100 câu trắc nghiệm Số phức nâng cao (P2)

Chọn D.

Ta có 

+ Giá trị lớn nhất của |z| là  đạt được tại

+ Giá trị nhỏ nhất của |z| là , đạt được tại

Vậy tổng phần ảo là: 

Chọn B.

Phương trình đã cho tương đương với:

( z – 2i) ( z – 1 – i) = 0

Suy ra: z = 2i hoặc z = 1 + i

Do | z₁| > | z₂| nên ta có z₁ = 2i và z₂ = 1 + i

Ta có 

$={\left|\frac{1}{-2i}\right|}^2+{\left|\frac{1}{-i}\right|}^2={\left|\frac{i}{2}\right|}^2+{\left|i\right|}^2=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$= 1,5

Chọn C.

Phương trình đã cho tương đương với:

( z - 2) ² = -3 hay 

Từ đó 

Do Q là biểu thức đối xứng với z₁; z₂ nên không mất tính tổng quát, giả sử 

Lúc đó: 

Chọn A.

Ta có 

Giải bất phương trình trên với ẩn |z| ta được:

Vậy 

Chọn B.

Ta có

Do đó  và 

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là 

Chọn C.

Gọi z = x + yi  và M (x; y)  là điểm biểu diễn số phức z.

Ta có : |z – 1 – 2i| = 2 hay ( x - 1) ² + (y - 2)² = 4

Đường tròn (C): ( x - 1)² + (y - 2)² = 4 có tâm I(1; 2). Đường thẳng OI có phương trình y = 2x

Số phức z thỏa mãn điều kiện và có môdun nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm biểu diễn số phức đó thuộc đường tròn (C) và gần gốc tọa độ O nhất, điểm đó chỉ là một trong hai giao điểm của đường thẳng OI với (C), khi đó tọa độ của nó thỏa mãn hệ

 hoặc 

Chọn  nên số phức 

Chọn B.

Giả sử z = x + yi. Từ giả thiết:

Suy ra: ( x + 2) ²+ ( y - 1)² = 2[(x + 1) ² + ( y + 1) ²]

Hay x² + (y + 3)² = 10

Tập hợp điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(0; -3)  bán kính 

Gọi M là điểm biểu diễn của z, ta có:

IM-IO ≤ OM ≤ IM+ IO hay 

Chọn B.

Giả sử z = x + yi.

Từ giả thiết: = ( x + 3 + ( y - 1) i) ( x + 1 - ( y - 3) i)

= x² + y² + 4x - 4y + 6 + 2( x – y + 4) i

Để số  trên là 1 số thực khi và chỉ khi : x – y + 4 = 0

Tập hợp biểu diễn của z là đường thẳng d: x – y + 4 = 0.

Gọi M là điểm biểu diễn của z.

Tìm được M ( -2; 2) nên z = -2+ 2i . Suy ra: 

Lại có: $2\sqrt{2}\approx 2,8$

Chọn D.

Gọi M( x; y)  là điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng Oxy.

Khi đó 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovsky ta có:

Vậy Min|z – 2 – 4i| = 1

Chọn B.

Ta có

Từ (1) và (2) suy ra 

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky  ta có:

. Vậy 

Lại có: $\sqrt{\frac{155}{14}}\approx 3$

Chọn B.

+ Ta có 

Do đó: 

+ để z là số thuần ảo khi và chỉ khi m = 2k + 1

+  Mà 0 ≤ m ≤ 50 nên   0 ≤ 2k + 1 ≤ 50

Suy ra: -1/2 ≤ k ≤ 24,5

Kết hợp với điều kiện k nguyên nên k ∈ {0;1;2;3...24}

Với 25 giá trị của k cho ta tương ứng 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.

Chọn  A.

+ Ta có: 

+ Khi đó: L = 1- z+ z²- z³+ ...+ z²⁰¹⁶- z²⁰¹⁷

Chọn C.

Ta có: z = x+ yi nên z² = x² - y² + 2xyi

Khi đó : 

Suy ra z₁ là số thuần ảo; z₂ là số thuần thực.

