\(V = \frac{1}{3}S.h\).

Vì DABC vuông cân tại B, có \(AC = a\sqrt 2 \) Þ AB = BC = a.

Khi đó \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Khi đó \[{V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{ABC}} = a.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{2}\].

Ta có \(V = \frac{1}{3}\left( {S + \sqrt {S.S'} + S'} \right).h = \frac{1}{3}\left( {4 + \sqrt {4.16} + 16} \right).6 = 56\).

a) Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ tam giác đều nên AA' ^ (ABC).

Do đó chiều cao của khối lăng trụ bằng AA' = 2.

b) Ta có \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = 2.\frac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} = 8\sqrt 3 \).

c) Hạ AH ^ BC mà AA' ^ AH (do AA' ^ (ABC)).

Suy ra d(AA', BC) = AH = \(\frac{{4\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \) (do DABC đều).

d) Có AH ^ BC mà AA' ^ BC nên BC ^ (AA'H) Þ BC ^ A'H.

Do đó \(\widehat {AHA'}\)là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A', BC, A].

Xét DAA'H vuông tại A có \[\tan \widehat {A'HA} = \frac{{AA'}}{{AH}} = \frac{2}{{2\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {A'HA} = 30^\circ \].

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng; d) Sai.

a) Do ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên DBB'D' là hình bình hành.

Suy ra BD // B'D'.

b) Vì AC // A'C' nên (AC, B'D') = (A'C', B'D') = 90° (do A'B'C'D' là hình vuông).

c) Do ADD'A', ABCD, DCC'D' là các hình vuông nên AD' = D'C = AC.

Do đó DAD'C là tam giác đều.

d) Có AC // A'C' nên (AC, A'B) = (A'C', A'B).

Chứng minh tương tự câu c, ta có DA'BC' là tam giác đều Þ \(\widehat {BA'C'} = 60^\circ \).

Do đó (A'C', A'B) = 60°.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Đúng; d) Sai.

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC và S.ABC là chóp tam giác đều nên SG ^ (ABC).

b) Vì SG ^ (ABC) nên GA là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (ABC).

Do đó (SA, (ABC)) = (SA, GA) = \(\widehat {SAG}\).

c) Vì DABC đều nên AM ^ BC mà BC ^ SG (SG ^ (ABC)) Þ BC ^ (SAM) Þ BC ^ SM.

Do đó \(\widehat {SMA}\)là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

d) Vì SG ^ (ABC) nên d(S, (ABC)) = SG.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng; d) Đúng.

a) Có AB ^ AD mà AD // A'D' nên AB ^ A'D'.

b) Có BB' ^ (ABCD) Þ BB' ^ AC.

Lại có BD ^ AC nên AC ^ (BB'D'D) Þ (ABCD) ^ (BB'D'D).

c) Gọi O, O' lần lượt là tâm của ABCD và A'B'C'D'.

Có BO ^ AC và AA' ^ BO nên BO ^ (AA'C'C).

Suy ra d(B, (AA'C'C)) = BO = \(\frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

d) Vì OO' ^ (ABCD) Þ OO' ^ BD.

OO' ^ (A'B'C'D') Þ OO' ^ A'C'. Do đó d(BD, A'C') = OO' = a.

Đáp án: a) Đúng;  b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Vì A'H ^ (ABC) nên A'H là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.

Do đó A'H là đường cao hình lăng trụ.

b) Ta có A'H ^ (ABC) Þ A'H ^ HA. Suy ra tam giác A'HA vuông tại H.

c) Có \(BH = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2};AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow A'H = \sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

d) \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt {18} }}{8}\).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai.

Có AA' ^ (ABC) Þ AA' ^ AH mà AH ^ BC. Do đó d(AA', BC) = AH.

Nửa chu vi tam giác ABC là \(\frac{{13 + 14 + 15}}{2} = 21\).

