Đáp án đúng là: D

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Vì ABCD là hình vuông nên AO ^ BD.

Vì AA' ^ (ABCD) ⇒ AA' ^ BD mà AO ^ BD nên BD ^ (AOA') ⇒ BD ^ A'O.

Khi đó: $\left\{\begin{array}{l}\left(A^{\text{'}}BD\right)\cap \left(ABD\right)=BD\\ A^{\text{'}}O\perp BD\\ AO\perp BD\end{array}\right.\Rightarrow \left[A^{\text{'}},BD,A\right]=\widehat{A^{\text{'}}OA}=30°$ .

Vì ABCD là hình vuông nên AC = BD mà O là tâm hình vuông nên $AO=\frac{AC}{2}=a$ .

Đáp án đúng là: B

Mệnh đề (1) sai. Các cạnh bên không vuông góc với mặt đáy.

Đáp án đúng là: A

Vì BB' ^ (ABCD) ⇒ BB' ^ AC (1).

Do ABCD là hình vuông nên BD ^ AC (2).

Từ (1) và (2), suy ra AC ^ (BB'D) mà AC Ì (AB'C) nên (AB'C) ^ (BB'D).

Đáp án đúng là: C

Gọi M là trung điểm BC, khi đó $MA=MC\text{'}=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$  nên M thuộc mặt phẳng trung trực của AC'. Tương tự ta cũng có các điểm N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm DC, DD', D'A', A'B', B'B và cũng thuộc mặt phẳng trung trực.

Vậy thiết diện cần tìm là lục giác đều MNPQRS.

Có $MN=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$  .

Đáp án đúng là: D

Tổng số đo các góc của hình lục giác là 720°. Vì ABCDEF là hình lục giác đều nên mỗi góc của hình lục giác đều ABCDEF là 120° $\Rightarrow \widehat{FAB}=120°$ .

Vì ABCDEF là hình lục giác đều nên ta suy ra: 

AD là tia phân giác của góc $\widehat{FAB}$   và  $\widehat{EDC}$ . $\Rightarrow \widehat{FAD}=\frac{\widehat{FAB}}{2}=60°$

Tam giác AFD vuông tại F có $\widehat{FAD}=60°$và AD = a ta suy ra: $\cos \widehat{FAD}=\frac{AF}{AD}\Rightarrow AF=AD.\cos \widehat{FAD}=a.\cos 60°=a.\frac{1}{2}=\frac{a}{2}$ .

Đáp án đúng là: B

Ta có: (ABCD) Ç (ABC') = AB.

Vì BB' ^ (ABCD) ⇒ BB' ^ AB mà AB ^ BC ⇒ AB ^ (BB'C'C) ⇒ AB ^ BC'.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ABC') bằng góc giữa hai đường thẳng BC và BC'.

Mà (BC, BC') =  $\widehat{CB{C}^{\text{'}}}=60°$.

Xét DCBC' vuông tại C, có $\tan \widehat{CB{C}^{\text{'}}}=\frac{C{C}^{\text{'}}}{CB}\Rightarrow C{C}^{\text{'}}=CB.\tan \widehat{CB{C}^{\text{'}}}=a.\tan 60°=a\sqrt{3}$  .

Đáp án đúng là: B

Hình chóp tam giác đều A.BCD có H là trọng tâm của tam giác đáy BCD và DH cắt BC tại I.

Ta có AH ^ (BCD) ⇒ AH ^ BC (1).

Tam giác BCD đều và H là trọng tâm của tam giác BCD nên DI ^ BC (2).

Từ (1) và (2), suy ra BC ^ (AHI) ⇒ BC ^ AI.

Do đó góc giữa mặt bên (ABC) và mặt đáy (BCD) là $\widehat{AIH}$ .

Tam giác ABC đều có AI là đường trung tuyến nên AI là đường cao và $AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Tam giác BCD đều có H là trọng tâm nên $IH=\frac{1}{3}DI=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ .

Có AH ^ (BCD) nên tam giác AIH vuông tại H. Khi đó $\cos \widehat{AIH}=\frac{IH}{AH}=\frac{1}{3}$ .