Chọn  B.

Chọn  C.

Ta có:

Chọn C.

Gọi z = x+ yi thì M (x; y)  là điểm biểu diễn z

Ta có |z +1 +i | =|$\overline{z}$ - 2i |

Nên ( x + 1) ² + (y + 1) ² = x² + (y + 2) ² hay ∆: x – y – 1 = 0.

Do đó điểm M  di chuyển trên ∆. Do đó; để modul của số phức z min khi M là hình chiếu của O trên ∆

Vậy 

Chọn  A.

+ Ta có:

${\left(1-i\right)}^{2016}=C_{2016}^0-C_{2016}^{1}i+C_{2016}^2{i}^2-C_{2016}^3{i}^3+...-C_{2016}^{2015}{i}^{2015}+C_{2016}^{2016}{i}^{2016}$

+ Mặt khác: 

Chọn C.

Ta có |z|² = |(z – 1 – 2i) + (1 + 2i)|² = |z – 1- 2i|² + |1 + 2i|² + 2(z – 1 – 2i)(1 + 2i)     (1)

|z – 3 – 6i|² = |(z – 1 – 2i) – 2(1 + 2i)|² = |z – 1 – 2i|² + 4|1 + 2i|² - 4(z – 1- 2i)(1 + 2i)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2|z|² + |z – 3- 6i|² = 3|z – 1- 2i|² + 6|1 + 2i|² = 12 + 30 = 42.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovsky ta có:

Vậy 

Có $3\sqrt{7}\approx 8.$

Chọn A.

Gọi M( x; y)  là điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng Oxy.

Ta có: $\sqrt{5}=$ | z -3 - 4i| = |x + yi - 3 - 4i| = $\sqrt{{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2}$

Suy ra ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=5$

Biểu diễn hình học của P là đường thẳng và P = 4x + 2y + 3.

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có:

P = 4x + 2y + 3 = 4(x – 3) + 2(y – 4) + 23

Vậy MaxP = 33 khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}4x+2y+3=33\\ {\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=5\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=5\end{array}\right.\right.$

 Do đó: $\left|z\right|=5\sqrt{2}$

Chọn C.

+ Ta có

Do đó 

Theo giả thiết ta có ( 8 + 16i) ² + 8b( 8 + 16i) + 64c = 0

Tương đương: ( 1 + 2i) ² + b( 1 + 2i) + c = 0

Hay ( 2b + 4)i + b + c – 3 = 0

Ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}2b+4=0\\ b+c-3=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}b=-2\\ c=5\end{array}\right.\right.$

Khi đó: 

Chọn  D.

Giả sử z₁;  z₂  là nghiệm của phương trình đã cho với |$z_1$| = 1.

Theo định lý Viet ta có  .Suy ra 

Bởi vì , suy ra 

Chọn D.

Gọi M(a ; b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi

Ta có: 

Để  là số thuần ảo thì 

Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R = 1 bỏ đi một điểm (0; 1).

Chọn C.

Giả sử w = x + yi , khi đó ( 1) tương đương ( x - 7) ²+ ( y + 9) ² ≤ 16

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I(7; -9), bán kính r = 4

Vậy diện tích cần tìm là S = π.4² = 16π.

Chọn C.

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi

Ta có: z² = ( x² -  y²)  + 2xyi là số thuần ảo khi và chỉ khi x² - y² = 0

Hay y = ± x.

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đề bài nằm trên 2 đường thẳng trên và 2 đường thẳng này vuông góc với nhau (vì tích hai hệ số góc bằng -1).

Chọn C.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M(x; y) biểu diễn số phức z = x + yi.

Ta có |z + 2| + |z – 2| = 5 

Đặt F₁( -2; 0) ; và F₂( 2; 0)  khi đó ( 1)  trở thành MF₁ + MF₂ = 5

suy ra M nằm trên Elip có hai tiêu điểm là F₁; F₂ và bán kính trục lớn là 5/2.

Phương trình của elip đó là .