20 câu trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 6. Hình lăng trụ đứng, hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'. Khẳng định nào sau đây sai?Các mặt bên của lăng trụ là các hình chữ nhật bằng nhau.
Các cạnh bên của lăng trụ bằng nhau và vuông góc với đáy.
Hai mặt đáy song song với nhau.
Hai tam giác ở 2 mặt đáy là hai tam giác bằng nhau.
A
Các mặt bên của lăng trụ là các hình chữ nhật.
SO ^ AC.
SA ^ AC.
SO ^ SC.
SA ^ AB.
A
Vì S.ABCD đều nên SO ^ (ABCD) Þ SO ^ AC.
(ABCD) ^ (ABB'A').
(ABCD) ^ (ABC'D').
(ABCD) ^ (CDD'C').
(ABCD) ^ (C'D'B'A').
B
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên (ABCD) và (ABC'D') không vuông góc với nhau.
Hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy là hình lăng trụ đứng.
Hình lăng trụ có các cạnh bên song song với mặt đáy là hình lăng trụ đứng.
Các mặt bên hình lăng trụ đứng là tam giác đều.
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là tam giác.
A
Hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy là hình lăng trụ đứng.
60°.
45°.
90°.
30°.
B
Ta có AB // A'B' nên (AB, A'C') = (A'B', A'C') = 45°.
BB'.
AD.
CA.
CC'.
B
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên AA' ^ AD và AD ^ CD.
Do đó AD là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau CD và AA'.
a.
2a.
3a.
\(\frac{a}{2}\).
A
Vì AA' ^ (ABCD) nên d(A', (ABCD)) = AA' = a.
\(V = \frac{1}{2}S.h\).
\(V = \frac{1}{3}S.h\).
V = S.h.
\(V = \frac{1}{6}S.h\).
B
\(V = \frac{1}{3}S.h\).
\(\frac{{{a^3}}}{3}\).
\(\frac{{{a^3}}}{6}\).
a3.
\(\frac{{{a^3}}}{2}\).
D
Vì DABC vuông cân tại B, có \(AC = a\sqrt 2 \)Þ AB = BC = a.
Khi đó \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Khi đó \[{V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{ABC}} = a.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{2}\].
\(\frac{{56}}{3}\).
168.
28.
56.
D
Ta có \(V = \frac{1}{3}\left( {S + \sqrt {S.S'} + S'} \right).h = \frac{1}{3}\left( {4 + \sqrt {4.16} + 16} \right).6 = 56\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 4, cạnh bên bằng 2.
a) Chiều cao của khối lăng trụ bằng 4.
b) Thể tích khối lăng trụ bằng \(8\sqrt 3 \).
c) Khoảng cách giữa AA' và BC bằng \(2\sqrt 3 \).
d) [A', BC, A] = 60°.
a) Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ tam giác đều nên AA' ^ (ABC).
Do đó chiều cao của khối lăng trụ bằng AA' = 2.
b) Ta có \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = 2.\frac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} = 8\sqrt 3 \).
c) Hạ AH ^ BC mà AA' ^ AH (do AA' ^ (ABC)).
Suy ra d(AA', BC) = AH = \(\frac{{4\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \) (do DABC đều).
d) Có AH ^ BC mà AA' ^ BC nên BC ^ (AA'H) Þ BC ^ A'H.
Do đó \(\widehat {AHA'}\)là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A', BC, A].
Xét DAA'H vuông tại A có \[\tan \widehat {A'HA} = \frac{{AA'}}{{AH}} = \frac{2}{{2\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {A'HA} = 30^\circ \].
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'.
a) BD // B'D'.
b) (AC, B'D') = 90°.
c) Tam giác ACD' đều.
d) (AC, A'B) = 30°.
a) Do ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên DBB'D' là hình bình hành.
Suy ra BD // B'D'.
b) Vì AC // A'C' nên (AC, B'D') = (A'C', B'D') = 90° (do A'B'C'D' là hình vuông).
c) Do ADD'A', ABCD, DCC'D' là các hình vuông nên AD' = D'C = AC.