Khi đó \({S_{\Delta ABC}} = \sqrt {21\left( {21 - 13} \right)\left( {21 - 14} \right)\left( {21 - 15} \right)} = 84\).

Ta lại có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC \Rightarrow AH = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}} = \frac{{56}}{5} = 11,2\).

Trả lời: 11,2.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ^ (ABCD).

Vì ABCD là hình vuông cạnh 8 cm nên \(DO = \frac{{DC}}{2} = \frac{{8\sqrt 2 }}{2} = 4\sqrt 2 \).

Góc \(\widehat {SDO}\) là góc giữa cạnh bên với mặt đáy.

Xét DSOD vuông tại O, ta có \(\tan \widehat {SDO} = \frac{{SO}}{{OD}} \Rightarrow SO = OD.\tan \alpha = 4\sqrt 2 .\sqrt 2 = 8\).

Vì khối chóp bị cắt bởi mặt phẳng song song với đáy và qua trung điểm một cạnh bên nên hình chóp S.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng 4 cm và chiều cao 4 cm.

Khi đó \({V_1} = \frac{1}{3}{.4.4^2} = \frac{{64}}{3}\).

Thể tích của hình chóp S.ABCD là \(V = \frac{1}{3}{.8.8^2} = \frac{{512}}{3}\).

Khi đó \({V_2} = V - {V_1} = \frac{{512}}{3} - \frac{{64}}{3} = \frac{{448}}{3}\).

Khi đó \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{64}}{3}:\frac{{448}}{3} = \frac{1}{7}\).

Suy ra a = 1; b = 7. Do đó T = 2a + 3b = 23.

Trả lời: 23.

Vì MA ^ (ABC) nên AB là hình chiếu vuông góc của MB trên mặt phẳng (ABC).

Do đó (MB, (ABC)) = (MB, AB) = \(\widehat {MBA} = 60^\circ \)

Xét DMAB vuông tại A, ta có MA = AB.tan60° = \(2\sqrt 3 \).

Khi đó \({V_{ABC.MNK}} = MA.{S_{ABC}} = 2\sqrt 3 .\frac{{{2^2}.\sqrt 3 }}{4} = 6\).

Trả lời: 6.

Vì ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 nên \(AC = 2\sqrt 2 \Rightarrow AO = \sqrt 2 \).

Vì MNEG là hình vuông cạnh bằng 5 nên \(ME = 5\sqrt 2 \Rightarrow MI = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (MNEG) nên \(MH = MI - IH = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} - \sqrt 2 = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

Xét DAMH vuông tại H, ta có \(h = AH = \sqrt {A{M^2} - M{H^2}} = \sqrt {{4^2} - {{\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {46} }}{2}\).

Gọi S là diện tích hình vuông ABCD, ta có S = 4.

S' là diện tích hình vuông MNEG, ta có S' = 25.

Khi đó thể tích là \(V = \frac{1}{3}\left( {4 + 25 + \sqrt {4.25} } \right).\frac{{\sqrt {46} }}{2} = \frac{{13\sqrt {46} }}{2}\) m³.

Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp xấp xỉ 64,8 triệu đồng.

Trả lời: 64,8.

Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều là: V = S_đáy.h = 2.2.1,5 = 6 (cm³).

Minh họa phần trên khối chóp tứ giác đều bằng hình chóp đều S.ABCD như hình vẽ.

Ta có \(AC = 2\sqrt 2 \Rightarrow OA = \sqrt 2 \).

Xét DSOC có \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 7 \).

\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\sqrt 7 .4 = \frac{{4\sqrt 7 }}{3}\).

Thể tích của thiết bị là: \(6 + \frac{{4\sqrt 7 }}{3}\).

Số tiền dùng mua kim loại để làm thiết bị đó là: \[\left( {6 + \frac{{4\sqrt 7 }}{3}} \right).2500 \approx 24\] nghìn đồng.

Trả lời: 24.