

(thỏa mãn)

Vậy có hai số phức z thỏa mãn là z = 2 + 6i và $z=\frac{7}{5}+\frac{21}{5}i$

Chọn C.

Đặt  và  khi đó ta có:

Số phức này là số ảo, do đó ta có:

Thay vào (*) ta có z = -1 và z = 1+ 2i.

Chọn A.

Gọi số phức  z = a+ bi.

Từ giả thiết suy ra:

2( a - bi + 1) + a + bi - 1= ( 1- i) ( a² + b²)

Tương đương: ( 3a + 1) – bi = a² + b² - i( a² + b²)

Có hai số phức cần tìm z₁= i; 

Suy ra: 

Chọn A.

Gọi z = a+ bi

Ta được:  ( a+ bi+ 1) ²+|a + bi – 1|² + 10i = a - bi + 3

Tương đương: ( 2a²- a - 1) + ( 2ab + 3b + 10) i = 0

Vậy z = 1 - 2i và z = $-\frac{1}{2}$ - 5i.

Suy ra