Do đó DAD'C là tam giác đều.
d) Có AC // A'C' nên (AC, A'B) = (A'C', A'B).
Chứng minh tương tự câu c, ta có DA'BC' là tam giác đều Þ \(\widehat {BA'C'} = 60^\circ \).
Do đó (A'C', A'B) = 60°.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC và G là trọng tâm tam giác ABC.
a) SG ^ (ABC).
b) (SA, (ABC)) = \(\widehat {SAB}\).
c) \(\widehat {SMA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A] với M là trung điểm của BC.
d) Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng độ dài đoạn thẳng SG.
a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC và S.ABC là chóp tam giác đều nên SG ^ (ABC).
b) Vì SG ^ (ABC) nên GA là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (ABC).
Do đó (SA, (ABC)) = (SA, GA) = \(\widehat {SAG}\).
c) Vì DABC đều nên AM ^ BC mà BC ^ SG (SG ^ (ABC)) Þ BC ^ (SAM) Þ BC ^ SM.
Do đó \(\widehat {SMA}\)là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].
d) Vì SG ^ (ABC) nên d(S, (ABC)) = SG.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Khi đó:
a) Hai đường thẳng AB và A'D' vuông góc với nhau.
b) Hai mặt phẳng (ABCD) và (BB'D'D) vuông góc với nhau.
c) Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AA'C'C) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A'C' bằng a.
a) Có AB ^ AD mà AD // A'D' nên AB ^ A'D'.
b) Có BB' ^ (ABCD) Þ BB' ^ AC.
Lại có BD ^ AC nên AC ^ (BB'D'D) Þ (ABCD) ^ (BB'D'D).
c) Gọi O, O' lần lượt là tâm của ABCD và A'B'C'D'.
Có BO ^ AC và AA' ^ BO nên BO ^ (AA'C'C).
Suy ra d(B, (AA'C'C)) = BO = \(\frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
d) Vì OO' ^ (ABCD) Þ OO' ^ BD.
OO' ^ (A'B'C'D') Þ OO' ^ A'C'. Do đó d(BD, A'C') = OO' = a.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, \(AA' = \frac{{3a}}{2}\). Biết rằng hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC) là H trung điểm của BC. Khi đó:
a) A'H là đường cao hình lăng trụ.
b) Tam giác A'HA vuông tại A'.
c) Đường cao của khối lăng trụ trên là \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
d) Thể tích của khối lăng trụ là \(\frac{{{a^3}\sqrt {18} }}{{24}}\).
a) Vì A'H ^ (ABC) nên A'H là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.
Do đó A'H là đường cao hình lăng trụ.
b) Ta có A'H ^ (ABC) Þ A'H ^ HA. Suy ra tam giác A'HA vuông tại H.
c) Có \(BH = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2};AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Rightarrow A'H = \sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
d) \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt {18} }}{8}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = 13; AC = 14; BC = 15. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC.
Có AA' ^ (ABC) Þ AA' ^ AH mà AH ^ BC. Do đó d(AA', BC) = AH.
Nửa chu vi tam giác ABC là \(\frac{{13 + 14 + 15}}{2} = 21\).
Khi đó \({S_{\Delta ABC}} = \sqrt {21\left( {21 - 13} \right)\left( {21 - 14} \right)\left( {21 - 15} \right)} = 84\).
Ta lại có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC \Rightarrow AH = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}} = \frac{{56}}{5} = 11,2\).
Trả lời: 11,2.
Một khối gỗ dạng hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy 8 cm, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc α với \(\tan \alpha = \sqrt 2 \). Người thợ cắt khối chóp bởi một mặt phẳng song song với đáy và qua trung điểm một cạnh bên để được một hình chóp S.A'B'C'D' và một hình chóp cụt đều ABCD.A'B'C'D'. Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.A'B'C'D' và V2 là thể tích khối chóp cụt đều ABCD.A'B'C'D'. Biết \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{a}{b}\) với a, b Î ℤ và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính 2a + 3b.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ^ (ABCD).
Vì ABCD là hình vuông cạnh 8 cm nên \(DO = \frac{{DC}}{2} = \frac{{8\sqrt 2 }}{2} = 4\sqrt 2 \).
Góc \(\widehat {SDO}\) là góc giữa cạnh bên với mặt đáy.
Xét DSOD vuông tại O, ta có \(\tan \widehat {SDO} = \frac{{SO}}{{OD}} \Rightarrow SO = OD.\tan \alpha = 4\sqrt 2 .\sqrt 2 = 8\).
Vì khối chóp bị cắt bởi mặt phẳng song song với đáy và qua trung điểm một cạnh bên nên hình chóp S.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng 4 cm và chiều cao 4 cm.
Khi đó \({V_1} = \frac{1}{3}{.4.4^2} = \frac{{64}}{3}\).
Thể tích của hình chóp S.ABCD là \(V = \frac{1}{3}{.8.8^2} = \frac{{512}}{3}\).
Khi đó \({V_2} = V - {V_1} = \frac{{512}}{3} - \frac{{64}}{3} = \frac{{448}}{3}\).
Khi đó \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{64}}{3}:\frac{{448}}{3} = \frac{1}{7}\).
Suy ra a = 1; b = 7. Do đó T = 2a + 3b = 23.
Trả lời: 23.
Cho lăng trụ đứng ABC.MNK có đáy là tam giác đều cạnh 2. Đường thẳng MB hợp với đáy một góc 60°. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.MNK.
Vì MA ^ (ABC) nên AB là hình chiếu vuông góc của MB trên mặt phẳng (ABC).
Do đó (MB, (ABC)) = (MB, AB) = \(\widehat {MBA} = 60^\circ \)
Xét DMAB vuông tại A, ta có MA = AB.tan60° = \(2\sqrt 3 \).
Khi đó \({V_{ABC.MNK}} = MA.{S_{ABC}} = 2\sqrt 3 .\frac{{{2^2}.\sqrt 3 }}{4} = 6\).
Trả lời: 6.
Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều như hình vẽ. Cạnh đáy dưới dài 5 m, cạnh đáy trên dài 2 m, cạnh bên dài 4 m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m3. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị triệu đồng.
Vì ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 nên \(AC = 2\sqrt 2 \Rightarrow AO = \sqrt 2 \).
Vì MNEG là hình vuông cạnh bằng 5 nên \(ME = 5\sqrt 2 \Rightarrow MI = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (MNEG) nên \(MH = MI - IH = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} - \sqrt 2 = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
Xét DAMH vuông tại H, ta có \(h = AH = \sqrt {A{M^2} - M{H^2}} = \sqrt {{4^2} - {{\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {46} }}{2}\).
Gọi S là diện tích hình vuông ABCD, ta có S = 4.
S' là diện tích hình vuông MNEG, ta có S' = 25.
Khi đó thể tích là \(V = \frac{1}{3}\left( {4 + 25 + \sqrt {4.25} } \right).\frac{{\sqrt {46} }}{2} = \frac{{13\sqrt {46} }}{2}\) m3.
Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp xấp xỉ 64,8 triệu đồng.
Trả lời: 64,8.
Người ta thiết kế một thiết bị kim loại có dạng như hình dưới (giá tiền mua kim loại là 2500 đồng/cm3). Thiết bị gồm 2 phần, phần dưới là khối lăng trụ tứ giác đều, phần trên là khối chóp tứ giác đều. Số tiền mua kim loại dùng để làm thiết bị đó là bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều là: V = Sđáy.h = 2.2.1,5 = 6 (cm3).
Minh họa phần trên khối chóp tứ giác đều bằng hình chóp đều S.ABCD như hình vẽ.
Ta có \(AC = 2\sqrt 2 \Rightarrow OA = \sqrt 2 \).
Xét DSOC có \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 7 \).
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\sqrt 7 .4 = \frac{{4\sqrt 7 }}{3}\).
Thể tích của thiết bị là: \(6 + \frac{{4\sqrt 7 }}{3}\).
Số tiền dùng mua kim loại để làm thiết bị đó là: \[\left( {6 + \frac{{4\sqrt 7 }}{3}} \right).2500 \approx 24\] nghìn đồng.
Trả lời: 24.
